Формулой (2.8) пользуются в приближенных расчетах. Пример. Вычислить приближенно 1,023,01.

Решение. Рассмотрим функцию z = x y.

Тогда 1,023,01 = (x + ∆x ) y+∆y, где х=1, ∆х = 0,02, у = 3,∆у =

0,01. Воспользуемся формулой (2.8), предварительно найдя z′x и

z′y : z′x =( xy )x′ = y xy−1 и z′y = ( x y )′y = x y ln x.

Следовательно, 1,023,01 ≈ 13 + 3·13 – 1 · 0,02 + 13· ln1·0,01, т. е. 1,023,01≈ 1,06.

Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:

1,023,01 ≈ 1,061418168.

Отметим также, что с помощью полного дифференциала можно найти границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях, приближенное значение полного приращения функции и т. д.

§ 9. Дифференциалы высших порядков

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула 2.6) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция z=f (x; y) имеет непрерывные частные произ-

водные второго порядка. Дифференциал второго порядка опре-

деляется по формуле d2z = d (dz). Найдем его:

54

∂∂x dx + ∂∂y dy 3 = ∂∂x33 dx3 +3 ∂∂x22 dx2 ∂∂y dy +3 ∂∂x dx ∂∂y22 dy2 + ∂∂y33 dy3 .

Методом математической индукции можно показать, что d n z = ∂∂x dx + ∂∂y dy n z, n N.

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = f (x; y) являются независимыми.

§ 10. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z = f (x; y) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: x = x (t), y = y (t).

В этом случае функция z=f (x (t); y (t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у – промежуточные.

Теорема. Если z = f (x; y) – дифференцируемая в точке М (х; у) из области D функция и x=x (t) и y=y (t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то п роизводная сложной функции

z = f (x(t); y (t)) вычисляется по формуле:

Примем теорему без доказательства.

Частный случай: z = f (x; y), где у = у (х), т. е. z = f (x; y (x)) –

сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (2.9) имеем:

Формула (2.10)носит название формулы полной производной.

Общий случай:z = f (x; y), гдеx = x (u; v) и y = y (u; v). Тогда z = f (x (u; v); y (u; v) – сложная функция независимых переменных u и

v. Ее частные производные ∂∂xz , ∂∂yz можно найти, используя формулу (2.9) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней

Аналогично получаем: ∂∂vz = ∂∂xz ∂∂xv + ∂∂yz ∂∂yv .

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Упростим правую часть полученного равенства и в резуль-

§ 11. Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z = f (x; y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть z = f (x; y), где х и у – независимые переменные. Тогда полный дифференциал первого порядка функции имеет вид:

Рассмотрим сложную функцию z = f (x; y), где x = x (u; v) и y = y (u; v), т. е.функцию z = f (x (u; v); y (u; v)) = F (u; v), где u и v –

независимые переменные. Тогда имеем:

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций где x = x (u; v) и y = y (u; v). Следова-

57