§ 5. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
5.1.Частные производные первого порядка
иих геометрическое истолкование
Пусть задана функция z = f (x; y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение ∆х, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆х z. Итак,
∆x z = f ( x + ∆x; y) − f (x; y).
Аналогично получаем частное приращение z по y:
∆y z = f (x; y + ∆y) − f (x; y).
Полное приращение ∆z функции z определяется равенством
∆z = f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y).
Если существует предел
lim |
∆x z |
= lim |
f (x +∆x ; y) − f (x; y) |
, |
(2.1) |
|
|||||
∆x →0 |
∆x |
|
∆x |
|
|
то он называется частной производной функции z = f (x; y) в точке М0 (х; у) по переменной х и обозначается одним из симво-
′ |
∂z |
′ |
∂f |
. |
лов zx ; |
∂x |
; fx ; |
∂x |
|
|
|
|
Частные производные по х в точке М0 (х0; у0) обычно обозначают символами fx′(x0; y0 ), fx′ M 0 .
Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z = f (x; y) по переменной у:
z′y = lim |
∆y z |
= lim |
f (x; y +∆y ) − f (x; y) |
. |
(2.2) |
∆y |
|
||||
∆y →0 |
|
∆y |
|
||
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и более) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства
49