- •Введение
- •Глава 1. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1. Задача о скорости движущейся точки
- •1.2. Задача о касательной и нормали к графику функции
- •§ 2. Определение производной непрерывной функции, имеющей конечную производную
- •§ 3. Механический и геометрический смысл производной
- •3.1. Механический смысл производной
- •3.2. Геометрический смысл производной
- •§ 4. Уравнения касательной и нормали
- •§ 5. Непрерывность функции, имеющей конечную производную
- •§ 6. Основные правила дифференцирования
- •§ 7. Сложная функция и ее дифференцирование
- •§ 8. Обратная функция и ее дифференцирование
- •Практическое занятие № 1
- •§ 9. Неявная функция и ее дифференцирование
- •10.1. Параметрическое задание функций и линий
- •10.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Практическое занятие № 2
- •§ 11. Производная логарифмической функции. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 12. Производная степенной функции
- •§ 13. Производная показательной функции
- •Практическое занятие № 3
- •§ 14. Производные тригонометрических функций
- •§ 15. Производные обратных тригонометрических функций
- •Практическое занятие № 4
- •§ 16. Дифференциал функции, его геометрический и механический смыслы
- •16.1. Свойства дифференциала функции
- •16.2. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
- •Практическое занятие № 5
- •§ 17. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной
- •§ 18. Дифференциалы высших порядков
- •Практическое занятие № 6
- •Задания для самостоятельного решения по главе 1
- •Глава 2. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Функции двух переменных. Основные понятия
- •§ 2. Предел функции
- •§ 3. Непрерывность функции двух переменных
- •§ 4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
- •§ 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •5.2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •§ 6. Частные производные высших порядков
- •§ 7. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •§ 9. Дифференциалы высших порядков
- •§ 10. Производная сложной функции. Полная производная
- •§ 11. Инвариантность формы полного дифференциала
- •§ 12. Дифференцирование неявной функции
- •Задания для самостоятельного решения по главе 2
- •Заключение
- •Список литературы
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Челябинский государственный институт культуры»
Кафедра информатики
Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных
Учебно-методическое пособие
по дисциплине «Математика» для студентов гуманитарных вузов, обучающихся
по направлениям подготовки 09.03.03 Прикладная информатика,
39.03.01Социология, 38.03.02 Менеджмент, 43.03.01 Сервис,
38.03.06Торговое дело, 43.03.02 Туризм
Челябинск
ЧГИК
2016
УДК 517(073) ББК 22.161я73 П78
Рекомендовано на заседании кафедры информатики 30.06.2015 г., протокол № 10
Рецензент: С. В. Буцык, кандидат педагогических наук, доцент, проректор по учебной работе ЧГИК
Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных: учеб-метод. пособие по дисциплине «Математика» для студентов гуманитар. вузов, обучающихся по направлениям подготовки 09.03.03 Прикладная информатика, 39.03.01 Социология, 38.03.02 Менеджмент, 43.03.01 Сервис, 38.03.06 Торговое дело, 43.03.02 Туризм / сост.
Г. А. Таратута; ФГБОУ ВО «Челябинский государственный институт культуры». – Челябинск, 2016. – 68 с.
Издание предназначено для освоения понятий производной и дифференциала функций одной и нескольких переменных. Может использоваться как на практических занятиях, так и для самостоятельной работы студентов очной и заочной, а также дистанционной форм обучения.
Печатается по решению редакционно-издательского совета института
© Челябинский государственный институт культуры, 2016
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................. |
5 |
ГЛАВА 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ................... |
6 |
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной............................................................ |
6 |
1.1. Задача о скорости движущейся точки.................................................................. |
6 |
1.2. Задача о касательной и нормали к графику функции ........................................... |
7 |
§ 2. Определение производной непрерывной функции, имеющей конечную |
|
производную......................................................................................................................... |
8 |
§ 3. Механический и геометрический смысл производной ............................................. |
9 |
3.1. Механический смысл производной........................................................................... |
9 |
3.2. Геометрический смысл производной ...................................................................... |
9 |
§ 4. Уравнения касательной и нормали............................................................................ |
10 |
§ 5. Непрерывность функции, имеющей конечную производную.................................... |
11 |
§ 6. Основные правила дифференцирования................................................................... |
11 |
§ 7. Сложная функция и ее дифференцирование............................................................ |
15 |
§ 8. Обратная функция и ее дифференцирование........................................................... |
16 |
Практическое занятие № 1................................................................................................ |
17 |
§ 9. Неявная функция и ее дифференцирование............................................................. |
18 |
§ 10. Параметрическое задание функций и их дифференцирование........................... |
20 |
10.1. Параметрическое задание функций и линий...................................................... |
20 |
10.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически............................... |
22 |
Практическое занятие № 2................................................................................................ |
23 |
§ 11. Производная логарифмической функции. Логарифмическое |
|
дифференцирование........................................................................................................... |
24 |
§ 12. Производная степенной функции............................................................................ |
25 |
§ 13. Производная показательной функции..................................................................... |
26 |
Практическое занятие № 3................................................................................................ |
26 |
§ 14. Производные тригонометрических функций......................................................... |
27 |
§ 15. Производные обратных тригонометрических функций........................................ |
30 |
Практическое занятие № 4................................................................................................ |
32 |
§ 16. Дифференциал функции, его геометрический и механический смыслы ............ |
32 |
16.1. Свойства дифференциала функции..................................................................... |
35 |
16.2. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы |
|
дифференциала............................................................................................................... |
35 |
Практическое занятие № 5................................................................................................ |
36 |
§ 17. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной... |
36 |
§ 18. Дифференциалы высших порядков......................................................................... |
38 |
Практическое занятие № 6................................................................................................ |
39 |
Задания для самостоятельного решения по главе 1........................................................ |
41 |
ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ............................................................... |
44 |
§ 1. Функции двух переменных. Основные понятия...................................................... |
44 |
§ 2. Предел функции.......................................................................................................... |
45 |
§ 3. Непрерывность функции двух переменных............................................................. |
47 |
§ 4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области................ |
48 |
§ 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.................... |
49 |
5.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование.. |
49 |
3 |
|
5.2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных....... |
50 |
||
§ 6. |
Частные производные высших порядков.................................................................. |
50 |
|
§ 7. |
Дифференцируемость и полный дифференциал функции...................................... |
51 |
|
§ 8. |
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям ............... |
53 |
|
§ 9. |
Дифференциалы высших порядков........................................................................... |
54 |
|
§ 10. |
Производная сложной функции. Полная производная ......................................... |
55 |
|
§ 11. |
Инвариантность формы полного дифференциала................................................. |
57 |
|
§ 12. |
Дифференцирование неявной функции.................................................................. |
58 |
|
Задания для самостоятельного решения по главе 2........................................................ |
59 |
||
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................ |
66 |
||
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................................................................................................. |
67 |
||
4
ВВЕДЕНИЕ
Понятие производной и дифференциала функции – одно из основополагающих в математическом анализе. Дифференцирование широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, а также является основой базовых понятий технических, социальных и гуманитарных дисциплин. Всюду, где возникает необходимость рассмотреть вопросы, связанные с изменением скорости протекания каких-либо реальных или смоделированных процессов, необходимо понятие производной. Изучение правил и методов дифференцирования функций одной и нескольких переменных требуется всем, кто знакомится с такими дисциплинами, как «Математика», «Высшая математика», в общей системе образования по выбранному направлению. Изложение теоретического материала по теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач.
Пособие предназначено для студентов очной, заочной и дистанционной форм обучения. Оно поможет студентам освоить материал и подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов.
5