Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Лекция6
Sxm()
fx()
x
y
[]
in=−
()
Sxm()
Sxm()
()
[]
[]
()
=
in
()
6. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ
План
6.1. Понятиесплайна.
6.2. Построениекубическогосплайна.
6.3. Сходимость процесса интерполирования кубическими
сплайнами.
6.1 Понятие сплайна
При большом количестве узлов интерполирования сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений. Высокой степени многочлена можно избежать,
разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с последующим построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена. Однако такое интерполирование наталкивается на
существенный недостаток: в точках стыка разных интерполяционных
многочленов будет разрывной их первая производная.
В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяции сплайнами (англ. spline –
рейка). Суть этого подхода в следующем.
Определение. Функция
сплайном порядка m для функции
x
0
y
0
если:
1) на каждом отрезке
многочленом степени m;
2)
и ее производные до
непрерывны на
Sx y
3)
()
mi i
=
01,,...,
6.2 Построение кубического сплайна
Остановимся на построении наиболее популярных в практике вы-
числений кубических сплайнов.
называется интерполяционным
, заданной таблицей
01 1,,...,
…
…
x
n
y
n
является
-го порядка включительно
x
1
y
1
xx
ab,
ii,+
xxn0,
1
m−1
;
.
- 61 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Sx3()
10
21
[]
[]
,,
nn
[]
Pxi()
ii
()
23
in
()
ya
ii
= = =
ay
ii
=
Sx3()
Px
ii
()=
in=−
()
11
()()
=−
ii
′
=
′
Px
ii
()
′
()23
′
=+ ⋅− +⋅−
++
11
23
()
Согласно определению кубический сплайн
вить в виде
где каждый
Px abxx cx xdxx
() ()()
iiiiii
– многочлен третьей степени:
=+ −+ −+ −
Привязки номера многочлена к узлам интерполяции покажем на
схеме:
Из определения сплайна сразу вытекает, что
т. е.
Условие непрерывности
ствам
или
aa bxxcxx dxx
=+⋅− +⋅−+⋅−
ii iiiiii iii
++ ++ ++ +11 11 1
Введем обозначение
на единицу (т. е. заменим i на
Условие непрерывности первой производной кубического сплай-
на сводится к требованию
Дифференцируя формулу (6.2), получим:
() ()
ii iiii ii i
Px bcxx dxx
() ()
++++
ii iiii iii1111
Px xxx
(),,;
∈
()
3
=
Sx
Sx Px
() ()
ii
Px xxx
(),,;
....................
()
1
∈
2
...........
∈
−1
. (6.3)
в каждом узле приводит к равен-
Px
()
ii
+1
01 1,,...,
,
()
hxx
iii
hb hc hd yy
−+ =−
ii ii ii
Px
. Понизив в равенстве (6.4) индекс i
−1
i−1
) и учтя (6.3), получим:
23
()
ii
.
+
1
=+ ⋅−+⋅−Px bcxx dxx
- 62 -
можно предста-
(6.1)
,Px xxx
n
=
01,,...,
,
,
i3
2
.
(6.5)
−
1
2
,
2
;
. (6.2)
3
. (6.4)
23
()
i
⋅=
,)in=
′′
=
′′
Px
ii
()
−+ =
30
,)in=
32
()
{}{}{}
in=
[]
′′
=
′′
=
″
30
{}
=
ay
ii
=, in=
{}
Лекция6
отсюда
2
.
. (6.6)
Понизив индекс
bb cxxdxx
=+ ⋅− +⋅−
ii iiiiii
++ ++ +11 11 1
()
на единицу в последнем равенстве, получим:
bbch dh
−+ ⋅−
iiii ii−
23 0, (,,...
1
2
23
Используя непрерывность второй производной сплайн-функции,
т. е. условие
Px
()
ii
,
+
1
получим равенство
сchd
iiii−
1
Совокупность равенств (6.5), (6.6), (6.7) дает систему
нейных алгебраических уравнений с
(,,..., )
12
.
(,,...
23
,
3n
неизвестными
. (6.7)
n −
ли-
bcd
,,
ii i
Недостающие два уравнения определяют следующим образом: на
xxn0,
концах отрезка
Sx Sx
полагают:
0() ()
, т. е.
n30 3
Px
10
0″=(), Px
nn
=()0
или с учетом (6.2):
chd
−⋅=
111
c
=
n
0
.
,
(6.8)
Отметим, что первое уравнение из системы (6.8) формально со-
впадает с (6.7) при
i=0
на самом деле в наборе
, если ввести коэффициент
c
) и положить
i
c00
c
(которого нет
0
.
На практике обычно не решают систему (6.5), (6.6), (6.7), (6.8).
a
b
c
Коэффициенты
1)
с
находятся из системы уравнений
2)
i
hc hhchc
ii iiiii
++ +−
11 11
⋅+⋅+ +⋅ =⋅
,
i
12,,...,
;
23()
=−==
Система (6.9) содержит лишь неизвестные
d
,
,
i
находятся в следующем порядке:
i
i
yyhyy
iiiii
+
12 100
,, ,, ,.incc
n
0
−
1
−
+
1
c
и является систе-
i
−
−
1
,
h
i
(6.9)
мой линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей – такие системы решаются методом прогонки, который будет рассмотрен при
изучении темы «Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений».
- 63 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
cc
ii
−
in=
ii
−
in=
fx()
Sx
()=−
fx()
in
{}
fx()
[]
′′
=
′′
=
φφ
xx
()
Mf
x(
Sxh()
fx()
ω
fx()
′
fx()
′′
fx()
Ca
[]
Mh
−≤
≤⋅
Mh
3)
b
4)
=
i
d
=
i
yy
ii
h
i
−1
h
3
i
d
1
−1
hc hd
+−
ii
23,,...,
,
c
1
=
;
h
3
1
2
, (6.10)
12,,...,
,
. (6.11)
На этом построение кубического сплайна завершается.
6.3 Сходимость процесса интерполирования
кубическими сплайнами
Покажем, что интерполирование кубическими сплайнами является
сходящимся процессом, т. е. при неограниченном увеличении числа
узлов n соответствующая последовательность сплайнов сходится к
интерполируемой функции
зависят от выбора сеток и от гладкости функции
. Оценки погрешности интерполяции
Rx fx
() ()
. Для простоты
будем рассматривать последовательность равномерных сеток
ω
xaih
==+=
hi
От функции
четвертой производной,
будем требовать существования непрерывной
fx cab() ,
что выполнены граничные условия
∈
,,,...,01
()
4
. Кроме того, предположим,
fa fb() () 0
.
и такие же усло-
вия для сплайнов. Обозначим
ma
ab
,
[]
IV
x
)
.
Пусть
на сетке
() max
,
Сab
[]
=
[,]
ab
=
,
4
– кубический сплайн, построенный для функции
.
h
В следующей теореме приведем оценки погрешности интерполяции для функции
Теорема 6.1. Для функции
и ее производных
()
∈
Cab
,
[]
Cab
,
[]
4
fx
fx Sx
() ()
h
′
fx Sx
′
−
() ()
h
и
b() ,
справедливы оценки
4
⋅
,
4
3
,
4
.
- 64 -
′′
′′
≤⋅
Mh
n →∞
()
fx
()
fx
()
[]
ε
>
Px
()
()−()
xa
[]
[]
ff
()
Лекция6
fx Sx
() ()
Из этих оценок следует, что при
i
S
i=012,,
тельности
i=012,,
.
,
h
сходятся соответственно к функциям
−
h
Cab
,
[]
h→0
2
.
4
(т.е. при
) последова-
i()
6.4. О многочленах наилучших равномерных приближений
Основой для применения многочленов в качестве приближений к
непрерывным функциям является свойство полноты многочленов в
классе непрерывных функций, выражаемой теоремой Вейерштрасса.
Теорема 6.2 (теорема Вейерштрасса). Если
ab,
конечном замкнутом промежутке
можно указать такой многочлен
fx Px
<
ε
функция, то для любого
, что
, при всех
непрерывная на
b∈
,
.
0
Другое важное свойство многочленов состоит в том, что они явля-
ются функциями простой природы. Чтобы вычислить значение многочлена, нужно выполнить конечное число арифметических операций: сложение, вычитание и умножение.
Производная и интеграл (неопределённый) от многочлена сами
являются многочленами.
Теорема Вейерштрасса не даёт способа для построения прибли-
жающего многочлена, она указывает лишь на принципиальную возможность построения такого многочлена.
Существуют различные способы приближения функций при по-
мощи многочленов. В численных методах большое применение получил способ интерполирования.
Теперь займёмся вопросом построения многочленов наилучшего
равномерного приближения.
Напомним некоторые определения.
C
Пусть
определённых на отрезке
– пространство непрерывных вещественных функций,
ab,
вещественной оси с нормой (чебы-
шёвская)
,
[]
x
.
=
max
C
∈
xab
,
- 65 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()−()
fx
()
aa
nk
fx
()
[]
Qx
()
fx
()
Qx
()
fx
()
[]
nn
21
Qx
in
()−()
xf
()−()
()−()
Расстояние между функциями f и g определяется по формуле
fg fx gx
−=
Наилучшим приближением непрерывной функции
max
C
∈
,
xab
[]
.
полиномами
k
ax
∑
k
0
kn=
в метрике C называется величина
n
Ef fax
=−
()
n
min
C
xab
∈
[]
,
∑
k
k
,
k
=
0
C
где минимум берётся по всем коэффициентам
aa
,,,...,
.
n012
Полином
n
Qx ax
=
()
k
k
,
=∑0
для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего равномерного приближения для
на
или её чебы-
ab,
шёвским приближением.
В теории приближения функций доказано, что такой многочлен
существует и единственен.
Необходимые и достаточные условия того, чтобы многочлен
являлся многочленом наилучшего равномерного приближения
n
для непрерывной функции
, даются теоремой Чебышёва.
многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной
функции
крайней мере
но принимаются наибольшие положительные и отрицательные отклонения, т.е. поочерёдно разность
равна E или −E, где
Теорема 6.3 (теорема Чебышёва): чтобы многочлен
, необходимо и достаточно существование на
n+2
точек
EfxQ
=
xxxxx
,,,..., ,
01
fx
=
n
,
Cab
[]
max
∈
xab
таких, что в них поочерёд-
+
i
,
[]
xQx
.
n
- 66 -
был
n
ab,
по
Qx
()
fx
()
[]
fx
()
[]
Px
()
00
()
fx
()
[]
()=()
()=()
−E, E
EE
()
()−()
()−()
00
E
fx
()
Px
()
aE
aE
()
Лекция6
Эта теорема говорит о том, что максимальная ошибка аппрокси-
мации функции многочленом наилучшего равномерного приближения реализуется в числе точек, большем, по меньшей мере, на 2, чем
степень многочлена, причём знаки ошибки чередуются.
x
Точки
гочлена
, в которых реализуется максимальное отклонение мно-
i
от
n
на
ab,
называют точками чебышёвского аль-
тернанса (альтернанс – чередование).
К сожалению, неизвестны ни общий вид многочленов наилучших
равномерных приближений, ни способы их построения. Имеются
лишь некоторые методики построения многочленов, близких к наилучшим равномерным, а также способы построения чебышёвских
приближений невысокого порядка для весьма узких классов функ-
ций. Эти способы существенно опираются на теорему о чебышёвском альтернансе, что продемонстрируем на примерах.
Пример6.1. Пусть функция
непрерывна на
ab,
. Требуется
построить для неё многочлен наилучшего равномерного приближения нулевой степени.
Решение. Обозначим приближающий многочлен через
. Он
0
определятся всего одним параметром:
Px a
=
.
Так как
x
и
0
x
1
, что
непрерывна на
Потребуем, чтобы точки
fx fx m
fx fx M
ab,
, то существуют две такие точки
min
0
xab
∈
,
[]
max
1
xab
∈
,
[]
x
x
и
0
=
,
=
.
в указанной последовательности
1
составляли чебышёвский альтернанс, т.е. чтобы в них последователь-
max
∈
,
xab
[]
,−
, где
ma E
−=−
0
Ma E
−=
0
,
,
но принимались значения
EfxPxfxPx
=
т. е.
функцией
– максимальная погрешность аппроксимации функции
. Таким образом, приходим к системе двух уравнений
0
fx
−=−
00
fx
−=
()
10
или
=
C
,
или
- 67 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
mM
2
mM
2
Mm
2
mM
2
Mm
2
fx
()
[]
aa
10
()
[]
fx
()
[]
()
aa
()=()
01
[]
()=()
−=
11
()
−=
aE
()
xE
()
bE
()
11
()
−=
с двумя неизвестными
a
и E. Из этой системы находим
0
+
a
=
0
,
а, следовательно, и приближающий многочлен
Px
()
0
+
=
.
Погрешность аппроксимации
E
−
=
.
Ответ:
Px
()
0
+
=
fx Px
,
()−()
0
Пример6.2.Пусть аппроксимируемая функция
руема и выпукла (в широком смысле) на отрезке
рующая её функция
Px
=+
x
тогда и только тогда является мно-
1
−
=
C
.
дифференци-
ab,
, а аппроксими-
гочленом наилучшего равномерного приближения, когда имеются
3 точки альтернанса
отрезка
Так как
ab,
x
. За
0
выпукла на отрезке
,,
. Тогда
012
примем конец a, а за
x
заведомо должна лежать внутри
1
x
примем конец b.
2
ab,
(пусть, например,
fx''
> 0
),
xxx
то и функция разности
ux fx
−−
x
также выпукла на
Пусть этот экстремум достигается в точке
ab,
, т.е. имеет экстремум, а, следовательно,
ux fx a''
fx a'
Теперь получим следующую систему:
fa aa
−− =−
01
fx aa
−− =
1011
fb aa
−− =−
01
fx a'
- 68 -
0
.
1
x
, т. е.
1
0
.
,
,
,
0
.
yx=
π
yx=
06
[]
mx
===
00
==
π
2
2
−
−
2
2
aa
10
()
n,
n,
n,
00
66
ππ
26
n,
:.
π
Лекция6
Получить решение такой системы в общем виде невозможно, так
как неизвестное
x
входит в неё нелинейным образом (в каждом кон-
1
кретном случае эта система решается численно).
Пример 6.3. Построить многочлены наилучшего равномерного
sin
приближения нулевой и первой степени для функции
на от-
резке
06,
.
Решение.Функция
sin
на данном отрезке
,/
π
дифференцируема (а значит и непрерывна) и выпукла вверх. Следовательно,
она принимает на этом отрезке как наименьшее значение, так и наибольшее:
minsin sin
π
x
∈
,0
6
;
На основе примера 7.1 имеем:
Таким образом, многочлен наилучшего равномерного приближения
нулевой степени –
P0025=.
Теперь построим многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени на отрезке [0, π/6]:
примера 7.2 имеем следующую систему уравнений:
si
−−⋅=−
aa E
01
−−⋅=
xaax E
si
1011
si
−−⋅=−
aa E
01
−
xa
cos
11
1
Из третьего уравнения находим
Mx
maxsin sin
π
x
∈
,0
6
E
Mm+
=
Mm
05 0
=
=
+
05 0
=
=
612
025..
=
025..
;
, а погрешность приближения
Px
aE
=
,
0
xaax E
−−⋅=
si
1011
1
aa E
−−⋅=−
01
или
xa
=
0=
1
a
1
26
cos.
11
09549=≈
.
- 69 -
.
.
=+
π
E=025.
x
. На основе
1
,
.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
== ≈
2
()
n.
=≈
yx=
()
..
xx
ii
[]
()
n →∞
fx
()
[]
[]
[]
Из четвёртого уравнения находим
xa
arccosarccos. .
11
Из второго уравнения находим
1
axax
0111
09549 03014
0 0045=−⋅
≈si
.
.
Из первого уравнения имеем
sin
Итак, функцию
на отрезке [0, π/6] можно приблизить по-
Ea
0 0045.
0
.
линомом наилучшего равномерного приближения первой степени
Px x
0 004509549
=+
1
, где наибольшая погрешность не превышает
величины E ≈ 0.0045.
Выводы
Рассматривается высокоэффективная аппроксимация сеточной
функции (заданной таблично) полиномами невысокой степени на от-
,
резках
и обладающая достаточно высокой гладкостью (суще-
−
1
ствование производных в точках стыка разных интерполяционных
многочленов). Выводится алгоритм вычисления коэффициентов
b
c
d
,
,
i
интерполяционных многочленов 3-й степени, где i – номер
i
i
a
i
отрезка, на котором строится кубический многочлен. Приводятся
оценки погрешностей приближения функций самим сплайном и его
производными. На основе этих оценок делается вывод: последова-
тельность сплайнов
ветственно к функциям
i
S
h
i=012,,
,
i()
i=012,,
,
при
h→0
.
(
) сходится соот-
Приведена фундаментальная теорема Вейерштрасса о приближении многочленами непрерывных функций на отрезке. Дано определение понятию чебышёвская норма функций непрерывных на отрез-
ab,
ке
непрерывными на отрезке
. Введены: понятие расстояния между двумя функциями,
ab,
; понятие наилучшего равномерного
приближения непрерывных функций многочленами; понятие многочлена наилучшего равномерного приближения функции; понятие
чебышёвского альтернанса. Приведена теорема Чебышёва о необходимых и достаточных условиях существования полинома наилучшего равномерного приближения функции непрерывной на отрезке
ab,
. Приведены примеры построения полинома равномерного при-
ближения для конкретных функций.
,
- 70 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]