Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
()
fn
,;
()
fn
yx=
i
x
y
−⋅
4 08220210
.
−⋅
202026910
.01980261 10
. ⋅
3922068 10
. ⋅
′
′′
′
−
yy
31
−+−
yy
34
′
≈
′
≈
′
=
11
′′
−+
′′
≈−
′′
=−
11
()
[]
= 02
x
00.02.04.06.08.10
fx
()
Лекция9
−+−
yyyy
88
iiii2112
−−++
′
=
12
y
i
′′
y
i
1
yyyyy
21 12
−− ++
2
h
12 30
−+
yyy
2
iii
11
−+
=
h
16 30 16
h
2
′′
=⋅−+ −+ −
y
iiiiii
+⋅
2
h
−
12
4
h
IV
()
5
f
ξ
ξ
()
h
+⋅
90
n=4
,
; (9.14)
=
2
(9.15)
4
6()
,ξ == 4.
()
Они называются аппроксимациями производных с помощью цен-
тральных разностей и широко используются на практике.
Пример9.1. Даны значения функции
0 1 2 3 4
0.96 0.98 1.00 1.02 1.04
−
2
Найти
y()1
и
y()1
.
Решение. Для нахождения
′
≈
yx
()
2
h
2
−
2
y()1
воспользуемся формулами (9.13) и (9.14):
′
≈
yx
()
,
2
ln
yy
88
01
12
в указанных точках
2
−
h
.
Получим соответственно:
Точное значение
Для вычисления
y () .11000132
y ()
y()1
.
воспользуемся формулой (9.15):
′′
yx
()
y () .109999987
,
yyy
123
≈
2
.
2
h
.
2
(9.16)
2
−
Получим:
Точное значение
Пример9.2. Пусть функция
блицей значений с шагом
y () .11000194
y ()
.
.
fx e
h
.
:
x
=
задана на отрезке
1 00000. 1 22140. 149182. 182212. 2 22554. 271828.
- 101 -
01;
та-
.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
′
()
fx
00=
10=
= 00
=10
()
()
()
−−
()
x
00.02.04.06.08.10
()
fx
1
−
()
−
−
−
−
−
[]
ba
{}
ii
= ()
fx
()
ω
fx()
−
ff
ii
Используя формулы численного дифференцирования, найти зна-
чения производной
Решение. В точках
в узлах
x
.
0
.
x
и
.
можно воспользоваться фор-
, …,
x
.
.
5
x
мулами
′
fx
()
fx hfx
≈
h
,
fx
′
()
=
fx fx h
h
,
−
+
имеющими первый порядок точности. В остальных точках применим
формулу (9.6), имеющую второй порядок точности.
Вычисления дают следующую таблицу производных:
.
′
rx
110700.
010700.
22955.
0 00815.
010700. 183430. 2 24040. 246370.
0 00998.
001218.
001486. 0 25458.
9.4. О вычислительной погрешности формул
численного дифференцирования
ab,
Пусть на отрезке
ω
hi
и определены значения
Значения функции
введена сетка
xaih inhn
==+= ⋅=−
,,... , 01
ffx
в точках сетки.
в точках сетки
h
вычисляются с каким-то приближением. Например, элементарные трансцендентные
функции вычисляются с помощью рядов, а ряды заменяются конечными суммами. Другим источником погрешностей являются округления.
Оказывается, что погрешность, возникающая при вычислении
разностных отношений, намного превосходит погрешность в задании значений функции
h→0
при
. Поэтому операцию вычисления разностных отношений
и даже может неограниченно возрастать
называют некорректной.
Поясним причину некорректности на примере вычисления разностного отношения
+
′
fx
()
1
≈
.
h
- 102 -
ff
ii
=+
=+
ff
ii
hh
ii
++
11
εε
εε
−
ii
Ε
εε
ii
≤Ε
hh
Ε
εε
ii
=− =1Ε
h
fx()
Ε
22
//≤⋅
Лекция9
Пусть вместо точных значений
,
вычислены приближенные
+1
значения
*
ff
iii
ε
ff
,
iii+++
*
111
ε
.
Тогда вместо величины
+−1
h
будет вычислена величина
**
ff
−
iiiiii ii
+
1 11
h
+−−
εε
ffhff
++
=
−
=
−
+
.
Следовательно, погрешность в вычислении первой разностной
производной
*
+
1
ε
.=
h
Погрешность такого рода будем называть погрешностями окру-
гления (хотя их реальная природа может быть иной).
Пусть известна граница
ε
Ε
. Тогда
i +≤1
*
ε
=
т. е.
погрешностей
εεεε
−
++iiii
11
hh
+
≤
*
ε
≤
2
,≤
(9.17)
h
+
,
, т.е.
+1
2ΕΕ Ε
=
,
причем эта оценка достигается при
ε
,
i
Из оценки видно, что вследствие малости
кающая при вычислении первой разностной производной, значительно превосходит погрешность вычисления самой функции
Если
ет при
не зависит от h, то погрешность
h→0
.
Полученный результат не означает, что нельзя пользоваться форму-
лами численного дифференцирования. Чтобы не происходило большого понижения точности, надо потребовать выполнения условия
+
EhMh
- 103 -
.
погрешность, возни-
*
ε
неограниченно возраста-
, (9.18)
2
.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
()
pp
+
hx
()
()
xh
pp
+
x
hk
=
*
т. е. погрешность округления
ε
должна быть сравнима с погрешно-
стью аппроксимации.
Неравенство (9.17) показывает, что если величина Ε задана и мы
ее менять не можем, то вычисления надо проводить не с произвольно
малым шагом h, а с шагом, удовлетворяющим условию:
2
hEM
4≥ /
hEM≥ 22/
,
2
.
При вычислении производных более высокого порядка, когда в
m
h
m>1
,
знаменатель разностного отношения входит величина
fx
яние неточности в задании
сказывается еще сильнее.
i
, вли-
9.5. Улучшение аппроксимации. Метод Рунге-Ромберга
Как видно из конечно-разностных соотношений для аппроксимации производных, порядок их точности прямо пропорционален числу узлов, используемых при аппроксимации. Однако с увеличением
числа узлов эти соотношения становятся более громоздкими, что
приводит к существенному возрастанию объема вычислений. Усложняется также оценка точности получаемых результатов.
Существует простой и эффективный способ уточнения решения
при фиксированном числе узлов, используемых в аппроксимирующих конечно-разностных соотношениях. Это метод Рунге-Ромберга.
Сущность его в следующем.
Fx
Пусть
fxh(,)
– конечно-разностная аппроксимация этой производной на
– производная, которая подлежит аппроксимации;
равномерной сетке с шагом h; R – остаточный член (погрешность)
аппроксимации, который имеет следующую структуру:
где
RFxfxh hx h
=− =⋅ +
() (,)()(),
p
⋅
φ
– главный член погрешности, т. е.
Rh x
≈⋅
φ
p
φ
.
1
Ο
(9.19)
Тогда выражение для аппроксимации производной в общем случае можно представить в виде:
Fx fxhh
() (,)()()=+⋅+
φ
Запишем это соотношение в той же точке
h
. Получим
1
1
Ο
(9.20)
при другом шаге
- 104 -
xk
pp
))hk
pp++
11
−
,)
()
−
=
x
yx=
′
−
()
Будем считать, что
Fx fxkh kh
() (, )( )()(())=+⋅+
φ
Лекция9
+
1
h
Ο
(9.21)
ΟΟ()((
h
≈
в силу достаточной малости h.
Приравнивая правые части равенств (9.20) и (9.21), находим выра-
жение для главного члена погрешности аппроксимации производной
fxhfxkh
p
Rh x
≈⋅ =
φ
()
(,)(
p
k
−
1
(9.22)
Это есть первая формула Рунге.
Она показывает, что расчет по второй сетке позволяет оценить
погрешность расчета на первой сетке (с точностью до членов более
высокого порядка).
Подставляя (9.22) и (9.20), получим вторую формулу Рунге:
fxhfxkh
Fx fxh
() (,)
=+
(,)(,)
p
k
−
p
+11
h
+
Ο
(9.23)
Эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений
производной
fxh(,)
сти pнайти ее уточненное значение с порядком точности
и
fxkh(, )
(с шагами h и kh) с порядком точно-
p+1
.
Метод Рунге оценки погрешности и повышения точности резуль-
тата очень прост, применим в большом числе случаев и исключительно эффективен.
Пример9.3. Пусть функция
yx x() lg
задана таблицей
lg
и требуется вычислить
Решение. Выберем для вычислений формулу:
порядок точности, которой
Полагаем
1 2 3 4 5
0.000 0.301 0.478 0.602 0.699
y()3
.
h=1
и получим
′
yx
()
yy
=
i
p=2
ii
+−
11
h
2
.
2
+
h
Ο
,
- 105 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
⋅
21
2
⋅
22
4
−
21
′
≈
+−
()
ξ
∈
−
yy
() () ..
′
()
Увеличивая шаг
′
42
≈
h
вдвое (
−
yy
() () ..
51
≈
()
Производя вычисления по второй формуле Рунге, где
0602 0302
=
k=2
), будем иметь
0 699 0 000
=
−
−
=y
=y
.3
0151
.3
0175
.
.
p=2
, полу-
чим уточненное значение
−
..
′
≈+
0151 0175
2
=y () .
.30151
0143
.
Искомое же значение
y () .30145
.
Выводы
Приведена постановка задачи численного дифференцирования.
Показаны демонстрационные примеры решения поставленной задачи. Сформулировано понятие некорректности математической
задачи. Доказана некорректность задачи численного дифференцирования. Приведены три метода приближённого вычисления первой и
второй производной в точке с оценкой остаточного члена. Выведены
несколько формул приближённого нахождения производных в точке
на основе интерполирования. Доказана некорректность алгоритмов,
предназначенных для вычисления производных в точке. Приведён
метод Рунге-Ромберга для улучшения сходимости алгоритмов вычисления производных в данной точке.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте задачу численного дифференцирования.
2. Приведите простейшие формулы численного дифференцирования.
3. Опишите известные способы построения формул численного
дифференцирования.
4. Докажите представление
fx hfx
′
fx
()
i
()()
ii
=
h
h
−⋅
2
′′
f
ξ
,
(, )xx
ii1
h>0
,
+
.
- 106 -
()
26
ξ
∈− +
xh
ii
()
ξ
∈− +
xh
ii
ii
()
+− −
xh
()
−−⋅++
xh
()
x
−
ff
ii
Лекция9
5. Докажите представление
2
h
f
−⋅
′′′
ξ
,
(, )xh
,
h>0
.
′
fx
()
i
+− −
fx hfxh
()()
ii
=
⋅
h
6. Докажите представление
2
h
12
IV
f
ξ
,
−⋅fx
.
′′
()
i
−−⋅++
fx hfxfxh
() () ()
=
2
iii
2
h
(, )xh
,
h>0
7. В чем заключается некорректность задачи численного дифференцирования?
8. Покажите, что алгоритм
−
fx fx
()
+
′
fx
()
i
вычисления приближенного значения производной в точке
1
≈
h
x
некорректен.
9. Покажите, что алгоритм
fx hf
()
()
≈
⋅
h
2
x
′
fx
вычисления приближенного значения производной в точке
некорректен.
10. Покажите, что алгоритм
fx hfxf
′′
fx
() ()
≈
()
вычисления приближенного значения производной в точке
2
2
h
x
некорректен.
11. Приведите определение понятия «оптимальный шаг формул
численного дифференцирования».
12. Найдите оптимальные шаги
ных значений производных в точке
h
для вычисления приближен-
по формулам, приве-
денным в задачах 8, 9, 10.
13. Приведите практические оценки погрешностей формул численного дифференцирования.
14. Найдите погрешность метода
+
′
fx
()
1
≈
i
h>0
,
h
.
при помощи принципа Рунге.
i
i
i
- 107 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
−
+−
ff
ii
11
15. Найдите погрешность метода
′
≈
fx
()
i
2
h>0
,
h
.
при помощи принципа Рунге.
Рекомендованная литература
Основная
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е
изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Баxвалов H., Жидков H., Кобельков Г. Численные методы. – Москва –
Санкт-Петербyрг: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. Баxвалов H. С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачаx и примераx. – М.: ВШ, 2009.
4. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. – М.: Физматгиз, 1966.
5. Вержбицкий В. М. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.
6. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. 5-е изд., стер. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2008, 256с.
7. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики:
Учебное пособие. 8-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2011, 672 с.
8. Зализняк В. Е. Основы научных вычислений. Введение в численные
методы для физиков. – М.: Едиториал УРСС, 2002, 296с.
9. Копчёнова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в задачах
и примерах. – М.: Изд-во Лань, 2008, 368 с.
10. Самарский А. А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.
11. Формалёв В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006, 400 с.
Дополнительная
12. Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:
Hаyка, 1994.
- 108 -
Лекция10
()
=−
()
fx()
fx()
fx()
10. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
План
10.1.Постановказадачичисленногоинтегрирования.Основные
понятияиопределения.
10.2.Методычисленногоинтегрирования:методпрямоугольников,методтрапеций,методСимпсона(парабол).
10.3.Остаточныечленыиихоценки.
10.4.ФормулыНьютона-Котеса.
10.5.Примерывычисленияопределенныхинтегралов.
10.6.КвадратурнаяформулатипаГаусса.
10.7.Вычислениеинтеграловсособенностями.Интегрирование
сильноосциллирующихфункций
10.1. Постановка задачи численного интегрирования.
Основные понятия и определения
К вычислению определенного интеграла сводятся многие практические задачи: вычисление площади фигур, определение работы
переменной силы и др.
Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить с помощью первообразной по формуле Ньютона-Лейбница:
b
fxdx Fb Fa
() ()
∫
a
Fx
где
– первообразная.
Однако на практике этой формулой часто воспользоваться нельзя
по двум причинам: 1) вид функции
ственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в
элементарных функциях; 2) значения функции
на фиксированном множестве точек (конечном)
задана в виде таблицы.
В этих случаях используются методы приближенного вычисления
определенных интегралов
b
Ifxdx
=∫()
a
,
не допускает непосред-
заданы только
x
, т.е. функция
i
, (10.1)
- 109 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
nk
()
ab
[]
kn=
kk
()
kk
()
[]
=⋅
,}
∫∫
[]
ii
xx
основанные на замене интеграла конечной суммой
n
Icfx
где
=
∑
k
c
– числовые коэффициенты и
k
01,, ,
.
b
fxdx cfx
()
∫
a
=
0
≈
∑
k
, (10.2)
k
x
– точки отрезка
k
n
=0
,
называется квадратурной формулой, а сумма вида (10.2) – квадра-
турной суммой. Точки
лы, а числа
c
– коэффициентами квадратурной формулы.
k
x
называются узлами квадратурной форму-
k
Разность
b
Rfxdxcfx
=−
()
n
∫
a
∑
k
n
=
0
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность за-
висит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
ab,
Введем на
равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек
wxaihi nhnba
==+⋅
hi
01
=−{,,,...,
и представим интеграл (10.1) в виде суммы интегралов по частичным
отрезкам:
b
fxdx fxdx
()
a
x
i
n
=
∑
1
i
x
i
−=1
. (10.3)
()
Для построения формулы численного интегрирования на всем отрез-
ab,
ке
на частичном отрезке
достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
x
i
fxdx
()
(10.4)
x
i
−∫1
,
и воспользоваться свойством (10.3).
−
1
,
- 110 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]