Глава 1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной
1.1. Задача о скорости движущейся точки
Пусть S = S (t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это уравнение выражает путь S, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через∆ S путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆t от момента t до t + ∆t, т. е.
∆S = S ( t + ∆t ) − S ( t ).
Отношение ∆∆St
называется средней скоростью движения
точки за время от t до (t + ∆t). Чем меньше∆t, т. е. чем короче промежуток времени от t до (t + ∆t), тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени t. Поэтому естественно ввести понятие скорости υ в данный момент t, определив ее как предел средней скорости за промежуток от t до (t + ∆t), когда ∆t → 0:
υ = lim ∆S |
(1.1) |
∆t→0 ∆t |
|
Величину υ называют мгновенной скоростью движения точки в данный момент t.
6
1.2. Задача о касательной и нормали к графику функции |
||||
|
Пусть в декартовой сис- |
|||
|
теме координат на плоскости |
|||
|
Oxy задана кривая уравнением |
|||
|
y=f(x) (рис. 1). Требуется про- |
|||
|
вести касательную к |
данной |
||
|
кривой в данной точке М0(х0; |
|||
|
f(x0)). Так как точка касания |
|||
|
М0 дана, то для решения зада- |
|||
Рис. 1 |
чи потребуется найти угловой |
|||
коэффициент |
искомой |
каса- |
||
|
||||
|
тельной, т. е. tg φ – тангенс уг- |
|||
ла наклона касательной к положительному направлению оси Оx. |
||||
Через точки М0 (x0; f (x0)) и М1 (x0 + ∆x; f (x0 + ∆x)) проведем се- |
||||
кущую М0М1. Из рисунка видно, что угловой коэффициент tgα |
||||
секущей М0М1 равен отношению: |
|
|
|
|
tgα = ∆∆yx ,
где ∆y = f (x0 + ∆x) – f (x0).
Угловой коэффициент касательной М0Т к данной кривой в точке М0 может быть найден на основании следующего определения: касательной к кривой в точке М0 называется прямая М0Т, угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей М0М1, когда ∆x → 0. Отсюда следует, что
tgϕ = lim |
tgα = |
lim ∆y |
(1.2) |
∆x→0 |
|
∆x→0 ∆x . |
7