переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

Практическое занятие № 5

Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях

Пример 1.

Найти дифференциал функции y = x (ln x −1).

Решение: dy =(1 (ln x −1) + x 1x )dx =(ln x −1+1)dx = ln x dx.

Ответ: dy=ln x dx .

Пример2.

Вычислить приближенное значение arcsin 0,51. Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x .

Полагая x = 0,5, x = 0,01 и применяя формулу

Ответ: arcsin 0,51≈0,534.

§ 17. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной

Предположим, что функция y = f (x) дифференцируема в некотором интервале. Тогда ее производная f ′(x) является функцией аргумента x. Назовем f ′(x) первой производной или производной первого порядка функции f (x).

Пусть далее функция f ′(x) также имеет производную на том же интервале или его части. Производная от первой производной называется второй производной или производной второго поряд-

36

f ′′(x) = ( f ′(x))′.

Производная от второй производной, если она существует, называется третьей производной или производной третьего порядка и обозначается:

y′′′ f ′′′(x), ddx3 y3 f ′′′(x)= (f ′′(x))′ и т. д.

Производной n-го порядка функции y = f (x) называется производная от производной (n-1)-го порядка данной функции и

обозначается y(n), f (n)(x), ddxn ny , т. е. f (n)(x)= (f (n−1)(x))′ . Производные функции порядка выше первого называются

производными высшего порядка.

Вторая производная имеет следующий механический смысл: если известен закон прямолинейного движения S = f (t), то dSdt –

мгновенная скорость этого движения в момент времениt, т. е. v = dSdt . Ускорение a в момент времени t определяется как

Таким образом, ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени. Рассмотрим, как находятся производные высших порядков от функций, заданных неявно и параметрически.

1. От функции, заданной неявно, можно получить производную любого порядка, если она существует. Для этого, по из-

37

вестному ранее правилу, надо найти y′, которая будет зависеть от x и y, т. е. y′ =Ф( x; y ).

Чтобы найти y′′, надо обе части этого равенства продифференцировать по аргументу x и y′ в правой части полученного равенства подставить его значение Ф (x; y).

2.Пусть имеем параметрическое задание функции:

С помощью этого правила можно находить производные высших порядков функций, заданных параметрическими уравнениями.

Пусть существует вторая производная Для ее нахождения рассмотрим ее же, заданную параметрически:

x =ϕ(t)y′ = F(t) .

Таким образом: производную y(n) функции, заданной пара-

§ 18. Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию y = f (x) независимого аргумента x. Тогда дифференциал от этой функции зависит от двух перемен-

ных x и x = dx dy = f' (x)dx.

Если считать dy функцией только аргумента x, то можно найти дифференциал этой функции.

38

Дифференциал от дифференциала функции y = f (x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается d2y или d2f(x).

d 2 y = d(dy)→ d 2 y =[f ′(x)dx]′dx = f ′′(x) dx dx = f ′′(x) (dx)2 ; (dx)2 = dx.2

Тогда d 2 y = f ′′(x)dx2 .

Аналогично определяются дифференциалы 3, 4 и т. д. порядков.

Дифференциалом n-го порядка функции y = f (x) называется дифференциал от ее (n-1)-го дифференциала, который обозначается dn y или d n f (x). Таким образом, d n y = d(d n-1 y) и

нетрудно установить, что d n y = f (n)(x) d x n.

Замечания:

1. dy = f' (x)dx назовем дифференциалом 1 порядка функции y = f (x).

2. Ранее было отмечено, что форма дифференциала первого порядка обладает свойством инвариантности. Однако форма

дифференциала высшего порядка d n y = f (n)(x)dxn не обладает свойством инвариантности.

Если x не является независимой переменной, то эта формула не имеет места.

Практическое занятие № 6

Производные и дифференциалы высших порядков

Пример 1.

y = 2 x . Найти: y(n).

Решение:

y′ = 2x ln2, y′′ = 2x ln2 2, y′′′ = 2x ln3 2,..., y(n) = 2x lnn 2.

Пример 2.

d 3 y x2 + y2 = r2. Найти: dx3 .

39

Решение:

Пример 4.

Найти дифференциалы второго и третьего порядков функции y = (2x −3)3 .

Решение:

dy =3(2x −3)2 2dx = 6(2x −3)2 dx,

d 2 y =12(2x −3) 2dx2 = 24(2x −3) dx2 , d 3 y = 24 2dx3 = 48dx3 .

Ответ: d 2 y = 24(2x −3) dx2 , d 3 y = 48dx3.

40