Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

Файл:

Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных. Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов гуманитарных ву.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

906 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Пример 2.

y = 2ln x

Решение:

ln x − x

y′ = 2ln x

= 2ln x ln 2 ln x −21 .

ln 2

(ln x)

Ответ:

y′ =

(ln x −1) 2ln x ln 2

(ln x)2

Пример 3.

y = (sin x)cos x

Решение. Прологарифмируем уравнение: ln y = ln (sin x)cos x

ln y = cos x∙ln (sin x).

Продифференцируем выражение по x, считая ln y сложной функцией.

1y y′ = (−sin x)ln(sin x) +cos x sin1 x cos x

y′ = y((−sin x) ln(sin x) + cos2 x) sin x

y′ = (sin x)cos x ((−sin x)ln(sin x) + cos2 x). sin x

Ответ: y′ = (sin x)cos x ((−sin x)ln(sin x) + cos2 x) . sin x

§ 14. Производные тригонометрических функций

Теорема 1. Если y = sin x , то
y′ = cos x,	(1.28)

где x R, y [−1;1].

Доказательство. Применим алгоритм нахождения производной.

x, x, x +

2. f (x + x) = sin(x +

x).

y = f (x + x) – f (x)= sin(x +

x) – sin(x)=

x +∆x − x

x +∆x + x

∆x

2sin

cos

= 2sin

cos x +

2sin

∆x

∆y

cos x +

sin ∆x

∆x

cos x +

∆x

∆y

sin ∆x

∆x

′ =

lim

∆x

lim

cos x +

cos x

∆x→0

∆x

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если y = cos x , то y′ = −sin x ,

(1.29)

где x R, y [−1; 1].

Доказательство. Применим алгоритм нахождения произ-

водной.

x, x +

f (x + x) = cos(x +

x).

y = f (x +

x) – f (x) = cos(x +

x) – cos(x)=

x +∆x − x

x +∆x + x

∆x

−2sin

sin

= −2sin

sin x +

2 .

−2sin

∆x

sin

∆x

∆y

sin x +

∆x

= −

sin x +

∆x

2 .

∆x

y′ =

∆y

sin 2

∆x

lim

−

sin x +

= −sin x,

∆x

∆x→0 ∆

∆x→0

что и требовалось доказать.

	Теорема 3. Если				, то		cos2	x ,	(1.30)
				y =tgx		y′ =	1
где		π		y =tgx		y′ =
где	x =	π	+πκ, κ Z, y R.
		2

Доказательство. Так как tgx = cossin xx , то по правилу дифференцирования дроби получаем:

	′	′		sin x	′		′	′
							(sin x)	cos x −(cos x ) sin x
y		= ( tgx )	=			=
								cos2 x
			cos x

что и требовалось доказать.

=	cos2	x + sin2	x	=	1		,
	cos2 x				cos2	x

Теорема 4. Если y = ctg x, то

y′ = −

(1.31)

sin

где x ≠ πκ ,

κ Z,

y R.

Доказательство. Так как ctgx =

cos x

, то

sin x

cos x ′

′

−sin x sin x −cos x cos x

=( ctgx ) =

= −

sin

sin x

что и требовалось доказать.

Во многих приложениях математического анализа (например, курсах электротехники, сопротивления материалов и др.)

встречаются комбинации показательных функций вида: e x−2 e−x и

ex +2e−x . Эти комбинации рассматривают как новые функции и обозначают так:

sh x = ex −e−x	; ch x =	ex +e−x	;	th x = sh x	; сthx = ch x
2		2	;	ch x	sh x .

Из определения гиперболических функций вытекают формулы для нахождения производных от этих функций:


(sh x)′ = ch x ,							(1.32)
(ch x)′ = sh x,							(1.33)
(th x)′	=		1			,	(1.34)
			ch2 x
(cth x)	′			1		,	(1.35)
		= − sh			2 x

Докажем формулу (1.32), воспользовавшись определением:

−e

−x ′

−x

′

= ch x .

( sh x )

Докажем формулу (1.34):

sh x

′

sh x

x − sh

′

( sh x ) ch x −( ch x )

( th x )

ch x

так как ch2 x −sh2 x = ex +2e−x 2 − ex −2e−x 2 =1.

Доказательство равенств(1.33) и (1.35) проводится аналогично.

§ 15. Производные обратных тригонометрических функций

Пользуясь теоремой о дифференцировании обратной функции, выведем формулы для производных обратных тригонометрических функций.

Теорема 1. Функция y = arcsin x, x [−1;1] дифференцируема на (−1, 1), и ее производная вычисляется по формуле:

′		1
′
(arcsin x)	1	− x2 .					(1.36)
(arcsin x)	=
Доказательство. Поскольку функция y = arcsin x, x [−1; 1]
является обратной к функции x = sin y,				π	;	π	, то по правилу
является обратной к функции x = sin y,			y −	2	;	2	, то по правилу
				2		2

дифференцирования обратных функций:

′

(arcsin x)

, где перед кор-

(sin y)′

cos y

1−sin2

1− x2

−

;

положителен.

нем взят знак (+), так как cos y на

Теорема 2. Функция y = arccos x, x [−1;1]				дифференцируема
на (-1; 1), и ее производная вычисляется по формуле:
(arccos x)′ = −		1	.	(1.37)


	1− x2

Доказательство. Функция y = arccos x, x [−1;1] является обратной к функции x = cos y, y [0;π]. По правилу дифференцирования обратной функции находим:

′

(arccos x)

= −

(cos y)′

sin y

1−cos2

1− x2

Перед корнем взят

знак (+),

так

как

значение функции

sin y ≥ 0 на 0 ≤ y ≤ π, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Функция y = arctg x,

x R дифференцируема на

всей числовой оси, и ее производная вычисляется по формуле:

(arctgx)′ =

(1.38)

1+ x2

Доказательство. Функция y = arctg x является обратной для

;

функции x = tg y, y −

, поэтому

(arctgx)′ =

= cos2

y =

′

( tg y )

1+tg

1+ x

что и требовалось доказать.
Теорема 4. Функция y = arcctg x, x R			дифференцируема на
всей числовой оси и ее производная вычисляется по формуле:
(arcctgx)′ = −	1	.	(1.39)
	1+ x2

Доказательство. Функция y = arсctg x является обратной для функции x = сtgy, y (0;π) , тогда

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]