§ 7. Сложная функция и ее дифференцирование

Если y является функцией от u, а u в свою очередь зависит от переменной x, то y также зависит от x. Пусть y = F (u) и u = φ (x). Получаем функцию y от x: y = F (φ (x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Например: Пусть y = sin u, u = x2. Функция y = sin (x2) является сложной функцией.

Теорема. Если функция u = φ (x) имеет в некоторой точке x производную а функция y = F (u) имеет при соответствующем значении u производную yu′ , то сложная функция y = F (φ (x)) в указанной точке x также имеет производную, которая равна y′x = yu′ u′x , т. е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При определенном значении x будем иметь u = φ (x), y = F (u).

При наращенном значении аргумента x + ∆x: u + ∆u = φ (x +

∆x); y + ∆y = F (u + ∆u).

Таким образом, приращению ∆x соответствует приращение ∆u, которому в свою очередь – приращение ∆y, причем при ∆x → 0 будет ∆u → 0 и ∆y → 0.

Из этого отношения, пользуясь определением предела, получаем

§ 8. Обратная функция и ее дифференцирование

Пусть известна функция y = f (x). Решим уравнение y = f (x) относительно x, тогда получим функцию x = φ (y), которая называется обратной для функции у. Возникает вопрос: всегда ли для данной функции существует ей обратная? Ответом на него является следующая теорема.

Теорема 1. Если возрастающая (убывающая) функция y = f (x) непрерывна на сегменте [a; b], причем f (а) = α, f (b) = β, то обратная функция x = φ (y) существует, возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [a; β].

Докажем теперь теорему, позволяющую находить производную обратной функции x = φ (y), зная производную прямой функции y = f (x).

Теорема 2. Пусть функция y = f (x) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 и пусть в этой точке существует производная f ′(x0 )≠ 0 , тогда и обратная функция x = φ (y) имеет производную в соответствующей точке

Доказательство. По теореме 1 обратная функция x = φ (y) существует монотонная и непрерывная в окрестности точки y0. Возьмем приращение ∆y ≠ 0, тогда функция x = φ (y) получит приращение ∆x. Так как φ (y) строго монотонна, то ∆x ≠ 0. Рас-

16

Таким образом, производные от взаимно обратных функций обратны по величине.

Практическое занятие № 1

Производная, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование степенных функций.

Решение примеров и задач

Дифференцирование функций с помощью таблицы производных и правил дифференцирования.

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y = x2 в точке (3; 9).

Решение: y′ = 2x, y′(3)= 6, kкас = y′(x0 )= 6.

Ответ: 6.

Пример 2. Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через tсек равно S = 14 t 4 −4t3 +16t 2 . В какие

моменты ее скорость равна нулю?

Решение:

υ= S′(t)= t3 −12t2 + 32t

υ= 0 t3 −12t2 + 32t = 0 t (t2 −12t + 32)= 0

Ответ: t1 = 0 , t2 = 4, t3 =8 .

Найти производные функций

Пример 3. y = x3 −2x2 + 4x −5

3

17

Решение:

§ 9. Неявная функция и ее дифференцирование

Функция y, заданная аналитически уравнением, разрешенным относительно этой функции, т. е. в виде y = f (x), называется функцией, заданной явно. Но иногда при решении задач получается уравнение, связывающее функцию y и ее аргумент x, не разрешенное относительно y. Рассмотрим такой случай.

Пусть переменные x и y связаны между собой уравнением:

F (x; y) = 0. (1.13)

Если для каждого значения x из некоторого интервала (a, b) существует такое значение y, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (1.13), то на (a, b) определяется функция y = y (x), для которой справедливо равенство F (x, y (x)) = 0 всех x (a, b).

Если функция y = y (x), определенная на некотором интервале (a, b), такова, что она удовлетворяет уравнению (1.13) при всех x (a, b), то уравнением (1.13) на (a, b) задана

неявная функция y = y (x).

18

Пример. Уравнение x2 – y2 + a2 = 0 определяет неявно задан-

явному заданию. Но не всегда возможен такой переход. Например, функцию, заданную неявно уравнением y x2 −ln y + x = 0, нельзя представить явно. Отметим, что неявная функция – это один из способов аналитического задания функции. Рассмотрим правило нахождения производной функции, заданной неявно на следующих примерах.

Пример 1. Пусть функция y = y (x) задана неявно уравнением xn – y2 + a2 = 0. Найдем y′.

Для этого продифференцируем обе части уравнения по x, считая y функцией аргумента x и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции: 2x − 2y y′ = 0. Из полученного урав-

нения определяем y′:

2y y′ = 2x y′ = xy .

Пример2. Найдем y′ функции,заданнойуравнениемcos (x + y) = y. Дифференцируем обе части уравнения по x:

Таким образом, чтобы продифференцировать функцию, заданную неявно, нужно:

1) продифференцировать обе части уравнения, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции;

19