Практическое занятие № 2
Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
Пример 1. Найти производную от функции, заданной неявно. x3 + y3 −3axy =0, a −const
Решение. Продифференцируем по x обе части данного уравнения, в котором y является функцией аргумента x, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции.
3x2 +3y2 y′−3ay −3axy′ = 0.
Решаем полученное уравнение относительно y′:
3y2 y′−3axy′ = 3ay −3x2 y′( y2 − ax ) = ay − x2
y′ = ay − x2 . y2 − ax
Ответ: y′ = ay − x2 .
y2 −ax
Пример 2. Найти производную от y по x.
x = a cos3 ϕ3
y = bsin ϕ
Решение. Найдем производные xϕ′ , yϕ′ . xϕ′ = −3a cos2 ϕ sinϕ
yϕ′ = 3b sin2 ϕ сosϕ
Используя правило y′x = yϕ′ , получим:
xϕ′
y′x = |
3b sin2 ϕ cosϕ |
= − |
b |
tgϕ . |
|||
− |
3a cos |
2 |
ϕ sinϕ |
a |
|||
|
|
|
|
||||
Ответ: |
y′x =− b tgϕ . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
23
§ 11. Производная логарифмической функции. Логарифмическое дифференцирование
Теорема. Если y = loga x, то |
y′ = |
1 loga e |
(1.21), |
|
|
x |
|
где а > 0, а ≠ 1, x > 0, − ∞ < y < +∞
Доказательство. Для доказательства воспользуемся алгоритмом нахождения производной.
1.Зафиксируем любое x D (y), дадим ему приращение
x и вычислим новое значение аргумента (x + x) D (y).
2. Вычислим новое значение функции f(x+ x) = loga (x + x).
3.Найдем приращение функции
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = loga ( x + ∆x ) −loga x = loga x +x∆x = loga (1+ ∆xx ).
Вычислим ∆∆yx = ∆1x loga (1+ ∆xx ) = loga (1+ ∆xx )∆1x .
4.Найдем
y′ = lim ∆y |
= |
lim |
log |
|
(1+ |
∆x) |
1 |
= log |
lim |
(1+ |
∆x) |
1 |
. |
a |
∆x |
∆x |
|||||||||||
∆x→0 ∆x |
|
∆x→0 |
|
|
x |
a ∆x→0 |
|
x |
|||||
Сведем вычисляемый предел ко второму замечательному пределу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
lim ∆y |
= log |
|
lim |
|
+ |
a |
1 |
|||||
|
∆x→0 ∆x |
|
∆x→0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∆xx ∆xx ∆1x x
∆x
=loga ∆limx→0 1+
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∆x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1
loga e x = 1x loga e.
По формуле перехода от одного основания логарифмов к
другому loga e = |
1 |
можно записать: |
|
|
|
|
||
ln a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(loga x)′ = |
1 |
. |
|
|
(1.22) |
|
|
|
x ln a |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Если y = ln x, то y′ = |
1 . |
(1.23) |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Полагая в формуле (1.22) а = е, получим: |
||||||||
|
|
(loge x)′ = (ln x)′ = |
1 |
loge e = |
1 |
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
x |
||
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
Иногда для упрощения дифференцируемой функции бывает целесообразно, прежде чем находить производную от заданной функции, предварительно ее прологарифмировать. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию е), а затем дифференцирования,
называется логарифмическим дифференцированием.
Наиболее целесообразно применять логарифмическое дифференцирование, если приходится дифференцировать:
1)произведение нескольких сомножителей;
2)дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения;
3)выражение, содержащее корни из дробей;
4)показательно-степенную функцию y = ( f (x))ϕ(x) , т. е. ко-
гда основание степени и ее показатель являются функциями аргумента x.
§ 12. Производная степенной функции
Теорема. Если y = xα , то y′ =α xα−1, где α R ; x 0 . Доказательство. Для доказательства применим метод лога-
рифмического дифференцирования. Логарифмируя данную функцию, будем иметь: ln y = ln xα или ln y =α ln x, дифференцируем
обе части равенства по x по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x:
1y y′ =α 1x y′ = y α 1x ,
подставляя в последнее равенство функцию y, получим:
y′ = xα α |
1 |
=α x α−1 . |
(1.24) |
|
x |
||||
|
|
|
Замечание. Формула (1.24) справедлива и при x < 0 для тех показателей степени, при которых функция y = xα определена.
25
Следствие.
′ |
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
1 |
′ |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x) =1; |
( |
x ) |
= |
|
|
|
|
; |
|
|
= − |
|
|
(1.25) |
|
|
|
|
|
x |
2 |
||||||||||
2 |
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
§ 13. Производная показательной функции
Теорема. Если y = ax , где −∞ x ∞, a 0 a ≠1,
то y′ = ax ln a. |
(1.26) |
Доказательство. Логарифмируя функцию |
y = ax , получим |
lny = ln ax или ln y = x ln a. |
|
Дифференцируем полученное равенство, учитывая, что в левой части имеем сложную логарифмическую функцию.
1 |
y′ = ln a |
y′ = y ln a , подставляя значение |
y, имеем: |
y |
y′ = ax ln a, что и требовалось доказать.
Следствие. Если y = ex , то y′ = (ex )′ = ex ln e = ex . (1.27)
Практическое занятие № 3
Дифференцирование |
показательной и логарифмической |
||||||
функций. Логарифмическое дифференцирование. |
|||||||
Продифференцировать функции. |
|
|
|
||||
Пример 1. |
y = log3 (x2 |
−1) |
|||||
|
|
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
|
y′ = |
|
2x = |
|
. |
||
(x2 −1)ln3 |
(x2 −1)ln3 |
||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
Ответ: y′ = |
|
. |
|
|
|
|
|
(x2 −1)ln3 |
|
|
|
|
|
||
26