книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений

носной области, замещается водой из внешнего источника, напри­ мер из артезианского бассейна, так что давление на внешней грани­ це водоносной области сохраняет свое первоначальное значение р.. В таком случае нет необходимости последовательно рассчитывать среднее давление в водоносной области, поскольку оно остается не­ изменным. Вуравнениях (9.31) для расчета ] депрессия выражена как р. - р (см. уравнение (9.23))

<№

______ е_ = П р 1- р ) е - ^ / ^ е ,

% = а*

Условия установившейся фильтрации предполагают, что макси­ мально возможный объём притока воды в залежь из водоносной об­ ласти (\У.г) не ограничен, и поэтому

После интегрирования получаем суммарный приток воды

I

О

Уравнения (9.32) и (9.33), описывающие частный случай теории Фетковича, были впервые представлены в 1936 г. Шилсуизом6 как уравнения установившегося притока воды. Уравнение (9.33) можно решить последовательным образом, рассчитав значения давления на внутренней границе (рп) на п-м интервале по уравнению (9.15).

Нужно понимать, что выражения для коэффициента продуктив­ ности, представленные в табл. 9.8, были получены таким же образом, как и в главе 6 (раздел 2), при допущении, что отношение (г^ / ге)2 приблизительно равно нулю. Для небольших круговых водоносных областей аналогичное допущение о возможности пренебречь отно­ шением (го / ге)2 правомерно не всегда. Если такое допущение непра­ вомерно, то правильные значения коэффициента продуктивности следует получать решением уравнения пьезопроводности. При этом нужно выполнять те же действия, что и в главе 6, но не пренебрегая такими членами. Учитывая неопределенности, изначально присущие процессу подгонки модели законтурной водоносной области, такой

подход можно считать в общем случае необязательным. Фактически Феткович продемонстрировал почти полное соответствие своих ре­ зультатов результатам Херста и ван Эвердингена даже при неболь­ ших значениях геЕ) (геЕ) = 3).

Если залежь расположена асимметрично в пределах водоносной области, отличной от круговой, то допустимо использовать, с при­ емлемой точностью, коэффициенты формы Дитца, представленные на рис. 6.4 и описанные в главе 7 (раздел 7), для корректировки вы­ ражений, применяемых для расчета коэффициента продуктивности в условиях квазиустановившейся фильтрации. Тогда можно записать выражение для коэффициента продуктивности (9.30) в общем виде

Это выражение имеет точно такую же форму, что и уравнение (6.22). Если водоносная область очень велика, начальный приток воды

взалежь будет происходить при неустановившемся режиме филь­ трации. В таком случае, для того чтобы на изменение начального давления на границе залежи и водоносной области стала оказывать влияние внешняя граница водоносной области, требуется конечный период времени. К сожалению, для этого периода неустановившейся фильтрации невозможно получить простую зависимость для рас­ чета коэффициента продуктивности ] по аналогии с уравнениями притока в скважину. Это обусловлено тем, что в случае притока воды

взалежь использовать приближенное решение уравнения пьезопро­ водности для точечного стока с целью определения коэффициента продуктивности в условиях неустановившейся фильтрации некор­ ректно. Причина заключается в том, что радиус го всегда конечен, и применять для решений этого типа граничные условия, выраженные соотношениями (7.1), уже нельзя. Таким образом, метод Фетковича нельзя использовать для описания притока из бесконечной водо­ носной области. При работе с очень большими ограниченными во­ доносными областями необходимо использовать на протяжении не­ скольких начальных интервалов теорию неустановившегося притока Херста и ван Эвердингена. Нижеследующий пример иллюстрирует быстроту и точность, которые обеспечивает метод Фетковича по сравнению с методом Херста и ван Эвердингена. Кроме того, данный пример демонстрирует возможность сочетания обоих этих методов

при работе с большими водоносными областями (ге0 = 10), когда в те­ чение нескольких первых лет существует неустановившийся режим фильтрации.

УПРАЖНЕНИЕ 9.3. РАСЧЕТ ПРИТОКА ВОДЫ В ЗАЛЕЖЬ ПО МЕТОДУ ФЕТКОВИЧА

Требуется выполнить расчет суммарного притока воды как функ­ цию времени по методу Фетковича, используя характеристики за­ лежи и водоносной области из упражнения 9.2. Выполнить расчеты для ге0 - 5 и геС = 10.

УПРАЖНЕНИЕ 9.3. РЕШЕНИЕ

Метод Фетковича предусматривает использование двух уравне­ ний (9.29) и (9.28)

п -1

Е ДШ

и

где ра - среднее давление в водоносной области в конце (п - 1)-го интер­

вала, рп - среднее давление на границе залежи и водоносной области в те­

чение п-го интервала.

Поскольку в данной задаче требуется воспроизвести историю раз­ работки по имеющимся значениям пластового давления, то есть по значениям рп, приведенным в столбце 3 табл. 9.2 из предыдущего упражнения, последовательность действий для решения вышепри­ веденных уравнений с целью расчета суммарного притока воды вы­ глядит следующим образом:

Результаты расчета притока воды приведены в табл. 9.9.

Рис. 9.16 иллюстрирует суммарный приток воды. Приток воды, рассчитанный в упражнении 9.2 для геЕ>= 5, охарактеризован в табл. 9.7. Как можно видеть, данные для обоих случаев прекрасно согла­ суются.

Был выполнен расчет притока воды по методу Фетковича для геЕ> = 10. В этом случае \У. = 139,00 млн м3, ] = 1468 м3/сут/ МПа, и урав­ нение притока принимает вид Д\Уп = 518030 х (ра - рп) м3 (МПа). На рис. 9.17 показано изменение этого притока во времени. Как мож­ но видеть, имеется расхождение между этими значениями и значе­ ниями, рассчитанными для условий неустановившейся фильтрации (табл. 9.5). Это обусловлено тем, что метод Фетковича не позволяет корректно моделировать приток из большой водоносной области в начальный период, в условиях неустановившейся фильтрации. Ре­ зультаты можно уточнить, применив метод Херста и ван Эвердингена для нескольких первых лет, что технически несложно, а затем

Таблица 9.10

вернуться к методу Фетковича. Результаты такого расчета приведе­ ны в табл. 9.10. Значения для первых четырех лет здесь взяты из табл. 9.5.

Как следует из рис. 9.17, применение этого комбинированного ме­ тода (модифицированного метода Фетковича) дает почти такие же результаты, как и теория притока при неустановившемся режиме фильтрации, в течение всего периода разработки.

9.5.ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМА ПРИТОКА

Вразделах 9.2 - 9.4 рассматривались пути создания математиче­ ской модели законтурной водоносной области и корректировки ее в соответствии с динамикой отбора из залежи и изменения пластового давления. Если есть уверенность в том, что модель достаточно хо­ рошо соответствует истории разработки месторождения, то выпол­ няется следующий шаг, то есть прогнозирование поведения залежи

спомощью этой модели. Целью обычно является оценка снижения давления при данном отборе пластовых флюидов. Зная эту зависи­ мость, несложно рассчитать коэффициент извлечения с учетом тех­ нологических и экономических ограничений. Все математические

инструменты, необходимые для выполнения такого упражнения, уже представлены. Поэтому все, что нужно, - это подумать, каким образом следует решать уравнения для определения давления.

Основными зависимостями являются уравнение материального баланса залежи и уравнение притока воды. Найти пластовое давле­ ние можно, решая их совместно путем последовательных приближе­ ний. Для иллюстрации такого метода поиска решений рассмотрим случай притока воды в газовую залежь, для которого можно запи­ сать очень простое уравнение материального баланса. Как показано в главе 1 (раздел 7), такое уравнение может иметь вид (1.41)

Здесь Ср - накопленная добыча газа, которая ограничена условия­ ми контракта на поставку газа. Методы Херста и ван Эвердингена и Фетковича будут рассмотрены отдельно.

а) Метод Херста и ван Эвердингена

Ситуация поясняется рис. 9.18. До завершения (п - 1)-го интервала все определено, и приток воды до этого момента корректно включен в уравнение материального баланса. Следующим шагом является опре­ деление текущего пластового давления рп в конце п-го интервала, то есть в момент Т. Приток воды определяется по зависимости (9.17)

а) Херст, ван Эвердинген

Давление

Рис. 9.18. Прогнозирование снижения давления в газовой залежи с

водонапорным режимом

которую можно развернуть так:

Решать уравнения (9.35) и (9.36) удобно методом последователь­ ных приближений. На рис. 9.19 проиллюстрирован процесс решения с последовательностью шагов на каждом интервале.

Нужно сделать начальную оценку пластового давления рпк = рп*в конце п-го интервала. Для этого следует решить уравнение матери­ ального баланса, взяв сначала приток воды равным

то есть используя уравнение (9.35) и пренебрегая при этом послед­

тока воды после завершения (п - 1)-го интервала, однако уравнение (9.37) обычно лучше отражает фактический приток и позволяет уменьшить число итераций.

Р ис. 9 .1 9 . Прогнозирование изменения давления в газовой залежи вследствие отбора пластовых флюидов и притока воды, где к- счетчик итераций, Т01. -заданная разность давлений (по Херсту и

ван Эвердингену)

Подставить это начальное значение рп\ которое предположитель­ но слишком мало, в уравнение притока воды и рассчитать новое значение \ которое теперь будет слишком велико.

Пересчитать материальный баланс с новым значением \У 1и полу­ чить значение рп1, которое должно быть сейчас слишком велико. Выполнить итерации и найти (XV 2, рп2) (\^ 3, рп3) ... и т. д., пока разность между двумя последующими значениями рпк не станет