270 Глава 11 Теоретическое описание
где r - радиус-вектор точки интегрирования.
В плоско-параллельном случае вектор момента направлен параллельно оси z, в осесимметричном случае момент тождественно равен нулю. Момент вычисляется относительно начала координат. Величина момента относительно произвольной точки может быть получена добавлением векторного произведения F r0, где F - это полная сила, а r0 - радиус-вектор точки.
Область интегрирования задается в плоскости модели в виде замкнутого контура, состоящего из отрезков и дуг окружностей.
Нестационарное электрическое поле
Нестационарное электрическое поле является наиболее общей формулировкой задачи расчета электрического поля в отсутствии магнитных полей. В этой постановке источники поля (напряжения или токи) могут быть произвольными функциями времени, и электрические свойства материалов могут зависеть от напряженности электрического поля.
Формулировка нестационарной задачи похожа на формулировку задачи электрического поля переменных токов. Уравнение для электрического потенциала U имеет вид:
E U E U 0t
где электропроводность γ и диэлектрическая проницаемость ε могут зависеть от напряженности электрического поля E или быть анизотропными.
Источники поля
Источниками нестационарного электрического поля могут быть внешние токи или напряжения, заданные на границах проводников. ELCUT позволяет задать внешнюю плотность тока на ребрах и в отдельных вершинах модели.
Плотность тока, заданная в точке плоскости xy, соответствует токоподводу в виде тонкого проводника, перпендикулярного плоскости модели. Он описывается своей линейной плотностью тока. В осесимметричном случае источник, заданный в вершине, описывает токоподвод в виде тонкого кольца с осью, совпадающей с осью симметрии задачи или точечный токовый ввод, если точка лежит на оси вращения. В этих двух случаях источник описывается величиной подводимого тока. Для кольцевого токоподвода полное значение тока связано с его линейной плотностью соотношением I = 2 r . Задание
Нестационарное электрическое поле |
271 |
|
|
поверхностной плотности тока на рѐбрах в плоскости модели эквивалентно неоднородному граничному условию Неймана и осуществляется с его помощью.
Граничные условия
В задачах нестационарного электрического поля на внешних и внутренних рѐбрах модели могут быть заданы следующие виды граничных условий.
Условие Дирихле задает известное значение электрического потенциала U0 на рѐбрах или в вершинах модели Значение U0 может быть задано в виде функции от времени и/или от координат. Параметры задающей функции могут варьироваться от ребра к ребру, но должны быть подобраны так, чтобы избежать разрывов функции U0 в точках соприкосновения границ.
Замечание. Для того чтобы задача была сформулирована корректно, необходимо задание условия Дирихле хотя бы в одной точке расчетной области, а если область представляет собой набор физически не связанных подобластей - хотя бы в одной точке каждой такой подобласти.
Условие Неймана имеет вид: |
|
jn = j |
на внешней границе, |
jn+ - jn- = j |
на внутренней границе, |
где jn - нормальная компонента вектора плотности тока, индексы "+" и " " означают "слева от границы" и "справа от границы" соответственно, j в правой части выражений - плотность стороннего тока. Если j = 0, граничное условие называется однородным. Однородное условие Неймана на внешней границе означает отсутствие нормальной составляющей напряженности и часто применяется для описания плоскости симметрии. Однородное условие Неймана является естественным, оно устанавливается по умолчанию на всех тех рѐбрах, составляющих внешнюю границу, где явно не указано иное граничное условие.
При задании неоднородного условия Неймана на внешней границе, являющейся следом плоскости симметрии, истинную величину плотности тока следует разделить пополам.
Граничное условие равного потенциала задает поверхность изолированного проводника, обладающего существенно большей проводимостью, чем окружающие его тела. Это условие отличается от условия Дирихле тем, что значение потенциала на описываемой поверхности не известно заранее.
272 Глава 11 Теоретическое описание
Замечание. Не допускается соприкосновение поверхностей, носящих граничное условие Дирихле и условие равного потенциала. В этом случае последнее условие следует описать с помощью условия Дирихле.
Вычисляемые физические величины
При анализе результатов задачи нестационарного электрического поля ELCUT позволяет оперировать со следующими локальными и интегральными физическими величинами.
Локальные величины:
Скалярный электрический потенциал U;
Вектор напряженности электрического поля E = gradU
Тензор градиента напряженности электрического поля G = grad E
|
|
|
Ex |
|
|
|
Ey |
|
|
|
1 |
|
Ex |
|
Ey |
|
|
G |
xx |
|
|
, G |
yy |
|
|
, G |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
— в плоском случае; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
y |
|
|
2 |
|
y |
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
z |
|
|
|
E |
r |
|
|
|
1 |
E |
z |
|
E |
r |
|
|
|
||
|
G |
|
|
, G |
|
|
, G |
|
|
|
|
|
|
— в осесимметричном случае; |
||||||||||
|
zz |
|
|
rr |
|
|
zr |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
z |
|
|
r |
|
|
2 r |
z |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а также его главные компоненты G1 и G2. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Вектор |
|
плотности |
тока |
проводимости |
jactive γE, и |
тока смещения |
|||||||||||||||||
|
jreactive E)/ t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Удельная мощность омических потерь |
Qactive = jactive · E, |
и удельная (на |
|||||||||||||||||||||
единицу объема) реактивная мощность Qreactive = jreactive · E;
Диэлектрическая проницаемость (E);
Электропроводность γ(E).
Интегральные величины:
Электрический ток (проводимости Iactive, смещения Ireactive) через заданную поверхность
I j nds ,
Где n - единичный вектор нормали к поверхности.
Активная и реактивная мощность Pactive, Preactive, выделяющаяся в заданном объеме P E jdV .
Механическая сила действующая со стороны электрического поля на тела внутри заданного объема
F 12 E n D D n E n E D ds ,