Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производная и дифференциал функций одной и нескольких переменных. Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов гуманитарных ву.pdf
X
- •Введение
- •Глава 1. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.1. Задача о скорости движущейся точки
- •1.2. Задача о касательной и нормали к графику функции
- •§ 2. Определение производной непрерывной функции, имеющей конечную производную
- •§ 3. Механический и геометрический смысл производной
- •3.1. Механический смысл производной
- •3.2. Геометрический смысл производной
- •§ 4. Уравнения касательной и нормали
- •§ 5. Непрерывность функции, имеющей конечную производную
- •§ 6. Основные правила дифференцирования
- •§ 7. Сложная функция и ее дифференцирование
- •§ 8. Обратная функция и ее дифференцирование
- •Практическое занятие № 1
- •§ 9. Неявная функция и ее дифференцирование
- •10.1. Параметрическое задание функций и линий
- •10.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Практическое занятие № 2
- •§ 11. Производная логарифмической функции. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 12. Производная степенной функции
- •§ 13. Производная показательной функции
- •Практическое занятие № 3
- •§ 14. Производные тригонометрических функций
- •§ 15. Производные обратных тригонометрических функций
- •Практическое занятие № 4
- •§ 16. Дифференциал функции, его геометрический и механический смыслы
- •16.1. Свойства дифференциала функции
- •16.2. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
- •Практическое занятие № 5
- •§ 17. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной
- •§ 18. Дифференциалы высших порядков
- •Практическое занятие № 6
- •Задания для самостоятельного решения по главе 1
- •Глава 2. Функции нескольких переменных
- •§ 1. Функции двух переменных. Основные понятия
- •§ 2. Предел функции
- •§ 3. Непрерывность функции двух переменных
- •§ 4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
- •§ 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •5.2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •§ 6. Частные производные высших порядков
- •§ 7. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •§ 9. Дифференциалы высших порядков
- •§ 10. Производная сложной функции. Полная производная
- •§ 11. Инвариантность формы полного дифференциала
- •§ 12. Дифференцирование неявной функции
- •Задания для самостоятельного решения по главе 2
- •Заключение
- •Список литературы
f ′(x)
Действие нахождения производной функции является ее дифференцированием, а функция, имеющая производную в точ-
ке x, – дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
§ 3. Механический и геометрический смысл производной
3.1. Механический смысл производной
Возвратимся к формуле (1.1), задача 1.1:
υ = lim |
∆S |
′ |
dS |
, |
∆t |
= S (t) = |
dt |
||
∆t→0 |
|
|
получили, что производная пути по времени есть скорость прямолинейного движения.
3.2. Геометрический смысл производной
По формуле (1.2), задача 1.2: tgϕ = lim ∆y = f ′(x). Следова-
∆x→0 ∆x
тельно, f ′(x) = tgϕ = kкас .
Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой x равен значению производной этой
функции в точке x.
Данное утверждение и есть геометрический смысл производной.
9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]