§ 4. Уравнения касательной и нормали

мой, проходящей через точку М с угловым коэффициентом k, имеет вид:

y − y1 = k (x − x1) для касательной k = f ′(x1 ), поэтому уравнение касательной имеет вид:

Наряду с касательной к кривой в данной точке очень часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно к касательной в этой точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kнор связан с угловым коэффициентом kкас равенством:

следовательно, уравнение нормали к кривой y = f (x) в точке М (x1; y1) имеет вид:

10

§ 5. Непрерывность функции, имеющей конечную производную

Чтобы применять понятие производной, надо знать, всякая ли функция и в каждой ли точке имеет производную. Докажем теорему.

Теорема. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. По условию теоремы в точке x0 существу-

Переходя к пределу при ∆x → 0, получаем:

т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Следовательно, функция y = f (x) непрерывна в точке x0. Замечание. Обратная теорема неверна. Таким образом, не-

прерывность функции является только необходимым, но недостаточным условием для существования производной в точке.

§ 6. Основные правила дифференцирования

Продифференцировать функцию y = f (x) – значит найти ее производную . Для этого нужно вычислить предел:

Такое вычисление предела в основном представляет собой громоздкое и трудное действие. Поэтому вводят правила и таблицу производных, которые намного упрощают нахождение производной.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю, т. е. если

у = c (c – const), то y′ = 0. (1.6)

Доказательство. Так как функция y = c является постоянной, то приращение ∆y при любом приращении ∆x аргумента х

равно нулю. ∆y = 0, следовательно, y′ = lim ∆y = 0, что и требо-

∆x→0 ∆x

валось доказать.

Теорема 2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых, т. е. если y = u + v + … + w, то

y′=u′+v′+...+ w′. (1.7)

Доказательство произведем для трех слагаемых.

Пусть u = u (x), v = v (x), w = w (x).

Для значений аргумента x: y = u + v + w. Для значений аргумента x + ∆x:

y + ∆y = (u + ∆u) + (v + ∆v) + (w + ∆w). Следовательно:

Переходя к пределу при ∆х → 0, получим:

Или y′ =u′+v′+ w′ (аналогичное доказательство для разности). Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак

производной, т. е. если y = c·u(x), где с – const,

то y′ = c u′(x). (1.8)

Доказательство. Для значений аргумента x: y = c·u(x). Для значений аргумента x + ∆x: y + ∆y = c·u (x + ∆x);

∆y = c·u(x + ∆x) − c·u(x) = c(u (x + ∆x) − u (x));

12

что и требовалось доказать.

Теорема 4. Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции, т. е. если y = u·v, то

y′=u′v +uv′. (1.9)

Доказательство. Для значений аргумента x: y = u·v. Для значений аргумента x + ∆x: y + ∆y = (u + ∆u)·(v + ∆v). Приращение функции у примет вид:

∆y = (u + ∆u)·(v + ∆v) − uv = ∆u·v + ∆v·u + ∆u·∆v.

Отношение приращения функции к приращению аргумента:

∆∆yx = ∆∆ux v + ∆∆vx u +∆u ∆∆vx .

Переходя к пределу, получим:

Так как u (x) – дифференцируемая функция, то она непрерывна, следовательно:

Замечание. На основании доказанной теоремы легко получается правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Например: y = u v w y′ = u′ v w +u v′ w +u v w′.

Теорема 5. Производная дроби (т. е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя,

Доказательство.

Заметим, что ∆v → 0 при ∆x → 0, так как v (x) – дифференцируемая функция и, следовательно, непрерывна и

тогда получаем формулу:

14