Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Учебно-методический комплекс.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Вопросы

1.Разностные схемы для одномерных уравнений эллиптического

типа.

2.Разностные схемы для одномерных уравнений параболического типа.

3.Разностные схемы для одномерных уравнений гиперболического типа.

Тема. Разностные схемы для уравнения Лапласа, Пуассона. 1.Исходная задача. Рассмотрим уравнение Пуассона

u =	∂2u	+	∂2u	= − f (x1 , x2 ).	(1)
	∂x2		∂x2
	1		2

Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике и

G = G UΓ = {x = (x1 , x2 ): 0 ≤ xα ≤ lα , α =1, 2},

принимающее на границе Г заданные значения:

u |Γ = μ(x).

(2)

Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется

задачей Дирихле (первой краевой задачей).

2. Разностная схема «крест».

сетку

Для

численного

решения задачи

(1),

(2)

введем в

= ωh Uγh

= {xi

= (i1h1 , i2 h2 ),

iα

= 0, 1, K, Nα ,

hα = lα / Nα ,

α =1, 2}

обо-

ωh

значим через

yi = yi1 i2

= y(i1 , i2 )= y(xi ) сеточную функцию,

заданную на

; h1 и h2

– шаги сетки по координатам x1 и x2 .

ωh

Чтобы написать разностную схему для (1), (2), аппроксимируем

каждую из производных ∂2u / ∂xα2

на трехточечном шаблоне, полагая

∂2u

u(x

− h

, x

)− 2u(x

, x

)+u(x

+ h ,

)

= u

∂x1

∂2u

u(x

, x

− h

)− 2u(x

, x

)+ u(x

, x

+ h

)

= u

x2 x2

∂x2

знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, заменим (1) разностным уравнением

y(i1 −1, i2 )− 2y(i1 ,i2 )+ (i1 +1, i2 )	+	y(i1 , i2 −1)− 2y(i1 ,i2 )+ y(i1 , i2 +1)	= − f (i ,i		),
h2		h2
			1	2
1	2

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

(3)

или, в сокращенной записи,

yx1x1 (i1 ,i2 )+ yx2 x2 (i1 ,i2 )= − f (i1 ,i2 ).

В безындексных обозначениях имеем

y		1x	(x)+ y		2 x	(x)= − f (x), x = (i1h1 ,i2 h2 ) ωh (G).				(4)
	x			x
1						2
К этому уравнению надо присоединить краевые условия										(5)
			y = μ(x),				x = (i1h1 ,	i2 h2 ) γh .
Границаγh сетки состоит из всех узлов (0, i2 ),									(N1 , i2 ), (i1 , 0),	(i1 , N2 ),
кроме вершин прямоугольника (0, 0),							(0, N2 ),	(N1 , 0),	(N1 , N2 ), которые не

используются. Разностное уравнение (3) записано на пятиточечном шаблоне

(i1 −1, i2 ),	(i1 +1, i2 ),	(i1 ,i2 ),	(i1 , i2 −1),	(i1 , i2 +1).
Схему (4) часто	называют	схемой	крест.	Если h1 = h2 = h, т.е.

сетки по x1 и x2 совпадают, то сетку ωh называют квадратной. На такой сетке разностную схему (4) можно записать в виде

y(i	, i	)=	y(i −1, i				)+ y(i +1, i			)+ y(i		, i	2	−1)+ y(i , i			2	+1)+ h2 f			(i	,i	)	.
				1	2			1	2		1		2			1	2				1 2

1	2											4
												4
Для однородного уравнения (f											= 0)	получаем
	y(i ,i			)=	1	[y(i −1, i			)+ y(i +1, i			)+ y(i , i			2	−1)+ y(i ,i			2	+1)],
	y(i ,i			)=		[y(i −1, i			)+ y(i +1, i			)+ y(i , i				−1)+ y(i ,i				+1)],
		1	2		4		1	2		1	2			1				1
					4

т.е. значение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона.

3. Погрешность аппроксимации. Пусть u = u(x) –

решение

задачи Дирихле (1), (2), а y = y(i1 , i2 )

– решение разностной задачи (4),

(5). Рассмотрим погрешность z(x) = y(x) −u(x),

x = (i1h1 , i2 h2 ) ωh .

Подставляя y = z + u в (4), (5), получаем для погрешности z = z(x)

неоднородное уравнение

(6)

Λz = z

1x + z

2 x

= −ψ (x),

x ωh (G),

с однородным краевым условием

z = 0 при

x γh .

(7)

здесь

(8)

ψ (x) = Λu + f (x) = u

1x + u

2 x

+ f (x)

есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) на

решении u = u(x) уравнения (1).

Покажем, что

+ h2

≤ Μ4

(9)

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

где

∂

Μ4

= maxx G

∂x

∂x4

В самом деле, учитывая формулы

∂u

h2 ∂2u

∂3u

∂4u

u(x ± h , x

) = u(x , x

) ± h

(x , x

) +

(x , x

) ±

(x , x

) +

(x1 , x

2 ∂x2

6 ∂x

24 ∂x4

1 1

1 ∂x

1 = x1 +θ1h1 ,

0 ≤θ1 ≤1,

u(x , x

± h

= u(x , x

) ± h

∂u

(x , x

) +

∂2u

(x , x

) ±

)

2 ∂x22

2 ∂x2

∂3u

∂4u

(x , x

) +

(x , x2 ),

x2 = x

+θ

6 ∂x23

∂x24

находим

0 ≤θ2

≤1,

∂

ψ = ∂x

2 +

∂x2 − f (x) +

∂x4 (

1 , x2 ) +

∂x

4 (x1 ,

2 ).

Отсюда и из (1) следует (9).

Таким образом, схема (4) имеет второй порядок аппроксимации.

Вопросы

1.Разностные схемы для уравнений Лагранжа

2.Разностные схемы для уравнений Пуассона

3.Краткое описание семинарских и практических занятий (планы, задания для проведения семинарских

ипрактических занятий, СРСП, СРС);

Задания для СРСП

№	Задания	Форма контроля
қ/қ	Задания	Форма контроля
қ/қ

1	Погрешность приближении.	Программа .Выявить связи ошибками
1	Отностительная ошибка	между.функцией и аргуметом.
2	Интерполяционная формула	Вычислить остаточный член
2	Лагранж	многочлена Лагранжа
3	Методы решения СЛАУ.Метод	Показать условия сходимости
	последовательных приближений	итерационного метода
4	Метод Ричардсона.	Особености и недостатки методов
4	Метод релаксации.	Особености и недостатки методов

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

5	Объясните геометрический смысл	Показаать схему
5	формулы трапеции	Показаать схему

6	Метод трапеции. Метод	Программа вычислении
6	Симпсона	Программа вычислении
7	Метод хорд. Геометрический	Показать условия позволющие
	смысл	применения метода
8	Метод Ньютона. Геометрический	Показать оптимальный выбор первого
	смысл	приближения
9	Улученный метод Эйлера	Вычислить оценку приближения
10	Метод Рунге-Кутта	Программа вычислении
11	Разностные операторы для	Программа вычислении
	простейших ДУ
12	Исследование на устойчивость и	Условия устойчивости и сходимости
	разностных операторов	разностных операторов
13	Исследование на сходимость	Решения задач
13	разностных операторов	Решения задач
14	Краевая задача для ДУ второго	Программа вычислении
	порядка

Задания СРС. Форма сдачиэссе

СРС №1. Вопросы:

1.Сформулируйте постановку задачи интерполирования.

2.Какие интерполяционные формулы применяются в задаче интерполирования в случае неравноотстоящих узлов?

3.Какие интерполяционные формулы применяются в задаче интерполирования в случае равноотстоящих узлов?

4.Когда удобнее применять формулу Лагранжа?

5.Как определяется погрешность формулы Лагранжа?

СРС №2. Вопросы:

1.Дайте определение конечных разностей.

2.Когда удобнее применять а) первую интерполяционную формулу Ньютона; б) вторую интерполяционную формулу Ньютона?

3.По какой формуле вычисляется погрешность формулы Ньютона?

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

СРС №3. Вопросы:

1.Изложите алгоритм метода простой итерации.

2.При каких условиях метод простой итерации сходится?

3.Изложите алгоритм метода наискорейшего спуска.

4.Изложите алгоритм метода минимальных невязок.

5.В чем отличие итерационных методов вариационного типа от метода простой итерации

СРС №4. Вопросы:

1.Изложите алгоритм метода Зейделя.

2.В чем заключается разница между методом итераций и методом Зейделя?

3.Для систем с какими матрицами метод Зейделя всегда схо-

дится?

4.Как привести матрицу системы к нормальному виду?

5.В чем отличие итерационных методов вариационного типа от метода Зейделя?

СРС №5. Вопросы:

1.Дайте определение собственного числа матрицы.

2.Что такое вековой определитель?

3.Дайте определение собственного вектора, соответствующего собственному числу матрицы.

4.Объясните, в чем заключается метод непосредственного развертывания?

СРС №6. Вопросы:

1.Если известны собственные числа матрицы, как можно определить собственные вектора?

2.В чем заключается сущность метода А. М. Данилевского?

3.Совпадают ли собственные значения у подобных матриц?

4.Как находятся собственные вектора по методу А.М. Данилев-

ского?

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

СРС №7. Вопросы:

1.Изложите алгоритм метода хорд.

2.При каких условиях можно применять метод хорд?

3.Как определяется начальное приближение в методе хорд?

4.Изложите геометрический смысл метода хорд.

СРС №8. Вопросы:

1.Изложите алгоритм метода Ньютона (касательных).

2.При каких условиях можно применять метод Ньютона (касательных)?

3.Как определяется начальное приближение в методе Ньютона (касательных)?

4.Изложите геометрический смысл метода Ньютона (касательных).

5.Перечислите особенности метода Ньютона (касательных).

СРС №9. Вопросы:

1.Изложите алгоритм метода итераций для решения нелинейных уравнений.

2.При каких условиях процесс итераций сходится?

3.Укажите способ выбора функции ϕ( x ) , при котором выпол-

няется условие сходимости метода итерации.

4. Каков геометрический смысл метода итераций?

СРС №10. Вопросы:

1.Приведите формулу трапеции для нахождения значения определенного интеграла.

2.Объясните геометрический смысл формулы трапеции.

3.Как вычислить погрешность формулы трапеции?

4.Приведите формулу Симпсона для нахождения значения определенного интеграла.

5.Объясните геометрический смысл формулы Симпсона.

6.Как вычислить погрешность формулы Симпсона

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]