Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Учебно-методический комплекс.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Пусть дана приведенная линейная система

n	( i =1,2,K,n ) .
xi = βi + ∑αij x j	( i =1,2,K,n ) .
j =1

Выберем произвольно начальные приближения корней

x1( 0 ) , x2( 0 ) ,…, xn( 0 ) ,

стараясь, конечно, чтобы они в какой-то мере соответствовали неизвестным

x1 , x2 ,…, xn .

Далее, предполагая, что k-е приближения xi( k ) корней известны, согласно Зейделю будем строить (k+1)-е приближения по следующим формулам:

x( k +1 ) = β			n		( k ) ,
x( k +1 ) = β			+ ∑α x		( k ) ,
1		1	1 j		j
			j =1
x( k +1 ) = β					n		x ( k ) ,
x( k +1 ) = β			+α x( k +1 ) + ∑α				x ( k ) ,
2		2	21 1		j =2		2 j	j
					j =2
KKKKKKKKKKKKKKK
x( k +1 ) = β			i−1		( k +1 ) +	n		α x ( k ) ,
x( k +1 ) = β			+ ∑α x		( k +1 ) +	∑		α x ( k ) ,
1		1	ij	j	j =i+1			ij j
			j =1		j =i+1
KKKKKKKKKKKKKKK
xk +1	= β		n−1	( k +1 ) +α			x	( k ) ,
xk +1	= β	+ ∑α x		( k +1 ) +α			x	( k ) ,
n	n		nj j			nn n
			j =1

где ( k = 0,1,K) .

Указанная выше теорема сходимости остается верной и для метода Зейделя.

4.1. Случай нормальной системы.

Определение. Назовем линейную систему

Ax = b ,

(1)

нормальной, если: 1) матрица коэффициентов А – симметри-

ческая, т.е. aij = a ji , 2) соответствующая квадратичная форма u = ∑n ∑n aij xi xj -

i=1 j =1

положительно определенная.

Нормальную систему (1) приведем обычным способом к специальному виду

				x = β +αx ,	(2)
где αij = −	aij	при i ≠ j , βi =	bi	.
где αij = −	a	при i ≠ j , βi =		.
	a		a
	ii		ii
Теорема 1. Если линейная система (1) – нормальная, то процесс

Зейделя для эквивалентной ей приведенной системы (2) всегда сходится.

Укажем один способ приведения системы (1) к нормальному виду.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

	Теорема 2. Если обе части линейной системы Ax = b						с неособенной
матрицей				A = [ aij ]	умножить слева на	транспонированную матрицу
′		ji	, то полученная новаясистема A Ax			A b будет нормальной.
	= [ a		]		′	= ′
A
	5. Итерационные методы вариационного типа.
	5.1. Метод наискорейшего спуска. Пусть дана линейная
система					Aϕ = f	,	(1)
	где
				A ≥ 0 , A = A* , т.е. A - неотрицательно определенная эрмитова
матрица.
	Пусть y = ϕ* −ϕ это вектор ошибки где ϕ* - точное решение, а ϕ -
приближенное решение системы (1).
	Так,			как ϕ*	в большинстве случаев неизвестно,		то в качестве
вектора ошибок можно рассматривать вектор невязки
					r = f − Aϕ = A(ϕ* −ϕ)= Ay .
	Мерой точности метода можно выбирать функцию ошибок
					F(ϕ)= (Ay, y)= (y,r)= (A−1r,r),
	где (Ay, y) - скалярное произведение векторов.
	Так,			как A ≥ 0 , то F(ϕ)≥ 0 , причём		F(ϕ)= 0 тогда и только тогда,

когда ϕ = ϕ* . Распишем

F(ϕ)= (ϕ* −ϕ, f − Aϕ)= (ϕ*, f )−(ϕ*, Aϕ)−(ϕ, f )+(ϕ, Aϕ)= (Aϕ,ϕ)−2(ϕ, f )+ (ϕ*, f ).

ФункционалF(ϕ) не может быть вычислен, т.к. нам не известно точное решение ϕ* . Однако его значение отличается лишь постоянным слагаемым от значения функционала H (ϕ)= (Aϕ,ϕ)− 2(ϕ, f ), который,

может быть вычислен без значения ϕ* . Поэтому можно судить о степени убывания функций ошибок F(ϕ), сравнивая соответствующее значение функционала H (ϕ).

Пусть ϕk -	приближение к решению уравнения (1)									известно.
Построим следующий итерационный процесс
		ϕk +1 = ϕk +αk rk ,								(2)
где rk = f − Aϕk - вектор невязки.
Параметр αk	выбирается изусловияминимума функционала H (ϕ):
					(rk ,rk )
		αk =					,			(3)
		αk =			(Ar ,r )		,			(3)
Подставляя (3) в (2) имеем						k k
Подставляя (3) в (2) имеем						( rk ,rk )
		k +1		k		( rk ,rk )			,	(4)
	ϕ		= ϕ		+			rk
	ϕ		= ϕ		+	(Ar ,r )		rk
						k k

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

Сходимость итерационного процесса (4) который называется

методом наискорейшего спуска, вытекает из (4).

Теорема. Последовательность приближений ϕ0 ,ϕ1 ,K сходится к решению системы Aϕ = f с быстротой геометрической прогрессии.

5.2. Метод минимальных невязок. Пусть дана линейная

система

Aϕ = f ,

(1)

где A > 0 , A = A* , т.е. A

положительно определенная эрмитова

матрица.

Если ϕk - некоторое

приближение

системы

(1) известно, то

следующее приближение ϕk +1 будем искать в виде

ϕk +1 = ϕk

+ βk rk ,

(2)

где rk - невязка, причем rk +1 = rk − βk Ark .

Рассмотрим скалярное произведение

) 2

(Ar ,r )2

(Ar ,r

(r ,r

(r ,r )−

k k

+ (Ar ,Ar )

−

k k

(Ar ,Ar )

(Ar , Ar )

k +1 k +1

k k

Минимальное значение скалярное произведение (rk +1 ,rk +1 ) прини-

мает, если

(Ar ,r )

βk =

(3)

(Ar

,Ar

)

Подставим (2) в (1), тогда получим метод минимальных невязок

в следующей форме:

(Ark ,rk )

k +1

= ϕ

rk ,

(4)

(Ar ,Ar )

Сходимость метода (3) аналогична сходимости метода наискорейшего спуска.

6. Каноническая форма записи одношаговых итерационных методов. Метод Ричардсона. Метод релаксации. Один и тот же итерационный метод можно записать многими различными способами. Поэтому целесообразно ввести какую-то стандартную форму записи итерационных методов. Будем записывать итерационный метод не в координатной форме, а в матричной. Теперь xn будет обозначать вектор, полученный в результате n -ой итерации.

Определение 1. Канонической формой одношагового итера-


ционного метода решения СЛАУ			Ax = f , где	матрица
A = [ aij ], i, j =1,2,K,m , имеет обратную, называется его запись в виде
Bn+1	xn+1 − xn	+ Axn = f , n = 0,1,K,n0 .		(1)

	τ
	n+1

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

Здесь Bn+1 - матрица, задающая тот или иной итерационный метод, τn+1 - итерационный параметр. Предполагается, что задано начальное приближение x0 , и что существует матрица Bn−1 , n = 0,1,K,n0 −1. Тогда из уравнения (1) можно последовательно определить все xn , n = 0,1,K,n0 . Для нахождения xn+1 по известным f и xn достаточно решить систему уравнений

Bn+1xn+1 = Fn ,

где Fn =( Bn+1 −τn+1 A )xn +τn+1 f .

Определение 2. Итерационный метод называется явным (неявным), если Bn = E ( Bn ≠ E ), где E - единичная матрица. Как правило, неявные итерационные методы имеет смысл применять лишь в том случае, когда каждую матрицу Bn обратить легче, чем исходную матрицу A (т.е. когда решение системы уравнений с матрицей Bn требует меньше машинной памяти или времени). Преимуществом неявных методов является более быстрая сходимость.

Определение 3. Итерационный метод (1) называется стационарным, если Bn+1 = B и τn+1 =τ не зависят от номера итерации, и нестационарным – в противоположном случае.

Приведем несколько примеров итерационных методов. Пример 1. Методом простой итерации называют явный метод

		xn+1 − xn		+ Axn = f	(2)

		τ
с постоянным параметром τ . Явный метод
	xn+1 − xn		+ Axn = f		(3)

		τn+1

с переменным параметром τn+1 называется итерационным методом Ричардсона. Для методов (2), (3) известен способ выбора оптимальных итерационных параметров в том случае, когда матрица A - симметричная положительно определенная матрица.

Пример 2. Обобщением метода Зейделя является метод верхней релаксации

		( D +ω A1 )	xn+1 − xn	+ Axn = f ,		(4)

			ω
где	ω > 0	- заданный числовой параметр,			D = diag[ a11 ,K,amm ]	-
диагональная		матрица с той же диагональю, что и матрица				A ,
матрица	A1 -	нижняя треугольная матрица с			нулевой главной

диагональю.

Например, при m = 3 матрицы A1 , D имеют вид

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

4.1. Случай нормальной системы.

5. Итерационные методы вариационного типа.

5.1. Метод наискорейшего спуска. Пусть дана линейная

5.2. Метод минимальных невязок. Пусть дана линейная