Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
Лекция4
ii
=−
in=−
21
−= ==
∆
in=−
21
= ()
∆
=−
=−
=−
−
−
x
y
y∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
4. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
ПО РАВНООТСТОЯЩИМ УЗЛАМ
План
4.1. Понятие конечных разностей. Первая интерполяционная
формулаНьютона.
4.2. ВтораяинтерполяционнаяформулаНьютона.
4.3. ОценкипогрешностейинтерполяционныхформулНьютона.
4.1. Понятие конечных разностей.
Первая интерполяционная формула Ньютона
В приложениях интерполирование очень часто ведется для функ-
ций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента:
hx x
где шаг таблицы h является величиной постоянной. В этом случае
построение интерполяционных формул заметно упрощается.
Отметим, что узлы называются равноотстоящими, если
Конечными разностями функции
yy y
ii i
2
∆∆∆
yy y
ii i
xxxhconst
iii+
1
– конечные разности первого порядка;
+1
– конечные разности второго порядка;
1
+
…………………………………………………………….;
k
k
∆∆ ∆
yy y
1
i
k
1
i
1
+
– конечные разности k-го порядка.
i
Выпишем горизонтальную таблицу конечных разностей при
(,,..., )
+1
01
(,,..., )
01
yfx
называются разности вида:
,
(4.1)
n=5
:
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
2
y∆
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
2
y
0
2
y∆
1
2
y∆
2
2
y∆
3
3
y∆
3
y
0
3
y∆
1
3
y∆
2
4
y∆
4
y
0
4
y∆
1
5
y∆
5
y
0
- 41 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
∆
=−=
21
yy
ii
++
22
−+
()
yy
−
12
2
!
()
01
= =
xx=
xa
00
= =
ay
00
=
xx=
10
==+−
()
ah
=+
yy
=−
∆
Конечные разности любого порядка могут быть выражены через
значения функции. Действительно, для разностей первого порядка это
следует из определения
yy yi
ii i
+1
012(,, ...)
;
для разностей второго порядка –
2
∆∆∆
=−= −−−=− +
1211
ii ii iiii
++++
()()
2yy yy yyyy
;
для разностей третьего порядка –
3212
∆∆ ∆
=−=− +−
yy yy yy yyy
ii ii ii iii
++++ ++
=−
Методом математической индукции можно показать, что
y
3
i
+
∆
3
yyyy
+−
iii++
21
k
yy ky
=− +
iikikik
()
32121
3.
1
kk
++−+−
()
−−−
... ()
k
1
=
.
i
Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей. Следуя Ньютону, будем искать
интерполяционный многочлен в виде:
Px aaxx ax xxx
() ()()
=+ −+ −−+
n
...( )( )...(
01 02
ax xxx
+− −
n
01
xxx
n−−1
).
Это многочлен n-ой степени. Значения коэффициентов
...
(4.2)
aa a
,,...,
найдем из условия
Px yi n
() (,,..., )
ni i
01
,
то есть из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах.
При
из (4.2) находим
0
yP
()
n
.
0
Отсюда
.
При
из (4.2) получим:
1
yPxaax x
()
n1101
yy
101
ah
110
a
=
1
,
,
y
0
.
h
1
!
,
n01
- 42 -
xx=
xx
==+−+− −
()
22
ya
02
22
ha
22
yh
22
=⋅
nh
!
++
=+
−=−
00
11
−
−+=−
00
22
Лекция4
При
из (4.2) определим:
2
yPxaax xaxx
() ()()
n220120 22 02 1
;
то есть,
y
∆
yy
=+ ⋅+⋅
20
0
h
ha h
2
,
2
откуда
yy
−−=∆
20
yyyy
−−−= ⋅()
210022
yy
−+
210
2
y
∆
a
=
2
h
2
!
2
h
,
,
2
a
,
2
0
.
2
Аналогично, получим
3
y
∆
a
0
=
3
.
3
h
3
!
В общем случае имеем:
k
y
∆
=
0
. (4.3)
k
kh
!
a
k
Подставив (4.3) в (4.2), получим интерполяционную формулу
y
∆∆
=+ −+ −−
Px y
() ()!()()...
n
+−
0
y
0
n
xx
h
xx
(
)( )...( ).xx xx
001 1
0
n
∆
2
y
0
xx xx
0
h
2
−−
2
01
n
(4.4)
−
В практических целях эта формула применяется в преобразованном
виде. Положим
xx
0
t−=
,
.
0
то есть
h
xx ht
Тогда
()
xxhhxx
xx
−
h
−+=−
1
=
t
h
;
xx
2
=
h
………………………………………
2
()
xx hhxx
h
- 43 -
−=−
t
;
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
−
−+−
−
11
()
⋅+
∆∆
t
φ
xe
=⋅
φ
22=
x
y
y∆
h = 01.
==
02
xxhxx nhhxx
n
−10 0
(())
=
1
=
ntn
−−=− −
()
h
.
Полученные результаты подставив в (4.4), будем иметь интерполя-
ционный многочлен в следующей форме:
1
tt
()
−
Px Px ht yty
() ()
=+=+⋅+
n
000
11
tt tn
−−+
()...(
+
!.n
))
n
⋅∆
y
0
2
y
+
...
2
!
0
(4.5)
Формула (4.5) называется первой интерполяционной формулой
Ньютона. Она применяется для интерполяции в начале отрезка интерполяции, когда
мало по абсолютной величине, и поэтому первую интерполяционную формулу Ньютона называют формулой для интерполяции вперёд.
За начальное значение
x
можно принимать любое табличное зна-
0
чение аргумента x.
Пример4.1. В таблице даны значения функции
2
x
−
1
()
Применяя первую интерполяционную формулу Ньютона, найти
2
π
2
.
(. )222
Решение. Строим конечные разности функции; ограничимся третьей конечной разностью. За
заданному, то есть полагаем
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
0.0540
0.0440
0.0355
0.0283
0.0224
0.0175
0.0136
x
принимаем число, наиболее близкое к
0
x
.
.
0
-0.0100
-0.0085
-0.0072
0.0059
0.0049
0.0049
2
y∆
0.0015
0.0013
0.0013
0.0010
0.0000
3
y∆
-0.0002
-0.0000
-0.0003
0.0010
.
2222201002
....
Так как шаг
, то
t =
−
Используя формулу (3.5), находим
- 44 -
01
.
.
.
P322200355 02 0 0072
⋅+
φ
≈
[]
xx
00
= ()
11
= ()
22
= ()
()
nn
=
−= =−
=+ −+ −−+
21
21
xx
aa
= =
xx
=
xa
= =
ay
=
nn
==+−
()
ah
=+⋅−
11
()
yy
nn
∆
(. ). .(.)
=+⋅− +
..)(. )
⋅
2102 2
02 0
+
.(
−−
!
3
(. ). .
⋅− =
02 02 1
.(.)
⋅−
2
!
0 0003 00339
0 0013
.
Лекция4
(. ).22200359
.
4.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Для интерполяции в конце таблицы обычно применяют вторую ин-
терполяционную формулу Ньютона.
Пусть на отрезке
xx
,,,...,
yfx
, которым соответствуют значения функций
n01 2
yfx
,
и равен h, то есть
ab,
даны
, ...,
yfx
xxhi n
ii+
1
n+1
различные значения аргумента
yfx
, а шаг интерполирования постоянен
01 1,( ,,..., )
.
Построим интерполяционный многочлен вида
Px aaxx ax xxx
() ()()()
ax xxxxx
()()(
+− −−
312
nnnn
nn n
Значения коэффициентов
01
−−
Px yi n
) ... ()()...( ).++ −− −
aa
,,,...,
() (,,..., )
ni i
01
ax xx
nn n
найдём из условия
n012
−
−
(4.6)
x
1
,
то есть из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах.
При
из (4.6) находим
n
yP
()
nnn
,
0
то есть
.
n0
При
xx
, получим из (4.6):
n=−1
yPxaax x
nn
1101 1
()
yy
nn−
a
−
=
1
h
,
n−− −
,
1
−
,
,
y
n11
a
−
=
.
h
1
!
- 45 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
xx
−−
==+−+−⋅−
22
()
22
ha
−−
21
22
nn
22
in
!
3 hh
nh
xx
!
xx
−
−
⋅+
xx
При
yPxaax xaxx
, получим из (4.6):
n=−2
() ()()
nnnnnnnn n−− −−
2201 22
,
1
то есть
y
∆
n−−
yy
=+ ⋅− +⋅
nn
2
yyyy
=− −+⋅
nn nn
yyy
nn
a
=
2
Методом математической индукции можно доказать, что
a
==
i
1
ha h
()
h
()
2
−+
21
−− −
2
h
i
y
∆
ni
−
i
ih
!
=
(,,..., )01
2
,
2
2
,
2
2
y
∆
2
.
2
h
!
.
Подставив найденные значения коэффициентов в формулу (4.6) получим
y
∆∆
n
−−
Px y
()
=+ −+ −−+
nn
3
y
∆
3
n
−
+
()()()...
3
1
xx
()!()()
h
!
1
xx xx xx
nn n
2
y
n
2
n
12
−−
2
h
2
xx xx
nn
∆
1
−
n
y
0
xx
()...( ).−− −++−−
n
n
1
Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона.
На практике используют формулу Ньютона в другом виде.
Положим
n
=
,
h
t
=+−11
h
,
тогда
t
xxhxxhhxx h
−
−−=−+
nn n
()
=
(4.7)
xx
n
h
tt
1
⋅
∆
…………. .
1
()
2
!
n
.
y
0
2
Формула (4.7) примет окончательный вид:
Px yty
()
nnnn n
()...( )
++−
tt tn
11
++
∆∆ ∆
−− −
!
n
Вторая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполяции в конце таблицы, то есть для интерполяции назад.
- 46 -
t
=+−22
tt t
()()
y
2
,
12
++
3
!
3
y
+
...=+⋅++⋅+
3
(4.8)
x
y
x
y
y∆
= 06
= 01
−
−
02
==+− ⋅+
y
x
xx<
Лекция4
Пример4.2. В таблице приведены значения интеграла вероятностей.
0.03983
0.07926
0.11791
0.15542
0.19146
0.22575
.
Требуется вычислить
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
y(. )058
Решение. Составляем таблицу конечных разностей:
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.03983
0.07926
0.11791
0.15542
0.19146
0.22575
0.03943
0.03865
0.03751
0.03604
0.03429
2
y∆
-0.00078
-0.00114
-0.00147
-0.00175
3
y∆
-0.00036
-0.00033
-0.00028
Примем
x
.
.
n
h
.
..
05806
n
=
. Отсюда
=−
.
01
.
.
Здесь шаг интерполяции
xx
t
=
h
Используя подчеркнутые разности, в силу второй интерполяцион-
ной формулы, будем иметь:
yP(. )(.) .(.) .
058058 0 2257502003429
−⋅−+⋅− +
(.)( .)(. )
02 02 1022
+
3
(.)( .)
02 02 1
−⋅−+
+
!
2
!
3
⋅⋅ −+
(. )
0 00175
⋅− =
(. ).
0 000280219044.
Замечание. Как первая, так и вторая интерполяционные формулы
Ньютона, могут быть использованы для экстраполирования функции,
то есть для нахождения значений функций
для значений аргументов
, лежащих вне пределов таблицы.
Если
и x близко к
0
x
, то выгодно применять первую интер-
0
поляционную формулу Ньютона, причём тогда
- 47 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
−
xx
>
= ()
xx
nn
= = =
()
fx()
Px
nn
()=−
()
nn
()
−−
ξ
∈
x
()
Mf
x(
ii
=−
in=−
21
xx
t
Если же
и x близко к
n
=
<00
h
x
.
, то удобнее пользоваться второй
n
интерполяционной формулой Ньютона, причём
xx
−
t
n
=
> 0
h
.
То есть первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполяции вперёд и экстраполяции назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона – интерполяции назад и экстраполяции вперёд.
Заметим, что операции экстраполяции, вообще говоря, менее точны, чем операции интерполяции.
4.3. Оценки погрешностей интерполяционных
формул Ньютона
Для функции
Ньютона, которые в точках
yfxyfx yfx
ния
(),(),...,
0011
yfx
мы построили интерполяционные полиномы
xx
,,,...,
принимают заданные значе-
n01 2
.
Возникает вопрос, насколько близко построенные многочлены приближаются к функции
ный член
в других точках, то есть как велик остаточ-
Rx fx
() ()
.
Ранее была выведена формула остаточного члена
()
Rx fx Px
() () ()
=− =
nnnn
f
n
()!
где
ω
xxxxxxx
=−
+
и не зависит от
()()...( ),
101
, а узлы интерполирования неравноотстоящие.
Была приведена также оценка остаточного члена
Rx fx Px
() () ()
где
В нашем случае узлы интерполирования равноотстоящие, то есть шаг
=− ≤
nnnn
=
ma
n
+
1
hx x
+1
()!
()
n
axb
≤≤
(,,,..., )
01
есть величина постоянная.
- 48 -
M
n
+
++1
+
1
()
1
+
x
ξ
ω
⋅
x
, (4.9)
1
[,]ab
++1
ω
1
1
)
.
x
, (4.10)
xx
−
fx
nn
,]
⋅∈
++11
tn
−−
Mf
x(
xx
−
nn
()
++
++11
tn
++
Mf
x(
= ()
h
+
Лекция4
Полагая
t
0
=
,
h
получим формулу остаточного члена (или формулу погрешности)
для первой интерполяционной формулы Ньютона
1
tt tn
()...( )
Rx h
()
=⋅
n
−−
1
n
()!
+
()
ξξ
(),[
x
(4.11)
n
0
и оценку для погрешности
1
tt
()...( )
n
где
Rx Mh
()
≤⋅⋅
nn
n
+
1
++1
=
ma
1
xxx
≤≤
0
n
n
()!
()
n
+
1
+
1
)
ξ
, (4.12)
.
Аналогично, полагая в формуле (4.9)
t
n
=
,
h
получим остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона
1
tt tn
Rx h
()
n
=⋅
()...( )
+
1
n
()!
⋅
()
f
ξ
(4.13)
и оценку для погрешности
1
tt
()...( )
n
где
Rx Mh
()
≤⋅⋅
nn
n
+
1
++1
=
ma
1
xxx
≤≤
0
n
n
()!
()
n
+
1
+
1
)
ξ
, (4.14)
.
При практических вычислениях интерполяционная формула Нью-
тона обрывается на членах, содержащих такие разности, которые в
пределах заданной точности можно считать постоянными.
Предполагая, что
∆ky
почти постоянны для функции
yfx
и h
+1
достаточно мало, и учитывая, что
k
+
1
∆
()
k
+
1
fx
() lim
=
h
y
,
k
+
1
→
0
приближенно можно положить
k
1
y
1
()
ξ
∆
0
≈
.
k
1
+
h
()
k
+
f
- 49 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
yx=
x
y
y∆
−
−−
−
01
== +⋅ +
⋅=
..
4
!
()
1000
<<
ξ
Тогда остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона приближенно равен
1
tt tk
()...( )
Rx
()
k
−−
≈
k
()!
+
1
+
1
k
∆
y
⋅
, (4.15)
0
для второй интерполяционной формулы Ньютона приближенно равен
1
tt tk
()...( )
Rx
()
k
++
≈
k
()!
+
1
+
1
k
∆
y
⋅
. (4.16)
k
Пример4.3. По данной таблице значений
lg
найти
lg1001
Решение. Составляем таблицу разностей.
1000
1010
1020
1030
1040
1050
3.0000000
3.0043214
3.0086002
3.0128372
3.0170333
3.0211893
0.0043214
0.0042788
0.00423370
0.0041961
0.0041560
2
y∆
-0.0000426
-0.0000418
-0.0000409
-0.0000401
3
0.0000008
0.0000009
0.0000008
Замечаем, что третьи разности практически постоянны, поэтому в
формуле (4.4) достаточно взять
1
tt
yx yty
=+⋅+
0
x=1007
Для
1001 1001 3 0000000 01 0 0043214
lg ()...
()
∆∆ ∆
2
!
имеем
P
3
n=3
tt t
()()
2
y
⋅+
0
1007 1000
t =
10
01 09
..
⋅
+
2
...
01 0919
⋅⋅
+
6
⋅
:
12
3
!
=
.
0 000042
0 0000008 3 0004341
3
y()
⋅
.
0
.
.
66
+
.
y∆
Оценим остаточный член по формуле (4.12) при
4
Rx
()
3
httt t
=
123
()()()
⋅− −−
1030
- 50 -
n=3
имеем:
()
4
f
⋅
ξ
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]