§ 2. Определение производной непрерывной функции, имеющей конечную производную
Математический алгоритм, требуемый для решения рассмотренных задач в § 1, один и тот же. Выявим аналитическую сущность этого алгоритма, отвлекаясь от вызвавших его конкретных процессов.
Пусть функция y = f (х) определена в промежутке (a; b).
1.Возьмем произвольное значение x (a; b), дадим ему приращение ∆x и вычислим новое значение аргумента (x + ∆x) (a; b).
2.Вычислим новое значение функции y + ∆y = f (x + ∆x).
3.Вычислим приращение функции ∆y = f (x + ∆x) – f (x).
4.Теперь составим отношение:
∆y = f ( x +∆x ) − f ( x ) .
∆x ∆x
Оно является функцией от ∆x.
5.Найдем предел отношения ∆∆yx при ∆x → 0
lim ∆y |
= |
lim |
f (x +∆x) − f (x) |
. |
|
||||
∆x→0 ∆x |
|
∆x→0 |
∆x |
|
Если этот предел существует, то его называют производной от функции y = f (x) в данной точке x.
Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю и обозначается через y' или f' (x).
y |
' |
= f'(x) = |
lim ∆y |
= |
lim |
f ( x + ∆x ) − f ( x ) |
. |
(1.3) |
|
∆x |
|||||||||
|
∆x→0 ∆x |
|
∆x→0 |
Для обозначения производной приняты также следующие символы:
dy |
или |
df ( x ) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx , уꞌ |
или |
|
|||
dx |
|
f ( x ) |
. |
|||
|
|
|
||||
|
|
8 |
|
|
|
|