Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
fx
fx
xe
).≤=
24
..
12
..
()
≈±
..
≈±
..
≈±
..
Лекция10
Производя по формулам (10.8), (10.12), (10.15), получим
h
I
= 07471308,
пр
h
I
= 074621079,
тр
h
I
= 074682418,
с
,
,
.
Оценим погрешность каждого из полученных значений, исполь-
зуя неравенства
2
()
hb a
Вычислим
R
пр
R
тр
R
≤
c
fx
"( )( )=−
−
≤
24
2
()
hb a
≤
12
4
(
hb a
−
180
2
42
,
M
2
−
,max "( ),
MM
22
))
,max ().
MM
44
2
x
−
=
.
=
ab
[;]
IV
[;]
ab
Вычислим
fx M"(
II
−≤⋅⋅≈⋅= <
II
21
пр
−≤⋅⋅≈⋅= <
fx xx e
21
тр
IV x
()
=−+
23
01 08410000084 0 001
(.).
23
01 17 10 0 00170002
(.).
42
16 48 12
|()|fxIV<12
2
2
−
−
2
−
.
.
Поэтому
12 1
h
II
−≤⋅⋅≈⋅<
с
180
45
(.). .
01 066100000007
−
.
Таким образом, из вычислений по формуле прямоугольников с
учетом погрешности следует, что
I
0747 0 001
;
по формуле трапеций –
I
0746 0 002
;
по формулам Симпсона –
I
07468240000007
.
- 121 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
20
24
= 07
=13
Mf
20
(.
20
23
(.
20
25
=
12
n
12
nn
>>
2
21
.)
Пример10.3.Вычислить интеграл
13
.
dx
2
x
3
07
+∫.
.
по формуле трапеций с тремя верными десятичными знаками.
Решение. Для достижения заданной точности необходимо определить n так, чтобы
2
hb a
()
M
0 0005
.−<
.
1
2
+
2
806
x
=
"( )
x
698fx=
≈
25
0 0005
.−<
.
.
3
−
.
;
)
+
3
.
Здесь
a
Находим
Положим
.; b
fx
'( )
M27
[.;.]07 13
2
.
;
= max"(),
2
ab
[; ]
=−
max"()
x
fxx().=
2
x
+
x
,
)
3
81306
⋅−
..
20703
⋅+
(. .)
, тогда из неравенства
2
hb a
()
M
2
fx
2
имеем
2
banba
−
()
()
ba
2
−
12
3
M−<
2
M
2
0 0005
<
.
0 0005
.
;
;
Возьмем
Вычисление интеграла проводим по формуле трапеций:
n=20
.
I
3
06
.
700005
.
⋅<
2
12
n
2
252 16
,
h
yy yy y≈+++++
[(..
0201
2
;
- 122 -
;
]
,
9
где
−
,)
20
i
yy
02
Σ
2
..
x
fx()
= 01
nm=⋅ =28
ba
().
h
=
06
== =+ =
n
.; .(
0 003 07 020
xihi
20
i
Лекция10
,
yyx
==
()
ii
1
2
x
i
Все расчеты приведены в таблице:
x
i
0
1
2
3
4
5
……………………………………………….
16
17
18
19
20
0.7
0.73
0.76
0.79
0.82
0.85
1.18
1.21
1.24
1.27
1.30 0.52129
Таким образом,
003
.
I ≈+⋅=≈
140515 212 770220404180404
(. .)
Ответ: I ≈ 0.404.
Пример10.4. Вычислить интеграл
.008
fxdx()
ò
.
.
3
+
.
, yii;()=1119
0
0.88396
1.40515 12.77022
0.85572
0.82892
0.80366
0.77993
0.75700
0.56935
0.55658
0.54431
0.53253
.
по формуле Симпсона и оценить остаточный член, если подынтегральная функция задана таблицей
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
1.0000 0.9950 0.9801 0.9553 0.9211 0.8776 0.8253 0.7648 0.6967
Решение. В качестве шага h возьмем шаг таблицы
h
. Нужные для расчета суммы подсчитаны в следующей табли
- 123 -
.
, тогда
це:
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
i
()
i
x
y
x.
⋅
fx
i
x
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
суммы 1.6967 3.5927 2.7265
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
при
i=0
i=8
1.0000
0.6967
и
при i
нечетных
0.9950
0.9553
0.8776
0.7648
при
четных
0.9801
0.9211
0.8253
Используя результаты вычислений, по формуле Симпсона находим
.008
∫
fxdx()
01
.
(. ..).
≈+⋅+⋅=
1 6967 435927 227265 071735
3
.
Для оценки погрешности составим таблицу конечных разностей для
заданной функции:
y∆
Rc≤
-50
-149
-248
-342
-435
-523
-605
-681
08 0 0005
..
180
ma
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.0000
0.9950
0.9801
0.9553
0.9211
0.8776
0.8253
0.7648
0.6967
4
∆
0 0005y =
, поэтому получаем
так что окончательно имеем:
.008
fxdx() .
∫
07174
≈
где все знаки можно считать верными.
- 124 -
2
-99
-99
-94
-93
-88
-82
-76
≈
0 0001
y∆
.
3
y∆
0
5
1
5
6
6
,
4
y∆
5
-4
4
1
0
,
Пример10.5. Вычислить интеграл
= 01
+=
⋅=
12
Mf
′′
x(
′′
fx()
()
′′
fx()
′′
fx()
[]
4
).
−−
23
применяя формулу трапеций.
Решение. Примем
n=8
, т. е.
18.
dx
,
x +∫1
1
h
.
. Составим расчетную таблицу:
Лекция10
k x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
yy
08
7
y
=
∑
k
1
k =
18.
∫
1
dxxh
(. .).
≈+
+
0857122937203366
12
k
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
29372.
08571
.
.
.
y
k
0.5000
0.4762
0.4545
0.4348
0.4167
0.4000
0.3846
0.3704
0.3571
Оценим погрешность по формуле
ba
−
2
+11
h
,
,
′′
fxx()
2
=
=
ma
ab
[]
1
+
;
2
убывает на отрезке
′′
=
1
′′
=fx fx
.
.
3
118;.
x
)
.
, то
Найдем
Оценим
II M
−≤
mp
, где
fxx()=
. Т.к.
max()()
2
Следовательно,
08
Rx()
.
≤⋅ ⋅=⋅<⋅
12
(.
01
141
6
10 0210
3
.
Полученное значение верно по крайней мере до третьего десятичного
знака.
- 125 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
26
=, 41
=
yy
01
81
.;
()
00238 453256 0769070
..
.. ..
()
=⋅ =
Пример10.6.Вычислить интеграл
172.
x
e
dx
+∫1
,
x
0
применяя формулу Симпсона. Оценить погрешность по правилу
удвоения.
Решение.
Примем
n
2n
.
Составим расчетную таблицу для отрезка вычисления интеграла при
k=12
делениях.
k x
1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
k
0.00
0.06
0.12
0.18
0.24
0.30
0.36
0.42
0.48
0.54
0.60
0.66
0.72
I
=⋅ +⋅ +⋅
2
1.000000
1.194436
2.194436 5.316781 6.406314
006
.
2194436 25316781 46406314
3
=⋅ +
.. 0063356225625256
0022194436 1
, yyyyy
2
h
ba
=
,,,,
246
1.006896
1.025202
1.053919
1.091939
1.138825
−
=12006
0
...
+
y1, y3, y5, y7, y9, y11
1.001736
1.014593
1.038354
1.071803
1.114292
1.165536
=
=
Теперь вычисления произведем для 6 отрезков:
- 126 -
yy
48
yy
yyy
.;
..
.,
ii
()
fx
()
in
()
21
−
Nn=−21
ii
()
Лекция10
k
0
2
4
6
8
10
12
,
0 12
1.000000
1.025202
1.091939
1.194436
194436 2.117141
ba
−
h
=
012
.
I
1
19 2272780769090=⋅ =
3
4.234282
=6012
,,
2 6 10
1.006896
1.0533919
1.138825
3.199640
12.798560
.
Погрешность оценим по формуле:
II
−
∆≈
21
=⋅
15
0210
5
−
т. е. полученное значение верно до пятого десятичного знака.
10.6. Квадратурная формула типа Гаусса
xx x
Поставим задачу: как нужно подобрать точки
cc c
енты
,,...,
, чтобы квадратурная формула
n12
b
fxdx cf x
()
∫
a
n
=
∑
i
=
1
,,...,
и коэффици-
n12
была точной для всех полиномов
Т. к. в нашем распоряжении имеется 2n постоянных
=
12,,...,
, а полином степени
ми, то эта наивысшая степень в общем случае, очевидно, равна
Квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности назы-
вают квадратурными формулами типа Гаусса.
Квадратурная формула Гаусса
имеет своими узлами корни многочлена Лежандра:
наивысшей возможной степени N.
n
1
ftdt cf t
()
∫
−
1
n
≈
∑
i
=
- 127 -
x
и
i
определяется 2n коэффициента-
1
c
i
.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
in=
()
()
Qx
()
kn<
Pt
()
()
()
2
31
=−
()
tt
2
53
=−
()
42
()
()
=− = .;
= =
89= /;
=− = .;
59= = /;
=− = .,
= = .,
=− = .,
= = ..
Pt
()
n
n
dt
1
=⋅
n
2
n
!
n
2
1
−
.
n
dt
Коэффициенты
c
легко вычисляются по формуле
i
1
−
2
2
tPt
ini
2
()
,
12,,...,
c
=
i
()
.
Отметим важнейшие свойства полиномов Лежандра:
PP
111
1)
2)
=−
()
nn
1
PtQtdt
∫
−
1
()
() ()
nk
3) полином Лежандра
=−
=
0
,
n
,
где
n =
12,,...
,
– любой полином степени
k
имеет n различных и действитель-
n
ных корней, которые расположены на интервале
Приведем первые пять многочленов Лежандра
Pt t
= ,
1
1
Pt t
()
2
Pt
()
3
Pt tt
Pt ttt
1
=−+
()
4
8
1
=−+
()
5
8
2
,
1
3
,
35 30 3
53
63 70 15
,
.
Приведем узлы и коэффициенты формулы Гаусса для
n=1: t10=, c12=;
−
11,
n=1234,,,
;
.
.
n=2: tt
21
n=3: t20=; c
n=4:tt
32
tt
41
05773502692
tt
2
31
0 3399810436
08611363116
cc
12
0 7745966692
cc
23
cc
14
- 128 -
1
;
cc
13
06521451549
0 3478548451
()
[]
;.
[]
[]
22
[]
;.
ii
()
ba
+
−
22
ii
()
ii
+
−
22
()
Лекция10
Для остаточного члена формулы Гаусса имеет место представление:
Rf
=
()
n
2122
()()
Приведение отрезка
n
+
21
2
nnnn
+
ab,
к стандартному отрезку
!
()
!
()
2
n
2
()
f
ξ
ξ
∈−
!
,
11
−
11;
осуществля-
2
ется с помощью линейного преобразования
ab ba
+
−
t=
+
,
где
t ∈−
x
11
Пример10.7.Квадратурная формула Гаусса имеет вид:
где
1
ftdt cf t
()
∫
−
1
t
c
и
– узлы и веса квадратурной формулы.
i
i
n
≈
∑
i
=
1
,
При вычислении интеграла
b
fxdx
()
∫
a
следует сделать замену переменной
ba
x
t=
+
.
Тогда формула Гаусса примет вид
где
Для остатка будет представление
По формуле Гаусса при
b
fxdx
()
∫
a
*
Rt
n
≈
ba ba
x
=
ba
=
()
n=5
вычислить
I
- 129 -
ba
−
+
−
1
dx
x=+∫1
0
∑
i
n
n
=21
2
cf x
+221
Rt
.
,
t
.
.
n
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
xt
212
()
()
()+()+()+()+()
20
..
4
..
nn
()
.,
ba
ii
22
in
()
xt
ii
2
2
..
Решение. Сделаем замену переменной
1
=+
.
Получим интеграл
1
2
∫
41
1
−
dt
t
++
.
2
I
=
Составим таблицу значений подынтегральной функции
i
1
2
3
4
5
По формуле Гаусса при
Icft cf tcft cf tcft≈
11 22 33 44 55
t
i
0.906179846
0.538469310
0
0.538469310
0.906179846
n=5
0.24945107
0.23735995
0.2
0.15706261
0.13100114
находим
ft
c
i
785398160
=
i
0.236926885
0.478628670
0.568888889
0.478628670
0.236926885
.
Для сравнения приведем точное значение
π
I ==
0 785398163
Пример10.8. Вычислить интеграл
27
.
08
.
x
16
+
∫
2
x
+
.
I
12
.
,
dx=
по формуле Гаусса, применяя для оценки точности двойной пересчет
Решение. Формула Гаусса имеет вид
где
b
fxdx
()
a
≈
x
ba
−
cf xcfx cf x
()+()
11 22
2
ba
+
−
=
t
+
=
12,,...,
,
++
..
∫
.
В данном примере
+
27 16
.. ..
=
27 16
+
−
=+
215055
t
,
i
- 130 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]