Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

Файл:

Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных. Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов гуманитарных ву.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

906 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

§ 12. Дифференцирование неявной функции

Функция z = f (x; y) называется неявной, если она задается

уравнением, неразрешимым относительно z:
F (x; y; z) = 0.				(2.12)
Найдем частные производные	∂z	,	∂z	неявной функции z,
Найдем частные производные	∂x	,	∂y	неявной функции z,
	∂x		∂y

заданной уравнением (2.12). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию f (x; y), получим тождество F (x; y; f (x; y)) ≡ 0.

Частные производные функции по х и по у, тождественно равной нулю, также равны нулю:

∂∂x F(x; y; f (x; y))= ∂∂Fx + ∂∂Fz ∂∂xz = 0 (у считаем постоянным), ∂∂y F(x; y; f (x; y))= ∂∂Fy + ∂∂Fz ∂∂yz = 0 (х считаем постоянным),

	∂z	= −	F′	∂z	= −	Fy′	, (Fz′ ≠ 0 ).
откуда			x					(2.13)
	∂y		Fz′	∂y		Fz′

Замечания.

1. Уравнение вида (2.12) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение

x2 + y2 + z2 − 4 = 0				определяет	функции	z1 =		4 − x2 − y2	и
				, заданные	в круге x2 + y2 ≤ 4		, и	функцию
z2 = −		4 − x2 − y2
			,	определенную в полукруге		x2 + y2	≤ 4	при y ≥ 0	и
z3=	4 − x2 − y2

т. д., а уравнение cos (x + 2y +3z − 4)= 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции

двух переменных: если функция F (x; y; z) и ее производные Fꞌx

(x; y; z), Fꞌy (x; y; z), Fꞌz (x; y; z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0 (x0; y0; z0), причем F (x0; y0; z0) = 0, а

Fꞌz (x0; y0; z0) ≠ 0, то существует окрестность точки M0, в которой уравнение 2.12 определяет единственную функцию z = f (x; y),

непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (x0; y0) и

такую, что f (x0; y0) = z0.

2. Неявная функция y = f (x) одной переменной задается уравнением F (x; y) = 0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле:

y′x = −

Fx′

(Fy′ ≠ 0).

Fy′

Пример 1. Найдите частные производные функции z, задан-

ной уравнением ez + z − x2 y +1 = 0 .

Решение: F(x; y;z)= ez

+ z − x2 y +1,

Fx′ = −2xy, Fy′ = −x2 , Fz′ = ez +1.

По формулам (2.13) имеем

∂z

= +

2xy

∂z

∂x

∂y

Пример 2. Найти ∂∂yx ,

если неявная функция y = f (x) задана

уравнением y3 + 2y = 2x.

Решение:

F(x; y)= y3 +2y −2x,

Fx′ = −2,

Fy′ =3y2 +2. Следова-

тельно, y′x = −

−

, т. е.

∂y

∂x

Задания для самостоятельного решения по главе 2

1. Область определения функции

Найдите область определения функции:

1) z = ln ( 4 + 4x − y2 ) +ln ( 4 − 4x − y2 ); 2) z = ln x2 + y2 −1 + ln ( 4 − x2 − y2 );

u = 1 −

−

;

x2 + y2 + z2 − a2

z =

;

+ y

1 − x2 − y

5) z = x + y +ln ( y2 − x );

6)z = ln ( x2 + y2 −1) + y 1− x ;

7)z = sinπ ( x2 + y2 );

8)z = 1 − x2 − y2 + 4 − x2 − y2 ;

9) z = arcsin	y	+	1 −	x2	−	y2		;
	x		9		4

10) z = ln (1+ y − x2 ) + y21− x ;

11) z =	1	+	1	;
			y + x
	4 − x2 − y2

12)z = arcsin yx2 ;

13)z = arcsin ( x + y ) + ln ( xy );

14)z = ln ( y − x ) + x2 −1y −1;

15)u = ln ( 2z2 −6x2 −3y2 −6 );

16)z = cos ( x2 + y2 );

17) u = arcsin		z	;

		x2 + y2
18) u =		1		+
		1			x2	+y2 +z2 − 0,25;
	ln(1 − x2	− y2 − z2 )			x2	+y2 +z2 − 0,25;
	ln(1 − x2	− y2 − z2 )

19)z = arcsin x2 +9 y2 + arccos ( x2 + y2 −8 );

20)z = ln y +ln sin x.

2.Линии и поверхности уровня

Постройте линии уровня заданной поверхности:

4(y + 2)

1) z =

;

z = 1

−

;

3) z = x2 y;

4) z = x2 − 2y2 ;

5) z = x2 − y2 ;

z =

;

7) z = xy−2 1;

9)z = y2 − x2 ;

11) z = 2x + y;

13) z = 2 +xy ;

15) z = x2 − y2 ;

9 4

17)z = x2 + 2y;

19)z = arctg xy ;

8)z = y ( x2 +1);

10)z = x2 + y2 ; 9 4

12) z = ln xy ;

14)z = exy ;

16)z = xy ;


18)	z =			4x		;
			x2	+ y2

20)	z =	y −1			.

			x2

3. Частные производные

Восстановите функцию по частным производным:

1)∂∂ux = 2x −3y − 4,

2)∂∂ρz = 2ρsin4 θ,

3)∂∂ux = 2yx2 − 1y ,

4)∂∂xz = exy( x2 +y2 )

5)∂∂ux = yx ,

6)	∂u		1		e	x
	∂u	=	1			y	,
	∂x	=	y			y	,
	∂x		y
7)	∂z =				1
7)	∂z =				y			2
	∂x				y			2
		1+
		1+		1+ x			2
				1+ x			2
8)	∂z	= 6x2 (x3 +
	∂x

(3x2 y + y3 ),

		2xy
−
			2		2
	(1	+ x		)		,

y2 )e( x3+y2 )2 ,

∂u	= 4y −3x + 2;
∂y
∂z	= 4ρ2 sin3 θcosθ;
∂θ	= 4ρ2 sin3 θcosθ;
∂θ
∂u	=	x	− 2x2 ;
∂y	=	y2	− 2x2 ;
∂y		y2	y3
∂z	= exy( x2 +y2 ) (x3 +3xy2 );
∂y

∂u

= 2

+ 6y3

∂u

2y2

;

∂y

∂z

3 z

∂u

−

∂u

−

;

∂y

= −

∂z

= −

∂z

;

∂y

1 + x2

+ x2

∂z

= 4y ( x

+ y

( x3 +y2 )

∂y

;

9) ∂x

= (6x − y)e

∂

= (4y − x)e

;

∂u

3x2 +2 y2

−xy

∂u

3x2 +2 y2

−xy

∂u

∂

=3z2 cos (x2 + y2 + z3 ).

10)

∂x = 2xcos(x2 + y2 + z3 ),

∂y

= 2y cos (x ∂uz

4. Применение полного дифференциала в приближенных

вычислениях

Вычислите приближенно с применением полного дифферен-

циала:

(1,02)2·0,98;

1,02·(3,03)2;

аrctg

1,02

;

(2,98)2 −(0,95)2

;

0,95

(2,02)2,97;

;

(2,07)2,95

(0,96)2·(1,02)3;

2,02·(1,93)3;

(1,02)3,05;

10)

(1,05)9,9;

11)

(0,98)1,05;

12)

21,98 + e0,05

5. Дифференцирование сложных функций

Вычислите производные:

1)	y = u2ev , где u = sin 2x,	v = cos 3x,
2)	ρ = uv , где u = ln(x − y),	v = e	x
			y	,

3)z = x sin v cos w, где

v = ln ( x2 −1), w = −1− x2 ,

4)	u = ez −2 y ,	где z = sin x, y = x3 ,
5)	z = ln ( ex	+ et ), где x = t3 ,
6)	ρ = u2 lnv,	где u =	x	, v = 3x − 2y,

			y
		62

dydx =?

∂∂ρx =? ∂∂ρy =?

dxdz =?

dudx =? dzdt =?

∂∂ρx =? ∂∂ρy =?

7)	z = arcsin		x	,	где y =
						x2	+1,

			y
8)	z = ex2 +y2 ,		где x = a cost,				y = asin t,
9)	z = ln ( x2		− y2 ), где y = e2 x ,
10)	z = 1 ln u ,				где u = tg2 x, v = ctg2 x,
	2		v
11)	u =	x2	− y		, где y = 3x +1,
		x2	+ y

12)v = t2 z, где z = cos3t,

13)	z = ln	x −	x2	− y2	,	где	y = cos x,

		x +	x2	− y2

14)	z = x2 + y2 ,			где x = ϕ+ρ, y = ϕ−ρ,

15)u = ln ( x2 + y2 ), где x = ϕρ, y = ϕρ,

16)z = sin ( 3u + 2v − 4w ),

u= 2x3 , v = 3x2 , w = x4 ,

17)u =sin xy , где x = et , y = t2 ,

18)	u = z2 + y2 + zy, где z = sin x,	y = ex ,
19)	u = eax (y − z), где z = a cos x,	y = asin x,
20)	z = uv , где u = sin x, v = tgx,

dxdz =? dzdt =? dxdz = ? dxdz =? dudx =? dvdt =?

dxdz =?

∂∂ϕz =?

∂∂ϕu =? dxdz = ? dudt =? dudx =? dudx =? dxdz = ?

∂∂ρz =?

∂∂ρu =?

6. Дифференцирование неявных функций

Вычислите производные или полные дифференциалы:

1) cos(x + y) + y3 = 0,	dy	=?
	dx

2)y −sin y = x4 − x,

3)z3 −3xyz = a4 ,

4)xyz = x2 + y2 + z2 ,

5)x2 + y2 +ln ( x2 + y2 ) = a2 ,

6)xy + sin xy = a,

7)(xy − a)2 + (xy −b)2 = r2 ,

8)x3 + 2y3 − 2xy2xy +1 = 0,

9)(x2 + y2 −bx)2 = a2 (x2 + y2 ),

10)3sin yx − 2cos yx +1 = 0,

11)0,5ln ( x2 + y2 ) −arctg xy = 0,

12)x2 − x 2 y +1 − 4 y − x + 2 y + 2 = 0,

13)x + y − ex+y = 0,

14)x + y + z = ez ,

dydx =?

∂∂xz = ?

dz =?

dydx =? dydx =? dydx =? dydx =?

dx M (b,

dydx =?

dydx =? dydx =?

dydx =?

∂∂xz = ?

∂∂yz = ?

15)x3 + y3 + z3 −3xyz = 0,

16)x = z ln zy ,

17)xsin y + ysin x + zsin x = a,

18)xy + xz + yz =1,

19)xey + yez + zex = a,

20)z = x + arctg z −y x ,

∂∂xz =? ∂∂yz =?

dz =?

∂∂xz = ? ∂∂yz = ?

dz =?

∂∂xz = ? ∂∂yz = ? ∂∂xz = ? ∂∂yz = ?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]