Пример 3. S=ch∙(sht).

Решение: S′ = sh(sht) cht .

Ответ: S′ = sh (sht) cht.

§ 16. Дифференциал функции, его геометрический и механический смыслы

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x. Согласно теореме о связи непрерывности с дифференцируемостью для функции y = f (x) имеет место равенство ∆y = f ′(x) ∆x +α ∆x , где α→0 при x→0. Равенство состоит из двух слагаемых:

32

точке x равен произведению производной функции в точке x на

y или f (x + x) ≈ f (x) + dy.

Полученная формула называется формулой применения

дифференциала в приближенных вычислениях.

Условимся считать, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, т. е. x = dx, тогда из равенства (1.40) можно записать

ной. Этим оправдано введенное ранее обозначение производной dydx .

Чтобы выяснить геометрический смысл дифференциала, рассмотрим график функции y = f (x) (рис. 5).

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x и некоторой ее окрестности. Проведем к графику функции y = f (x) касательную в т. М (x; y) и обозначим через α ее угол с направлением оси OX.

Рассмотрим ординату этой касательной в т. х + Δx. Отрезок NP, равный разности между ординатами касательной в точках с ординатами x и x + Δx, назовем приращением ординаты касательной. Покажем, что этот отрезок равен dy. Действительно, из прямоугольного МNP имеем: NP = tg α ∙ MN или NP = tg α ∙ Δx.

Но из геометрического смысла производной:

Таким образом, геометрический смысл дифференциала состоит в следующем утверждении: дифференциал функции y = f (x) в точке x равен приращению ординаты касательной.

Выясним механический смысл дифференциала функции. Пусть S = f (t) – закон движения материальной точки. Дифференциал этой функции (дифференциал пути) в момент времени t

имеет вид dS = dSdt ∆t. Из механического смысла производной из-

вестно, что dSdt есть мгновенная скорость движения в момент

времени t. Тогда дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени t (от момента t до момента t+Δt), если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости материальной точки в момент времени t.

34

16.1. Свойства дифференциала функции

Пусть u = u (x) и υ = υ (x) – функции, дифференцируемые в точке x. Из определения дифференциала и свойств производных функции вытекают следующие свойства дифференциала:

1. d(u ±v) = du ±dv .

Доказательство.

d(u ±v) = (u ±v)′dx = (u′±v′)dx =u′dx ±v′dx = du ±dv .

2. d(uv) = vdu + udv.

Доказательство.

d(uv) = (uv)′dx = (u′v +uv′)dx = vu′dx +uv′dx = vdu +udv .

3.d(cu) = cdu (следствие из второго свойства).

4.d u = vdu −2 udv .

v v

Доказательство.

16.2. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

Итак, из определения дифференциала следует, что если x является независимой переменной, то дифференциал функции y = f (x) можно записать в форме dy = f ′(x)dx.

Покажем, что эта форма сохранится и в том случае, когда x не является независимой переменной, а является функцией.

Пусть y = f (x), x = φ (t), т. е. y – сложная функция аргумента t: y = f (φ(t)), тогда dy = y′ dt , но по правилу дифференцирования

сложной функции имеем

Отсюда dy = y′x xt′ dt = y′x dx = f ′(x)dx, так как Итак, получили dy = f ′( x )dx.

Очевидно, что форма записи дифференциала не зависит от того, будет ли x независимой переменной или функцией другой

35