значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f (x; y) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

5.2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Графиком функции z = f (x; y) является некоторая поверхность в пространстве Oxyz. График функции z = f (x; y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью y = y0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что fx′(x0 ; y0 )= tgα, где α – угол между осью

Ох и касательной, проведенной к кривой z = f (x; y0) в точке

M0 (x0; y0; f (x0; y0)) (см. рис. 8).

Аналогично, f y′(x0 ; y0 )= tgβ, где β – угол между осью Оy и

касательной, проведенной к кривой z = f (x0; y) в точке M0 (x0 ; y0 ; f (x0;y0)).

Рис. 8

§ 6. Частные производные высших порядков

Частные производные, ∂f (x; y) ; ∂f (x; y) называют частными

∂x ∂y

производными первого порядка. Если эти функции могут иметь

50

частные производные, то их называют частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т. д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядков, взятая по различным переменным, называется смешанной част-

ной производной.

Теорема (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны

между собой. В частности, для z = f (x; y ) имеем: ∂∂x2∂zy = ∂∂y2∂zx .

§ 7. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция z = f (x; y) определена в некоторой окрестности точки М0 (х; у). Составим полное приращение функции в точ-

ке М: ∆z = f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y).

Функция z = f (x; y) называется дифференцируемой в точке М (х; у), если ее полное приращение в этой точке можно предста-

вить в виде ∆z = А·∆х + В·∆у + α·∆х + β·∆у, (2.3)

где α = α (∆х; ∆у) → 0 и β = β (∆х; ∆у) → 0 при ∆х → 0, ∆у → 0.

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (2.2) представля-

ет собой главную часть приращения функции.

51

Главная часть приращения функции z = f (x; y), линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

Выражения A·∆x и B·∆y называют частными дифференциа-

лами. Для независимых переменныххи уполагают ∆х = dx и ∆y = dy. Поэтому равенство (2.3) можно переписать в виде:

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функ-

ции). Если функция z = f (x; y) дифференцируема в точке М (х; у),

то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные произ-

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (2.3). Отсюда вытекает, что

lim ∆z = 0 . Это означает непрерывность функции в точке М. По-

x→x0 y→y0

ложив ∆у = 0, ∆х ≠ 0 в равенстве (2.3), получим: ∆хz=А·∆х+α·∆х.

где γ =α ∆x + β ∆y → 0 при ∆х → 0, ∆у → 0.

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не

52

следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функ-

ция z = x2 + y2 не дифференцируема в точке (0; 0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (2.5) принимает вид:

ференциалы функции z = f (x; y).

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функ-

ции). Если функция z = f (x; y) имеет непрерывные частные произ-

точке и ее полный дифференциал выражается формулой(2.6). Примем теорему без доказательства.

Отметим, что для функции y = f (x) одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z = f (x; y) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

§8. Применение полного дифференциала

кприближенным вычислениям

Из определения дифференциала функции z = f (x; y) следует, что при достаточно малых│∆х│ и │∆у│ имеет место приближенное равенство

53