Численные методы. Ч.1. Учебное пособие

xx

ii

+

2

′′

()

xx

ii

[]

ii

ξ

xx∈

ii

24

Лекция10

10.2. Методы численного интегрирования:

метод прямоугольников, метод трапеций,

метод Симпсона (парабол)

1)Формулапрямоугольников

Заменим интеграл (10.4) выражением

fzh

(),

i

где

−1

z

=

i

Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции

ABCD

заменяется площадью прямоугольника

ABCD

Тогда получим формулу

x

i

fxdx fzh

()

∫

x

i

−

1

≈

, (10.5)

i

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрез-

,

ке

.

−

1

.

Погрешность метода (10.5) определяется величиной

Оценка погрешности (10.6) описывается следующим неравенством

x

i

Rfxdxfzhhf

=−=

() () "( )

i

∫

x

i

−

1

(,)

iii

−

3

h

R

<

- 111 -

3

ξ

24

1

M

, (10.7)

,

2

, (10.6)

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Mf

()

xx

ii

[]

()

in

()

xx

ii

+

2

ξ

∈

24

()

Mf

()

ii

()

fx()

xx

ii

−

где

max"

=

i

,

xx

[,]

ii21

−

x

,

т. е. погрешность формулы прямоугольников на отрезке

3

Оh

величина

Суммируя равенства (10.5) по

.

=1,

, получим составную форму-

лу прямоугольников

b

fxdx fzh

()

∫

a

n

≈

∑

=1

i

, (10.8)

i

где

−1

z

=

i

.

Погрешность этой формулы

b

Rfxdxfh

=− =

() ()

∫

a

∑

i

n

z

=

1

i

2

hb a

−

()

24

f

"( )

ξ

[,]ab

,

Для этой погрешности справедлива оценка

Mbah

2

R

≤

2

−

, (10.9)

,

есть

−

1

.

т. е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть ве-

личина

ет второй порядок точности.

2)Формулатрапеций

На частичном отрезке эта формула имеет вид

и получается путем замены подынтегральной функции

поляционным многочленом Лагранжа первой степени, построенным

по узлам

Оh

= max"

2

ab

[,]

2

. В этом случае говорят, что квадратурная формула име-

x

i

fxdx

()

∫

x

i

−

1

≈

x

,

fx fx

()

+

−

1

2

h

(10.10)

интер-

,

, т. е. функцией

−1

xx

L

=

i

1

,

1

(( )(

=−

h

i

xx

−

ii

1

−

xx fx

i

1

− iiii

fx

() ()

i

−

+

1

xx

−

ii

xxfx)( )( )).−−

i

1

−

fx

=

i

1

−

−1

- 112 -

Погрешность метода (10.10) определяется величиной

21

xx

(,

ii

12

Mf

()

xx

ii

[]

()

in

ii

nn

21

2

;.

21

ξ

∈

12

Mf

()

x

i

Rfxdx

=−

i

()

∫

x

i

−

1

fx fx

()()

+

−

1

ii

3

h

=−

f

"( )

ξ

,

i

2

Для этой погрешности справедлива оценка

3

h

R

M

<

, (10.11)

,

2

где

max"

=

i

,

xx

[,]

ii21

−

x

,

т. е. погрешность формулы трапеций на отрезке

3

Оh

на

.

Суммируя равенства (10.10) по

=1,

, получим составную форму-

лу трапеций

b

fxdx

()

∫

a

h

(( )),

=+++++

n

fx fx

()()

+

−

≈

∑

i

ff ff f

01

1

=

1

2

2 

h

=

−

где

Лекция10

ξ

∈

ii i

,

−

1

)

−

1

.

есть величи-

(10.12)

Погрешность этой формулы

Rfxdx

Для этой погрешности справедлива оценка

Таким образом, погрешность составной формулы трапеций на всем отрезке есть величина

ffxi nhnba

== =−(),,,...,

ii

b

=−

()

∫

a

n

fx fx

()()

∑

i

=

1

01

+

ii

−

1

bah

−()

R

= max"

2

ab

[,]

2

Оh

- 113 -

2

()

hb a

−

h

=−

2

M≤

, (10.13)

2

x

.

"( )

f

ξ

[,]ab

2

,

.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

fx()

xf

ii

++

11

fx()

ii

,]

≈∈

21

Lx

()

ii

11

,.

+=

()

−+

11

ab

[]

()

3

nn

−−

42

nm=⋅

ff

()

∑∑

42

()

ξ

∈

3)ФормулаСимпсона(парабол)

В интеграле (10.4) заменим функцию щей через точки женно

где

– интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени.

i2,

(,), (,), (,)xf xf

в виде

ii ii

−−

11

fx Lx xxx

() (),[

,

параболой, проходя-

, т. е. представим прибли-

,

i

−+

1

Проводя интегрирование, получим

x

i

1

+

Lxdx

() ()

i

21

,

∫

x

i

1

−

h

fffhxx

=+

3

4

ii

−+ −

−

i

Таким образом, приходим к приближенному равенству

x

i

+

1

fxdx

()

∫

x

i

−

1

h

fff

iii

3

4

,≈++

(10.14)

которое называется формулой Симпсона или формулой парабол.

,

На всем отрезке

формула Симпсона (составная формула па-

рабол) имеет вид

b

fxdx

()

∫

a

h

ff ff f

=+++++

[(...

013 n

4

n

2

/

h

≈++=

fff

∑

i

3

=

1

4

iii

−+

11

++++

2)( ... )];

12

ff f

n 2

здесь да

– число пар отрезков разбиения. В формуле Симпсона всег-

2

и тогда составная формула Симпсона имеет вид:

Погрешность формулы (10.15)

b

Rfxdx

=−++ +=−

()

∫

a

Для этой погрешности справедлива оценка:

b

fxdx

()

∫

a

h

3

h

ff

≈+++

02 21

3

m

ff ff

02 21

42

∑∑

mi

i

=

R

m

mi

−

1

[,]ab

bah

−()

180

−

=

1

i

m

i

−

22

i

=

1

.

4

M≤

, (10.16)

4

m

=

i

- 114 -

1

22

−

i

hb a

.

(10.15)

4

()

−

IV

ff

180

ξ

,

Mf

x(

fx()

24

12

= ()

in

=−

−

Лекция10

IV

4

= ma

[,]

ab

x

)

,

т. е. погрешность составной формулы трапеций имеет четвертый порядок точности.

Замечание10.1. Отметим, что формулы прямоугольников и тра-

пеций дают точное значение интеграла, когда подынтегральная функция линейна, ибо тогда

fx"( )≡0

значение интеграла, когда подынтегральная функция многочленом третьей степени, ибо тогда

Замечание10.2.Если функция

; формула Симпсона дает точное

является

IV

fx

()≡ 0

.

задана таблично и ее производные найти затруднительно, то в предположении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для оценки погрешностей, выраженные через конечные разности:

• для формулы прямоугольников

ba

−()

R

max

2

y≤

∆

; (10.17)

• для формулы трапеций

ba

−()

R

max

2

y≤

∆

; (10.18)

• для формулы Симпсона

ba

−()

где под Δ

2

y, Δ4y подразумеваются разности соответствующего порядка.

R

180

Пусть дана таблица значений функции

max

4

y≤

∆

, (10.19)

yyx

с равноотстоящи-

ми значениями аргумента:

xx x

,,..., ,

01

yy y

,,..., ,

01

n

где

Тогда по определению:

∆ yy y

ii i

2

∆∆∆

yy y

ii i

…………………..

k

∆∆ ∆

yy y

xxhconst

ii+

– конечные разности 1-го порядка;

+1

– конечные разности 2-го порядка;

1

+

k

1

i

k

i

1

+

−===−

1

– конечные разности k-го порядка;

i

01 1(,,..., ).

- 115 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

x

y

ml

+−

−

→→

00

∆

Приведем горизонтальную таблицу конечных разностей при

y∆

x

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

y

0

y

1

y

2

y

3

y

4

y

5

y∆

0

y∆

1

y∆

2

y∆

3

y∆

4

2

y∆

2

y∆

0

2

y∆

1

2

y∆

2

y∆

3

y∆

3

y∆

0

3

y∆

1

3

y∆

2

4

y∆

4

y∆

0

4

y∆

1

n=5

5

y∆

5

y∆

0

Далее имеем:

fx

'( )lim

i

fx hfx

()()

iihiihi

h

yyhy

+

1

li

=

im=

=

,

→

0

h

т. е.

y

fx

'( )lim=

i

→0

.

h

Можно показать, что

k

y

=()lim

h

→

∆

i

,

k

0

h

k

()

fx

i

а отсюда имеем:

k

y

k

()

fx

∆

i

≈()

i

.

k

h

Теперь легко получить вышеприведенные неравенства (10.17), (10.18), (10.19) для оценки погрешностей формул численного интегрирования.

.

10.3. Остаточные члены и их оценки.

Выбор шага интегрирования

Задача состоит в выборе шага

h

, обеспечивающего заданную точность ε вычисления интеграла по выбранной формуле численного интегрирования.

Рассмотрим два способа решения этой задачи:

- 116 -

ε

2

()

fx

||

−<

ε

||

−≥

ε

II

nn

II

nn

Лекция10

1)Выборшагаhпооценкеостаточногочлена

Пусть требуется вычислить интеграл с точностью ε. Используя

формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают h таким, чтобы выполнялось неравенство

R <

.

Затем вычисляют интеграл по приближенной формуле с получен-

ным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала ε/2.

2)Двойнойпересчет

()

Т.к. отыскание

max|

k

|

часто приводит к слишком громоздким

вычислениям, на практике обычно используют следующий прием.

Вычисляют интеграл I по выбранной квадратурной формуле

дважды: сначала с некоторым шагом h, а затем с шагом

h 2

, т.е. уд-

ваивают число n.

I

Обозначив результаты вычислений через

сравнивают их. Если

II

nn

2

, где ε – допустимая погрешность,

I

и

n

соответственно,

n2

то полагают

.

I≈I

2n

Если же окажется, что

II

nn

2

, то расчет повторяют с шагом

h 4

В качестве начального шага иногда можно рекомендовать число

близкое к

m

, где

m=2

для формулы трапеций и

m=4

для формулы

Симпсона.

Указанный прием широко используется при вычислении интегра-

лов на ЭВМ, т.к. он позволяет осуществить автоматический выбор шага при заданной точности ε с одновременным контролем вычислений.

Отметим, что для приближенной оценки погрешности усечения Δ

можно воспользоваться принципом Рунге, согласно которому

1

∆≈ −

3

для формулы трапеций.

2

.

∆≈ −

15

1

для формулы Симпсона.

2

- 117 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

a

[]

xa

=

xb

=

Rx

nn

()=+

Rxn()

nn

00

∫∫

n = 2

10.4. Формулы Ньютона-Котеса

Пусть требуется вычислить интеграл

b

если на отрезке

ab,

функция задана таблицей с постоянным шагом h:

ò

f x dx

()

, (10.20)

x

i

y

i

0

y

0

x

1

y

1

x

2

y

2

…

n

y

n

Подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом Лагранжа (первым интерполяционным многочленом Ньютона) и получим

fx Px

где

– остаточный член интерполирования. Интегрируя равен-

() ()

, (10.21)

ство (10.21), получим

b

fxdx Pxdx Rxdx

() () ()

∫∫ ∫

a

x

=+

n

x

. (10.22)

n

x

Отсюда получим приближенное равенство

b

fxdx Pxdx

() ()

a

x

n

≈

x

0

, (10.23)

n

погрешность которого определяется формулой

x

n

rRxdx

=∫()

nn

x

0

. (10.24)

Равенство (10.23) называют квадратурными формулами Ньюто- на-Котеса. Из формулы (10.23) при пеций, а при

– формула Симпсона. Следует отметить, что в

практике вычислений редко берут значения

n=1

получается формула тра-

n>2

.

10.5. Примеры вычисления определенных интегралов

Пример10.1. С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл

с точностью до

ε

=−10

π

2

sin( )x

∫

π

3

.

4

dx

x

- 118 -

fa

<<

ξξ

43

fx

45

42

|(

fx

)c

22









4

18

+−

π

44

<⋅

−

<⋅ =

−

..

ππ

Лекция10

Решение. Выберем сначала шаг интегрирования.

Остаточный член формулы Симпсона имеет вид

4

()

hb a

−

()

4

R

180

(),

b=−

.

Выберем шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство

4

hb a

−

вычислим

()

4

fx

()

При оценке

()

max| ()|.

()()4

x

sin( )cos() sin( )cos() sin( )

x

180

:

x

4122

23

x

()

4

)|

на отрезке

()

fx

x

ππ



;



42



<⋅

 



0510

x

−

;

x

4=+ −− +

.

x

воспользуемся тем, что величины

sin(

x

12 24



−+

1



xx

 

24

os()x

x

6

и

4

 

xx



−

1



на этом отрезке положительны и убывают. Поэтому они достигают наибольшего значения в точке

π

x =

,

причем

()

fx

sin( )cos()

4

()

x

Т. е. для определения шага расчета

откуда

14 10

и

h

С другой стороны, шаг

отрезок

на четное число равных частей.

x

12 24



1



xxxxx



4

⋅

h

4

180

1910 019

h

следует выбирать так, чтобы разделить



4



24 22



h

мы получаем неравенство

81 0510

⋅< ⋅

.

1

 



;

42

.

 



6





1≤−+

 

−

3

,

<

 

- 119 -

.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

π

24

..

еd

= 01

i

x

Указанным двум условиям отвечает значение

h == <

013019

,

при котором

ba

−

n

=

Далее, для того чтобы погрешность не превышает

= 6

.

h

0510

. ⋅

3

−

, доста-

точно вести вычисления с четырьмя знаками после запятой.

Пример10.2. Вычислить интеграл

1

2

x−

x

∫

0

,

используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеции и

h

Симпсона с шагом

.

и оценить погрешность каждого из полу-

ченных значений.

2

x=−

yе

2

x=−

.

Решение. Сначала составим таблицу значений функции

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.0

1.0000000

0.9975031

0.9900498

0.9777512

0.9607894

0.9394131

0.9139312

0.8847059

0.8521438

0.8166865

0.7788008

0.7389685

0.6976763

0.6554063

0.6126264

0.5697828

0.5272924

0.4855969

0.4448581

0.4055549

0.3678794

- 120 -