Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
()
01
()
Лекция7
2. В чем состоит отличие построения интерполяционного многочлена от построения многочлена по методу наименьших
квадратов?
3. Приведите условие, при котором интерполяционный многочлен и многочлен, построенный по методу наименьших квадратов, совпадают.
4. Опишите способы выбора аппроксимирующей функции в методе наименьших квадратов.
5. Как от приближающей функции
йти к приближающей функции вида
Famx ae
,,
fbbx bbx
01
mx
=⋅, a>0
,,
=+⋅
пере-
?
Рекомендованная литература
Основная
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е
изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Вержбицкий В. М.. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.
3. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие. 5-е изд., стер. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2008, 256с.
4. Демидович Б. П., Марон И. А., Шyвалова Э. З. Численные методы
анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные
уравнения: Учебное пособие. 5-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань»,
2010, 400 с.
5. Копчёнова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в задачах
и примерах. – М.: Изд-во Лань, 2008, 368 с.
6. Самарский А .А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.
7. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учебное
пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 320 с.
8. Формалёв В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: ФИЗ-
МАТЛИТ, 2006, 400 с.
Дополнительная
9. Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:
Hаyка, 1994.
10. Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. –
М.: Наука, 1977.
- 81 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
[]
xa
mm
()
xd
Px
()
m
I
8. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
В СЛУЧАЕ ПРОМЕЖУТКА
(Интегральный метод)
План
8.1. Интегральныйметодаппроксимациифункций.
8.2. Общаязадачаприближенияпометодунаименьшихквадратов.
8.3. Среднеквадратическиеприближенияприпомощитригонометрическихмногочленов.
8.1. Интегральный метод аппроксимации функций
Пусть функция
yfx=
задана на отрезке
ти её среднеквадратическое приближение в этом промежутке при помощи полинома:
Px aaxa
=+ +++
01 2
2
В этом случае вместо конечной суммы
b
IfxP
=−
[()()]
∫
a
2
m
Подбираем коэффициенты полинома
при заданном
принимал наименьшее значение.
Приравнивая к нулю частные производные от
чим следующую систему уравнений:
b
∂
I
[()()] (,,..., )
=− ⋅==
fx Px xdxk m
∫
∂
a
k
a
2
m
k
или в развернутой форме:
b
m
axdx fxdx
⋅=
∑
i
=
0
i
a
b
m
axdx fx xdx
⋅=⋅
∑
i
=
0
i
a
....................................
..
b
m
⋅=⋅
∑
i
∫
=0
i
aa
b
i
+
i
+
im m
() ,
∫∫
a
b
1
() ,
∫∫
a
b
()axdx fx xdx
∫
a
ab,
, и требуется най-
m
x
...
S
x
m
. (8.1)
рассматриваем интеграл:
. (8.2)
так, чтобы интеграл I
по всем
a
001
(8.3)
полу-
k
- 82 -
Лекция8
−=
10
),
−=
−=
−=
или
b
Ifxaax ax ax dx
=−++ ++
[()( ... )] ;
∫
a
I
∂
2 ++++⋅
=−+
a
∂
0
∂
I
2
=−++ +
∂
a
1
∂
I
2
=−++ ++
∂
a
2
01 2
b
[()(
fx aax
∫
a
b
[()( ....)](
fx aaxax
∫
a
b
[()( ... )]
fx aaxaxax
∫
a
01
01 2
01 2
...........................................
b
∂
I
2
[()(
=−+
fx aa
∂
∫
a
m
a
01
22
ax ax dx
2
2
.......................................
xxaxaxxdx
+++⋅
2
m
m
2
... )] () ,
2
2
m
m
m
ax xdx
+⋅
m
m
m
mm
m
т. е.
b
m
axdx fxdx
⋅=
∑
i
=
0
i
a
b
m
axdx xfxdx
⋅=⋅
∑
i
=
0
i
a
b
m
a
⋅⋅ =⋅
∑
i
0
=
i
a
..........................................
b
m
⋅=⋅
∑
i
=
0
i
a
b
i
+
i
+
i
xdxxfxdx
+
im m
() ,
∫∫
a
b
1
22
() ,
∫∫
a
b
() ,
∫∫
a
b
() .axdx xfxdx
∫∫
a
Систему (8.4) запишем и в более привычном виде:
b
adxa xdxa xdxaxdxfxdx
⋅+⋅+⋅++⋅ =
01 2
a
b
a
⋅
xxdxa xdxa xdxaxdxxfxdx
0
∫∫
a
b
⋅+⋅+⋅++⋅ =⋅
axdx axdx axdx axdx xfxdx
0
a
b
a
b
+⋅ +⋅ ++ ⋅=⋅
1
a
2
b
1
a
b
2
... () ,
a
2
3
b
31
2
a
b
422
2
∫∫∫∫
a
b
m
a
... () ,
m
... () ,
m
.................................................................................................
b
m
⋅+⋅ xxdxa xdxaxdxxfxdx
axdx a
01
a
b
mm
++
1
a
b
+⋅ ++ ⋅=⋅
22
2
a
... () .
- 83 -
b
m
∫∫∫∫∫
a
b
+
m
a
b
+
m
a
b
m
a
0
2
⋅⋅
() ,
xdx
0
0... )] () ,
(8.4)
b
∫∫∫∫
a
b
∫∫
a
b
mm
∫∫∫∫∫
a
(8.5)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
xx
∫∫
∫∫
42
xx
xx
∫∫
∆m+≠
aa
I
[]
[]
20
,)
aI
aI
40
42
3
517
Определитель этой системы запишется в виде:
b
dx xdxxdx xdx
∫∫
a
b
xdxxdx xd
∫∫ ∫
a
∆
b
=
m
+
1
23
xdxxdx xd
∫∫
a
...... ..... ......
b
m
∫∫
a
b
a
b
23
a
b
a
b
m
++12 2
a
b
2
a
b
a
b
a
b
m
a
b
...
...
...
m
a
b
++
m
∫
a
b
+
m
a
.... ......
b
...xdxxdx xd
m
a
1
dx
(8.6)
dx
dx
Определитель (8.6) есть определитель Грама. Следовательно,
0
, т.к. система функций
1
12,, ,...,xx x
m
линейно независима. Та-
ким образом, система (8.5) имеет и притом единственное решение
aa
,,,...,
ние интегралу
, которое, очевидно, и будет давать наименьшее значе-
m012
.
Подставляя найденное решение в формулу (8.1), получим иско-
мый многочлен.
ab,
Рассмотрим, например, случай, когда отрезок
−
11,
m=4
резком
и
.
совпадает с от-
Тогда вводя обозначения:
1
⋅= ⋅=
Ifxxdx k
k
∫
1
−
k
() (,,,
1234
и вычислив интегралы
1
xdxkk,( ,, ,,)=
∫
−
1
01234
,
получим систему (8.5) в виде:
1
1
3
5
aaI
+=
131
5
1
++=,,
,
- 84 -
aa
++=
02
131
1
aa
02
44
aI
Решая ее, находим:
II
24
()
24
24
II
II
()
fx
()
Px
()
I
=−
ρ
()
ρ
()
151
aaI
+=
133
7
151
aa
++=,.
02
719
15
aI
00
aII
113
aI
20
aII
331
aI
40
15 70 63
=⋅ −+
64
15
(),
57
=⋅ −
4
105
(
=⋅−+
32
35
53
=⋅ −
(),
4
315
=⋅−+
33035
64
2245
54
−
Лекция8
,
),
.
В том случае, когда при построении приближения функции
при помощи
по методу наименьших квадратов, мы по ка-
m
ким-либо соображениям желаем получить в одних частях рассматриваемого промежутка более точное приближение по сравнению с другими его частями, можно поступить следующим образом: интеграл
, определенный равенством (8.2), заменяем интегралом более об-
щего вида:
b
Ixfx Px dx
ρ
где
x
– специальным образом подобранная неотрицательная
()[()()]
∫
a
функция, называемая весом; при этом
2
m
, (8.7)
x
в данной точке x должно
выбираться тем больше по сравнению со значениями в других точках, отличных от x, чем большая точность приближения интересует
нас в данной точке x. В остальном поступаем так же, как и в предыдущем случае.
- 85 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
φφφφ
xx
() () () ()
[]
m
Px
()
ax
mm
()=⋅ +⋅ +⋅ ++ ⋅
φφφφ
aa
aa
xd
xd
φφ
I
−=
20
−=
20
−=
20
8.2. Общая задача приближения
по методу наименьших квадратов
Пусть
,,,...,
012
– заданная на отрезке
m
ab,
систе-
xx
ма линейно независимых и непрерывных функций.
Обобщенным полиномом
-й степени
будем называть вы-
m
ражение следующего вида:
где
aa
,,,...,
() () () () ...
00 11 22
– произвольные постоянные.
m012
, (8.8)
m
Px axaxax
Дадим обобщение приближению в смысле среднеквадратического при помощи обобщенных полиномов. При этом мы ограничимся
случаем непрерывного аргумента (промежутка), так как случай ряда
дискретных точек может быть рассмотрен по аналогии.
Ставим следующую задачу.
aa
Требуется подобрать такие значения коэффициентов
в обобщенном полиноме (8.8), чтобы интеграл
b
IfxP
=−
[()()]
∫
a
m
2
x
, (8.9)
,,,...,
m012
т. е.
b
Ifxa xa xa xa
=−⋅+⋅+⋅++⋅
[()( () () () ... ( ))]
∫
a
φφ
00 11 22
mm
2
x
принял наименьшее значение.
Приравнивая нулю частные производные интеграла
по всем
a
,
k
получим следующую систему уравнений:
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
..................................................................................................
∂
∂
b
I
a
I
a
1
I
a
I
a
[()( ... )] () ,
=⋅ −⋅+⋅+⋅++ ⋅⋅
fx aaaa dx
∫
0
a
b
[()( ... )] () ,
=⋅ −⋅+⋅+⋅++ ⋅⋅
fx aaaa dx
∫∫
a
bb
[()( ... )] () ,
=⋅ −⋅+⋅+⋅++ ⋅⋅
fx aaaa dx
∫
2
a
b
2 aaaaa dx
[()(
=⋅ −
fx
∫
m
a
φφφφφ
00 11 22 0
φφφφφ
00 11 22 1
φφφφφ
00 11 22 2
φφφφφ
00 11 22
mm
mm
mm
... )] ()
mm m
0⋅+⋅+⋅++⋅ ⋅− =
- 86 -
или
00
22
xf
af
()
,,
km
()
ff
∫∫
φφ
⋅⋅
∫∫
b
adxa dx adxdxfxdx
φφφφφφφφ
a
b
adxa dx adxdx
φφ φφφφφφ
001122121
a
b
adxa dx adx
φφ φφ φφ
002112 22
a
.................................................................................................
b
φφ φφ φφ φφ
a
b
+⋅+⋅++ ⋅=⋅
∫∫∫
a
b
⋅+ +⋅++ ⋅=
⋅+ ⋅+ ++
⋅+ ⋅+⋅++=⋅
mm
∫∫∫
1
a
b
∫∫∫
a
b
∫∫∫
a
b
b
... () ,,
a
b
a
b
...
a
b
2
a
b
a
a
b
...
m
⋅=⋅
φφ
2
a
b
...adxa dx adxd
a
b
m002101202
∫∫
a
b
⋅
m
m
11
∫∫
a
b
dx fxdx() ,
∫∫
a
b
2
mm00 11 22
∫∫
a
Систему (8.10) можно записать в компактном виде:
m
∑
i
=
iik
0
⋅
=
φφ φ
()
k
=
012,, ,...,
,
, (8.11)
где введем следующие обозначения:
b
φφ φφ
()
,
()
=⋅
ik ik
b
φφ
=⋅
kk
∫
a
∫
a
dx,
,
xdx
()
. (8.12)
Определитель системы (8.10) запишем в виде:
b
2
φφφφ
0
∫∫
a
b
φφ φ
⋅
01
∫
a
D
b
=
m
1
+
φφ φφ φ
⋅⋅
02 12 2
∫∫ ∫
a
... ... ... ... ...
b
φφ φφ φφ
⋅⋅⋅
012
∫∫
a
b
dx dx dx dx
dx
⋅⋅ ⋅
01 02 0
a
b
22
∫∫ ∫
1
a
b
dx dx dx
a
b
dx dx dx
m
a
b
b
...
a
b
dx dx dx
m
φφ φφ
12 1
a
b
2
a
b
m
∫
a
...
....
...
a
b
a
b
φφ
2
∫
a
b
a
fxdx
() ,
(() .xdx
φ
m
m
⋅
dx
m
2
φ
dx
m
Лекция8
(8.10)
. (8.13)
- 87 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
φφ
xx
() () () ()
aa
I
()
{}
[]
⋅=
kk
,)km=
fx
()
()
{}
1
cos x
cosmx
[]
,,
,,
,,
,,
,.
20
Определитель (8.13) есть определитель Грама. Следовательно,
D
m+≠1
0
, т.к. система
φφ
xx
,,,...,
012
линейно независима.
m
Таким образом, система (8.10) имеет и притом единственное реше-
aa
,,,...,
ние
ние интегралу
, которое, очевидно, будет давать наименьшее значе-
m012
.
Система (8.10), а также вычисления, связанные с ее решением, зна-
φ
чительно упрощаются, в том случае, когда система функций
ab,
ортогональна на отрезке
b
φφ
∫
a
, то есть имеют место равенства:
xxdx() ()
ik
0
при i≠k. (8.14)
x
k
Система (8.10) в этом случае дает:
b
() ()
φ
fx xdx
⋅
∫
a
a
Числа
a
=
k
, определяемые по формуле (8.15), называются коэффи-
k
циентами Фурье функции
φ
мы функций
x
k
k
b
2
()
φ
xdx
k
∫
a
(, )
=
(,)
φφ
φ
f
k
(,,...
01
,
. (8.15)
относительно ортогональной систе-
.
В качестве примера системы ортогональных функций можно указать
систему функций
Ортогональность этой системы функций на отрезке
,
π
2
∫
0
π
2
∫
0
π
2
∫
0
sin x, cos2x, sin2x
,
sinsin
nx kxdx
⋅=
cossin ,
kx nxdx
⋅=
π
0
nnx kxdx
⋅=≠=≠
cos
cos
0
0
π
kn
kn
π
, …,
≠
=≠
kn
kn
kn
==
02;
0
(8.16)
0
sin mx
,
π
легко доказать:
, … .
Отметим, что по аналогии со случаем приближения при помощи
многочленов в некоторых случаях вместо интеграла (8.9) рассматривают интеграл более общего вида:
- 88 -
=−
ρ
()
()
{}
ρ
()
xx
ρφ
()
{}
Px
()
()
xx
31
53
()
()
=
Лекция8
где
x
– функция, такая же, как и в (8.7).
Ixfx Px dx
Система функций
гональной с весом
b
ρ
()[()()]
∫
a
φ
x
при этом, как правило, выбирается орто-
k
x
, то есть
b
ρφ φ
() () ()xx xdx
⋅⋅ =∫0
a
ik
2
m
при i≠k, (8.17)
при i≠k. (8.18)
Коэффициенты обобщенного полинома будут определяться ра-
венствами:
b
() () ()
xf
⋅⋅
∫
a
a
=
k
b
xdx
()
ρφ
⋅
∫
a
dx
k
(8.19)
2
k
При приближении функции по способу наименьших квадратов в
φ
x
качестве системы функций
часто выбирают систему специ-
k
альных ортогональных полиномов, как, например, полиномы Лежандра, полиномы Чебышёва, полиномы Якоби и т.д.
В этих случаях обобщенный полином
в конечном счете сво-
m
дится к обыкновенному степенному полиному.
В качестве примера рассмотрим случаи полиномов Лежандра и
полиномов Чебышёва.
n-й полином Лежандра можно определить следующей формулой:
n
Lx
()
n
2
1
n
nddx
⋅⋅ −
n
!.=⋅
n
2
1
x
(8.20)
Полагая
n=01 5,,...,
, получим первые шесть полиномов Лежандра:
Lx
Lx x
Lx x
Lx
() ,
0
() ,
=
1
()
=⋅ −
2
()
=⋅ −
3
1
1
2
2
1
3
2
(8.21)
,
,
- 89 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
()
−+
nm
nm
,,
,.
≠
[]
Tx
()
nx
()
=
53
xx
,,
[]
1
=⋅
Lx xx
()
4
=⋅ −+
Lx xxx
()
5
42
35 30 3
8
1
53
63 70 15
8
,
.
Используя формулу (8.20), интегрированием по частям можно
убедиться в справедливости равенств:
0
1
Lx Lxdx
() ()
∫
−
⋅=
nm
1
2
n
+
21
(8.22)
=
Таким образом, полиномы Лежандра образуют ортогональную си-
−
11,
стему полиномов на отрезке
Полиномы Чебышёва
n≥0
где
(целое).
n
Tx
() cosarccos=⋅
n
.
определяется равенством:
, (8.23)
По формуле (8.23) получим первые шесть полиномов Чебышёва:
Tx
Tx x
Tx x
Tx xx
Tx xx
T
1
() ,
0
() ,
=
1
() ,
2
() ,
3
() ,
4
55
2
21
=−
3
43
=−
42
881
=−+
16 20 5() .xx
=−+
(8.24)
Непосредственным подсчетом можно убедиться, что:
1
TxTx
() ()⋅
nm
∫
1
−
1
Tx
∫
−
1
n
1
1
2
()
−
2
x
−
dx
2
x
т.е. полиномы Чебышёва образуют на отрезке
0
dx
=
π
=
π
,,,,...,
2
при n≠m
=
0
n
=
123
n
(8.25)
−
11,
ортогональную
систему полиномов с весом
ρ
() .xx=
2
−11
- 90 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]