7. Многошаговые методы.

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Учебно-методический комплекс.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

шагом. 4) Для начала расчета достаточно выбрать сетку xn и задать значение y( x0 ) = y0 ; далее вычисления идут по одним и тем же фор-

мулам.
7.	Многошаговые методы.
7.1. Метод Адамса. Пусть для уравнения		(1)
	y' ( x ) = f ( x, y )	(1)

с начальным условием y( x0 ) = y0 найдены каким-либо способом (Эйлера, Рунге-Кутта и др.) два последовательных значения искомой функции («начальный отрезок»)

y1 = y( x1 ) = y( x0 + h ) , y2 = y( x2 ) = y( x0 + 2h ) .

С помощью этих значений вычисляем величины

qk = hf ( xk , yk ) ( k = 0,1,2,3 ) .

Затем вычисляем конечные разности величины q :

qk = qk +1 −qk , 2 qk = qk +1 − qk .

Метод Адамса со вторыми разностями состоит в определении приближенных значений искомой функции по формуле:

yk +1 = yk + qk +	1	qk −1 +		5	2 qk −2 ( k = 2,3,K)	(2)
			12
2
Погрешность метода на каждом шаге имеет порядок h3 .
7.2. Метод Милна. Пусть для уравнения y′ = f ( x, y ) , кроме началь-
ного условия y( x0 ) = y0 , найден «начальный отрезок», т.е.						значения
искомой функции y( xi ) = yi в точках xi = x0 + ih ( i =1,2,3 ) .
Последующие значения yi при			i = 4,5,K определяют на каждом

шаге следующим образом. Для предсказания используют первую фор-

мулу Милна

yiпред = yi−4 + 43h ( 2 fi−3 − fi−2 + 2 fi−1 ) .

Используя yiпред , находят fiпред = f ( xi , yiпред ) и производят уточнения (коррекцию) значения yi по второй формуле Милна

yiкор = yi−4 + h3 ( fi−2 + 4 fi−1 + fiпред ) .

Абсолютная погрешность εi значения yiкор приближенно определяется по формуле

εi ≈ 291 [ yiкор − yiпред ] .

Если точность результата достаточна, то полагают yi ≈ yiкор .

Все рассмотренные выше методы легко распространяются на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения n -го порядка.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

Замечание. При численной реализации на ЭВМ наибольшее предпочтение отдают методу Рунге-Кутта. Так как этот метод легко программируется и имеет достаточно высокую точность.

Вопросы

1.Численные методы решения ОДУ.

2.Метод Эйлера, Адамса.

3.Метод Рунге-Кутта

Тема. Введение в теорию разностных схем. Постановки задач математической физики.

Трехслойные разностные схемы

а) Разностные схемы для уравнения колебания.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения колебания:

	∂	2	u2 =	∂	2	u2 ,
	∂		u2 =	∂		u2 ,
	∂t			∂x
u(0, t) = μ1 (t),

				= u0 (x),
u(x,0)				= u0 (x),

Рассмотрим сетку ωhτ = ωh ×ωτ ,

ωh = {xi = ih,

ωτ = {tn = nτ,

0 < x <1,			0 < t ≤ T ,
u(1, t) = μ2 (t),			0 ≤ t ≤T ,	(1)
∂u (x, 0) =		(x),	0 ≤ x ≤1.
	u0
∂t


i =				,	hN =1},
		0, N
n =			,		kτ = T}.
	0, k

Шаблон для схемы имеет вид:

n +1

n −1	i
i −1	i	i +1

Здесь используются три слоя, поэтому разностная схема называется трехслойной, когда значения на слоях n −1, n – известны.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

yin+1

− 2yin + yin−1

yin+1 − 2yin + yin−1

n =1, 2, K, k −1,

i =1, N −1,

n+1

= μ1 (tn+1 ),

= μ2 (tn+1 ),

n = 0, k −1.

Разрешим (2) относительно yin+1 , получим:

n+1

n−1

−

= 2yi

− yi

γ( yi+1

2yi

+ yi−1 ),

n = 1, k −1,

γ =

i =1, N −1,

Разностная схема (2) имеет порядок аппроксимации

(2)

(3)

о(τ 2 + h2 ) .

Для счета на схеме (3) должны быть известны значения

yi0 yi1 , i = 0, N.

Из начального условия получим:

		yi0 = u0 (xi ),			i =		.	(4)
						1, N −1
Замена условия	∂u	(x,0) =		(x) –	конечно разностным соотноше-
			u0
	∂t

нием ( yi1 − yi0 ) /τ = u0 (xi ) – имеет порядок o(τ).

Выше было сказано, что схема (2) имеет порядок o(τ 2 ) . Поэтому необходимо добиться аппроксимации и начального условия порядка

o(τ 2 ) .

Для этого используем разложение:

u(x,τ) −u(x,0)

∂u(x,0)

∂2u(x,0)

+ 0(τ

∂t

∂t2

Из уравнения (1) следует, что

∂2u(x,0)

= u0′′(x).

Тогда

∂t 2

∂x2

∂u(x,0)

u(x,τ) −u(x,0)

−

2 u0′′(x) +

о(τ

∂t

Следовательно, если в место

u(x,τ) −u(x,0) = yt

возьмем:

yi1 − yi0

−τ

(xi ), i =

(5)

1, N −1,

0,xx, i

который аппроксимирует со вторым порядком.

Совокупность (2), (4), (5) аппроксимируют уравнение (1) со вторым порядком по τ и h .

Для исследования устойчивости будем искать решение (2) в виде:

yhj = qnei j h α .

(6)

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

Подставляя это выражение в (2) и сокращая на ei j h α , получим

q2 − 2(1− 2γ sin 2	hα	)q +1 = 0,	γ	=	τ 2 .	(7)

2					h2

Разностное уравнение (2) устойчиво, если оба корня уравнения

(7) не превосходят по модулю 1.

Разностное уравнение (2) устойчиво, если при действительных α выполняется равенство это выполняется

		2	hα	2	т.е.		2	yα		,
1	− 2γ sin		2	≤1,		γ sin			≤1
								2

при всех α , если τ ≤ h .

б) Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим уравнение	∂u	=	∂2u
	∂t		∂x2 .

Заменим явной симметричной схемой (схема Ричардсона):

	ynj +1 − ynj −1		=		ynj+1 − 2ynj	+ ynj−1	.	(*)
					h2
	2τ
Применяя метод гармоник, получим
q2 +8γ sin 2		hα		q −1 = 0,		γ =		τ
								h2
2

Решим квадратное уравнение, имеем корни:

q1,2	= −4γ sin 2 hα	±	16γ 2 sin 4 hα	+1,	(− a ± a2 +1).
	2		2

Один из корней всегда будет по модулю больше единицы, следовательно схема (*) абсолютно неустойчива (условно устойчива).

Заменим ynj полусуммой,					имеем			(схему ромб: Дюфорта -
Франкля);
	yn+1	− yn−1		yn		− yn+1	− yn−1		+ yn
	j	j	=	j+1		j		j	j−1
		2τ	=				h2
		2τ					h2

Схема абсолютно устойчива.

Схема ромб, может быть записана в виде:

y0 +	τ 2	y		= Λy.
	h2		tt
t

Т.е. схема ромб получена из схемы Ричардсона добавлением к

левой части члена	τ 2	y		, обеспечивающего устойчивость.
	h2		tt

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2212 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Многошаговые методы.

7.1. Метод Адамса. Пусть для уравнения

7.2. Метод Милна. Пусть для уравнения y′ = f ( x, y ) , кроме началь-

Вопросы

а) Разностные схемы для уравнения колебания.

б) Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.