Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn−1 не будет обеспечено выполнение неравенства
| xn − xn−1 |≤ 1−qq ε ,
где ε - заданная предельная абсолютная погрешность корня ξ и |ϕ′( x )|≤ q . Тогда имеет место неравенство
|ξ − xn |≤ ε ,
т.е. ξ = xn ±ε .
4. Метод итераций решения систем нелинейных уравнений.
Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида
|
x |
=ϕ |
( x |
, x |
,K, x |
), |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
n |
|
x2 |
=ϕ2 ( x1 , x2 ,K, xn ), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
KKKKKKKKKK |
||||||
|
|
=ϕn ( x1 , x2 ,K, xn ), |
||||
xn |
||||||
где функции ϕi ( x ) |
( i =1,K,n ) - действительны, |
определены и |
|
непрерывны в |
некоторой |
окрестности ω изолированного решения |
|
x* = ( x1*, x2*,K, xn *)T |
этой системы. |
|
|
Эту систему можно записать в векторном виде |
|
||
|
|
x =ϕ( x ) , |
(1) |
где x = ( x1 , x2 ,K, xn )T - вектор, ϕ( x ) = (ϕ1 ( x ),ϕ2 ( x ),K,ϕn ( x ))T - вектор-функция.
Для нахождения вектор-корня |
x* = ( x1*, x2*,K, xn *)T уравнения |
(1) |
часто удобно использовать метод простой итерации: |
|
|
x( p+1 ) =ϕ( x( p ) ) |
( p = 0,1,2,K) , |
(2) |
где начальное приближение x( 0 ) задано и x( 0 ) ≈ x* .
Если эта последовательность сходящаяся, т.е. существует предел
lim x( p ) = ξ , то, переходя к пределу в равенстве (2) и предполагая
n→∞
функцию ϕ( x ) непрерывной, найдем:
lim x( p+1 ) =ϕ(lim x( p ) )
n→∞ n→∞
или
ξ =ϕ(ξ ) .
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения (1) и может быть вычислен по формуле (2) с любой степенью точности.
Если, кроме того, все приближения x( p ) ( p = 0,1,2,K) принадлежат области ω , и x* - единственный корень системы (1) в ω , то ξ = x* .
Метод итераций может быть применен также и к общей системе
f ( x ) = 0 , |
(3) |
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
33
где f ( x ) - вектор-функция, определенная и непрерывная в
окрестности ω изолированного вектор-корня |
x* = ( x1*, x2*,K, xn *)T . Напри- |
мер, перепишем эту систему в следующем виде |
|
x = x + Λf ( x ) , |
|
где Λ - неособенная матрица. Введем обозначение |
|
x + Λf ( x ) =ϕ( x ) . |
(4) |
Тогда будем иметь |
|
x =ϕ( x ) . |
(5) |
К последнему уравнению легко применяется обычный метод итераций (2).
Вопрос: Как подобрать Λ , чтобы метод итераций был применим к (5)?
Если функция f ( x ) имеет непрерывную производную f ' ( x ) в области ω , то из (4) вытекает
ϕ' ( x ) = E + Λf ' ( x ) ,
где E - единичная матрица, ϕ' ( x ) , f ' ( x ) - матрицы-функции. Далее будет сформулирована теорема сходимости, в которой
утверждается, что процесс итераций для уравнения (5) быстро сходится, если ϕ' ( x ) мала по норме.
Учитывая это обстоятельство, выбираем матрицу Λ так, чтобы
ϕ' ( x( 0 ) ) = E + Λf ' ( x( 0 ) ) = 0 .
Отсюда, если матрица f ' ( x( 0 ) ) - неособенная, будем иметь:
Λ = −[ f ' ( x( 0 ) |
)] −1 . |
(6) |
В случае если |
= 0 , |
|
det[ f ' ( x( 0 ) )] −1 |
|
то следует выбрать другое начальное приближение x( 0 ) .
Достаточное условие сходимости процесса итераций.
Предположим, что |
вектор-функция ϕ( x ) |
определена |
и |
непрерывна |
|||||
вместе со своей |
производной |
|
∂ϕi |
|
( i, j =1,K,n ) |
в |
замкнутой |
||
ϕ' ( x ) = |
|
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
∂x |
j |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограниченной выпуклой области G E n . |
|
|
|
|
|
|
|||
Будем пользоваться следующими нормами векторов из E n : |
|||||||||
|
|| x ||m = max | xi | и || x ||l = |
n |
|
|
|||||
|
∑| xi | . |
|
|
||||||
|
i |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
Относительно области G введем нормы матриц, согласованных с |
|||||||||
данными нормами векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||ϕ' ( x )||I = max ||ϕ' ( x )||m и ||ϕ' ( x )||II = max ||ϕ' ( x )||l , |
|
|
||||||
|
x G |
|
|
|
|
x G |
|
|
|
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
34