ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

§ 1. Функции двух переменных. Основные понятия

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Соответствие f , которое каждой паре чисел (х; у) D сопоставляет одно и только одно число z R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z = f (x; y). При этом х, у называются незави-

симыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Множество D = D (f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, – областью изменения этой функции, обозначается E (f).

Функцию z = f (x; y), где (х; у) D можно рассматривать как функцию точки М (х; у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, – внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с при-

44

соединенной к ней границей – замкнутой. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z = f (x; y) в точке М0 (х; у) обозначают: z0 = f (x0; у0) или z0 = f (М0) и называютчастным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М0 (х0; у0) в области D в системе координат Охуz соответствует точка М ( х0; у0; z0), где z0 = f (x0; y0) – аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z = f (x; y).

Например, функция z = 1− x2 − y2 имеет областью определе-

ния круг х2 + у2 ≤ 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке О (0; 0; 0) и радиусом R = 1 (см. рис. 6).

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

Рис. 6 Рис. 7

§ 2. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М (х; у) плоскости, координаты которых

45

удовлетворяют неравенству ( x − x0 )2 +( y − y0 )2 ≤δ, называется

δ-окрестностью точки М0 (x0; y0). Другими словами,δ – окрестность точки М0, т. е. это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом δ (см. рис. 7).

Пусть функция z = f (х; у) определена в некоторой окрестности точки М0 (х0; у0), кроме, быть может, самой этой точки.

Число А называется пределом функции z = f (х; у) при

х → х0 и у → у0 (или при М (х; у) → М0 (х0; у0)), если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х ≠ х0 и у ≠ у0 и удовле-

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х → х0 по двум направлениям: справа и слева).

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было числоε > 0,найд ется δ – окрестность точки М0 (х0; у0) такое, что во всех ее точках М (х; у), отличных от М0, аппликаты соответствующих точек поверхности z = f (х; у) будут отличаться от числаА меньше, чем на ε.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции f (М) и g (М) определены на множестве D и имеют в точке М0 этого множества пределы А и В соответственно, то и функции f (М) ± g (М), f (М) g (М), gf ((MM )) , g(M ) ≠ 0 имеют в точке М0 пределы, кото-

рые соответственно равны А ± В, А В, BA (B ≠ 0) .

46

§ 3. Непрерывность функции двух переменных

Функция z = f (x; y) или f (M) называется непрерывной в

точке М0 (х0; у0), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой

функции. Так, функция z = y 2− x имеет линию разрывау = х.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z = f (x; y) в точке. Обозначим

∆х = х – х0, ∆у = у – у0, ∆z = f (x; y) – f (x0; y0). Величины ∆х и ∆у на-

зываются приращениями аргументов х и у, ∆z – полным прираще-

ное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных приводят к непрерывным функциям – подобные теоремы имели место для функций одной переменной.

47