2) разрешить полученное уравнение относительно искомой производной.
Замечание. Так как производная функции, заданной неявно, зависит от двух переменных x и y, то для нахождения частного значения производной нужно для данного значения x найти соответствующее ему значение y и подставить их в производную.
§10. Параметрическое задание функций
иих дифференцирование
10.1. Параметрическое задание функций и линий
Иногда зависимость функции y от аргумента x задается через посредство третьей переменной.
Пусть даны два уравнения:
x =ϕ (t) |
, где t0 ≤ t T. |
(1.14) |
|
||
y =ψ (t) |
|
|
При изменении переменной t от t0 до T будут изменяться x и y, определяемые уравнениями (1.14), при этом точка с координатами (x; y) опишет некоторую линию на плоскости. Такая линия отражает зависимость y от x. Уравнения (1.13) называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная t – параметром.
Предположим, что функция x = φ (t) имеет обратную t = Ф (x), тогда, подставив это выражение во второе из уравнений (1.14), получим уравнение: y = ψ (Ф(x)) (1.15), выражающее y как функцию аргумента x. Переход от уравнений (1.14) к уравнению (1.15) называется исключением параметра. При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не всегда возможно. Параметрическое задание линий особенно часто используется в механике, где роль параметра играет время. Применяется параметрическое задание линий в физике и многих технических дисциплинах.
20
Рис. 3 |
Рассмотрим параметрические уравнения некоторых линий.
1. Окружность (рис. 3)
x = acost |
0 ≤t ≤ 2π ) x2 + y2 = a2 (1.16) |
|
|
y = a sint |
|
|
2. Эллипс (рис. 4) |
|
|
|
|
|||
x = a cos t |
0 |
≤ t ≤ 2π x |
2 |
+ y |
2 |
=1 |
|
|
|
|
(1.17) |
||||||
|
|
|
|
|||||
y = b sin t |
|
a2 |
b2 |
|
||||
|
|
|
Рассмотрим: |
|
|
|
||
|
x = OP = a cost, |
|
|
|
|
|
||
|
CQ = b sin t, |
|
|
|
|
|
||
Рис. 4 |
CQ = y, т. е. прямая СМ парал- |
|||||||
|
лельна оси ОX. |
|
|
|
|
|
||
В уравнениях t есть угол, образованный радиусом ОВ с осью OX.
3. Циклоида Циклоидой называется кривая, описанная точкой, лежащей
на окружности радиуса а, которая катится без скольжения по оси абсцисс.
x = a(t −sint) |
0 ≤ t ≤ 2π . |
(1.18) |
|
|
−cost) |
||
y = a(1 |
|
|
|
21
10.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Теорема. Пусть функция y от x задана параметрическими уравнениями (1.14):
x =ϕ(t) ,y =ψ(t)
причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемы, а x′(t) ≠ 0 , и функция x(t) имеет там об-
ратную t =φ (x). Тогда существует производная |
y′x , определенная |
|||
правилом дифференцирования сложной функции: |
||||
y′x = |
yt′ |
|
(1.19) |
|
xt′ |
||||
|
|
|||
Доказательство. По условию x = φ(t) |
→ t = (x), тогда |
|||
y =ψ(t) y =ψ(φ(x)) , т. е. y – сложная функция аргумента x (t – промежуточная переменная).
Поэтому
y′x = yt′ t′x , |
|
|
|
|||||
но t′x = |
1 |
|
|
как производная обратной функции,следовательно |
||||
xt′ |
||||||||
|
|
yt′ |
|
|||||
y′x = y′ |
1 |
|
y′x = |
. |
||||
t |
|
xt′ |
|
xt′ |
||||
Теорема доказана.
Замечания.
1. Отметим, что производная y по x при параметрическом задании функции является функцией параметра. Поэтому при нахождении частного значения производной нужно найти соответствующее значение параметра и подставить его в производную.
2. Если уравнение (1.19) определяет x как функцию аргумента y, то для нахождения производной имеет место правило:
x′y = |
xt′ |
. |
(1.20) |
|
|||
|
yt′ |
|
|
|
|
|
22 |