книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений

Если в пласте много отдельных слоев, можно сгладить ступенчатый график непрерывными кривыми.

Главное допущение при использовании метода Стайлса, а именно равенство М = 1, должно теоретически ограничивать его применение пластами, в которых приближенно выполняется это условие. Тем не менее его часто используют в качестве первого шага, даже когда М > 1. Полученные кривые ОФП корректируют таким образом, чтобы расчет­ ная добыча соответствовала наблюдаемой при опытном заводнении.

1 0 .9 . ВЫТЕСНЕНИЕ П РИ П О Л Н О М ОТСУТСТВИИ

ВЕРТИ КА ЛЬН О ГО РАВНОВЕСИЯ

Построение кривых усредненных относительных фазовых прони­ цаемостей, описанное в разделах 10.6 - 10.8, основано на допущении, что вытеснение нефти происходит в условиях вертикального равно­ весия (см. раздел 10.2). Такое допущение дает возможность находить распределение насыщенности и относительных фазовых проницае­ мостей по толщине пласта. Усреднение значений этих параметров дает возможность описать двумерное вытеснение с помощью про­ стых одномерных уравнений.

Такой же порядок действий можно применить для диаметрально противоположных условий фильтрации, а именно при практически полном отсутствии вертикального равновесия. Такое происходит, когда скорость движения флюида в направлении, параллельном на­ пластованию, намного превосходит скорость в направлении, нор­ мальном к линии падения пласта. В крайнем случае распределение насыщенностей по толщине однородного пласта будет равномерным, и процесс вытеснения можно описать с использованием кривых от­ носительных проницаемостей породы и теории одномерного вытес­ нения Бакли-Леверетта. Соответствующая зависимость для псевдокапиллярного давления при таком вытеснении имеет простой вид

Полное отсутствие вертикального равновесия в слоистом пласте предполагает, что флюиды будут двигаться в каждом слое независимо от условий фильтрации в соседних слоях. Поскольку движение флюи­ да в направлении, нормальном к линии падения пласта, пренебрежи­ мо мало, такое вытеснение можно описать как одномерный процесс,

используя для расчета усредненных относительных проницаемостей метод Стайлса17. Описанные в этой главе методы, позволяющие свести описание процесса вытеснения к одномерной задаче, проиллюстриро­ ваны на рис. 10.43. Первым шагом при построении этой схемы явля­ ется решение вопроса о том, правомерно ли допущение о существо­ вании вертикального равновесия. Для описания вытеснения нефти с помощью простых аналитических методов требуется допущение либо о существовании такого вертикального равновесия, либо о полном его отсутствии. В обоих случаях можно построить кривые усредненных относительных проницаемостей для использования с теорией одно­ мерного вытеснения Бакли-Леверетта.

Кроме того, можно выполнить численное моделирование процес­ са вытеснения, используя в качестве основных исходных данных зна­ чения усредненных относительных проницаемостей. В следующем разделе будет показана важность использования в численном моде­ лировании усредненных относительных проницаемостей и псевдокапиллярного давления. Кроме того, будет показано, как устанавливать правомерность допущения о существовании вертикального равнове­ сия с помощью численного моделирования и как описывать вытесне­ ние в условиях, занимающих промежуточное положение между пол­ ным равновесием и полным отсутствием вертикального равновесия.

1 0 .1 0 . ЧИСЛЕННОЕ М О Д ЕЛ И РО В А Н И Е НЕСМЕШ ИВАЮ Щ ЕГОСЯ ВЫТЕСНЕНИЯ П РИ

Ф И Л ЬТ РА Ц И И НЕСЖ ИМ А ЕМ Ы Х Ж ИДКОСТЕЙ

До сих пор в этой книге рассматривалось создание простых мате­ матических моделей для описания физической сущности процессов истощения пласта и фильтрации флюидов. Примерами таких моде­ лей являются уравнение материального баланса нулевой размерно­ сти (глава 3) и аналитические решения линейных дифференциаль­ ных уравнений второго порядка для описания плоскорадиального притока (главы 5-8).

Однако иногда эти простые модели бывают полностью непригод­ ны для решения задач разработки нефтяных и газовых месторожде­ ний. Например, при активном водонапорном режиме уравнение ма­ териального баланса нулевой размерности может быть использовано для прогнозирования объема притока воды. Однако его нельзя ис­ пользовать для определения пути движения воды в пласте, что важ­ но для правильной расстановки дополнительных нагнетательных

Рис* 10*43* Методы определения усредненных по толщине относительных проницаемостей как функции водонасыщенносги в зависимости от одно­ родности пласта и высоты переходной зоны (Н). Схема применима только при существовании или при полном отсутствии вертикального равновесия

или добывающих скважин. Далее, не все задачи разработки место­ рождений могут быть сформулированы с использованием линейных дифференциальных уравнений, для которых существуют стандарт­ ные решения. Например, никто не станет пытаться решить систему уравнений фильтрации трех фаз (нефти, воды и газа) в трехмерном пространстве пласта с границей неправильной геометрической фор­ мы, используя аналитический подход. Чтобы решать сложные зада­ чи разработки месторождений, инженеру приходится прибегать к численному моделированию. Это относится, в частности, к задачам вытеснения, где одной из главных целей является оценка распределе­ ния флюидов по площади пласта при заводнении.

Моделирующая программа - компьютерная программа, дающая воз­ можность пользователю построить сетку и разделить пласт на дискрет­ ные ячейки, для каждой из которых можно задать различные параме­ тры пласта. Переток флюидов из ячейки в ячейкуопределяется законом сохранения массы в сочетании с законом Дарси. Учитывается также приток в ячейку и отток из ячейки, обусловленные работой нагнета­ тельной или добывающей скважины. Большинство моделей позволяет решать большие системы дифференциальных уравнений второго по­ рядка для описания совместной фильтрации нефти, газа и воды в трех­ мерном пространстве. Кроме того, есть возможность моделировать влияние таких факторов, как приток в залежь пластовой воды, сжи­ маемость флюидов, массопередача между газовой и жидкостной фаза­ ми и изменение таких параметров, как пористость и проницаемость, при изменении давления. Сами дифференциальные уравнения обычно записывают с использованием аппроксимации производных первого и второго порядка конечными разностями и решают совместно мето­ дом численного моделирования с некоторой приемлемой небольшой погрешностью.

В этой книге не ставится задача описать численное моделирование сколько-нибудь подробно. На момент написания книги такое описание потребовало бы еще одной даже не книги, а небольшой энциклопедии. Так как в данной главе рассматривается определение усредненных от­ носительных проницаемостей и псевдокапиллярных давлений как функций усредненной по толщине водонасыщенности, описание чис­ ленного моделирования будет ограничено тем, как эти жизненно важ­ ные параметры обрабатываются моделирующей программой. С этой целью будет рассмотрен простой случай линейного вытеснения нефти водой при фильтрации несжимаемых жидкостей, для которого будут

представлены соответствующие уравнения сохранения массы приме­ нительно к пластовым флюидам. Такой подход упрощает описание и делает его более четким, поскольку зависящие от давления параметры, плотность и вязкость, можно в данном случае рассматривать как не за­ висящие от давления без опасения привнести ошибку. Таким образом, здесь рассматривается только изменение во времени и пространстве водонасыщенности и параметров, зависящих от водонасыщенности. Однако такое описание в равной степени применимо и к моделирова­ нию более сложных процессов.

Тем, кто не знаком с методами численного моделирования, будут по­ лезны работы 18-20, указанные в конце этой главы. В избранных ста­ тьях21 АШЕ приводится более детальное описание используемых ма­ тематических методов и даются примеры интерпретации средствами численного моделирования случаев из промысловой практики.

Рассмотрим вытеснение нефти водой из элемента прямолинейного горизонтального однородного пласта, показанного на рис. 10.44.

Для целей моделирования элемент пласта разделен на ряд дискрет­ ных ячеек правильной геометрической формы. Вгеометрическом цен­ тре каждой ячейки размещается узел сетки. Узлы пронумерованы в по­ рядке возрастания слева направо. На первый взгляд может показаться, что эта простая модель является трехмерной, поскольку ее геометрия определяется прямоугольными декартовыми координатами. Однако моделирующая программа обрабатывает усредненные в пределах ячейки данные, поставленные в соответствие узлу. Поскольку узлы представляют собой отдельные точки пространства, описание филь­ трации сводится к одномерной задаче.

Рис. 10.44. Элемент однородного пласта для численного

моделирования линейного вытеснения

Эта зависимость имеет такую же форму, что и уравнение (10.13), ко­ торое использовалось в качестве первого шага при выводе уравнения Бакли-Леверетта. Однако теперь добавлен член р^, учитывающий источник массы ((^характеризует темп закачки или отбора, опреде­ ляемый для пластовых условий. В первом случае данный параметр обычно записывают со знаком плюс, а во втором - со знаком минус). Приведя это уравнение к виду

деляемого по уравнению Дарси для горизонтального потока,

Здесь принимается, что вытеснение происходит при фильтрации несжимаемых флюидов, то есть и <р - постоянные величины, а / Ас1х (<3^ -расход закачки или отбора на единицу полного объема пласта). В этом и последующих уравнениях давление выра­

жается усредненным значением, соответствующим центру пласта, а вязкость определяется при этом давлении.

Уравнение баланса массы нефти, аналогичное уравнению (10.78), имеет вид

_Э_

(10.79)

Эх

Вместо попытки решить уравнение (10.78) или (10.79) аналитиче­ ски, в соответствии с подходом, принятым при создании теории вы­ теснения Бакли-Леверетта, здесь применяется иной метод. Уравне­ ния выражаются в моделирующей программе в конечных разностях и решаются относительно давлений в нефтяной и водной фазах и насыщенностей нефтью и водой с использованием вспомогательных зависимостей

При выражении уравнений (10.78) и (10.79) в конечных разностях моделирующая программа воспринимает время и пространство как параметры, изменяющиеся дискретно, а не непрерывно, как для ана­ литического решения. Временные шаги обозначаются Д1, а прираще­ ния пространства обозначаются для этой одномерной задачи Дх. Для ячеек одинаковой длины Дх - это длина ячейки, а также расстояние между двумя соседними узлами.

Уравнение (10.78) обычно записывается в конечных разностях, с использованием в левой части так называемой аппроксимации цен­ тральными разностями. При фильтрации через 1-тую ячейку на вре­ менном шаге Д{ оно имеет вид

Ф

=д?<Ц+1-Ц)- (1(Ш)

Здесь принимается на какой-то момент, что ячейка не содержит источник или сток.

Верхним индексом п снабжаются параметры, определяемые в мо­ мент 1п, а индексом п+1 - параметры, определяемые в момент 1п+г Разность (1П+! - 1п = Д1) здесь - текущий временной шаг. Аналогич­ но нижними индексами 1, 1 + 1/2 и 1 - 1/2 снабжаются параметры, определяемые в узлах сетки и на поверхности, разделяющей ячейки (рис. 10.44). Поток между ячейками 1 - 1 и 1 и между ячейками 1 и 1 + 1 зависит от значений параметра ккт / определяемого на поверх­ ности, разделяющей ячейки (1 - 1/2 и 1 + 1/2 соответственно). То, как осуществляются пространственные связи в левой части уравнения (10.83), иллюстрируется рис. 10.45.

Здесь принимается, что, хотя давления в нефтяной и водной фазах могут изменяться на временном шаге независимо, соответствующим изменением псевдокапиллярного давления (уравнение (10.85)) мож­ но пренебречь.

Выражение уравнения (10.86) в конечных разностях не является единственно возможной формой записи, но именно она чаще всего применяется при моделировании залежей. Все давления в водной фазе в этом уравнении соответствуют новому временному шагу п+1, на котором они неизвестны. В то же время все значения параметра кг / р, зависящего и от насыщенности и от давления, и псевдокапиллярных давлений (уравнение (10.85)), зависящих от насыщенности, соответствуют старому временному шагу п, на котором они извест­ ны. Поэтому уравнение (10.86), записанное специально для филь­ трации воды через 1-тую ячейку, содержит только три неизвестных

Р^,+1-1 >РЛи1 и Рш,+1+ 1 • Когда оно связано с аналогичными уравнения­ ми для всех ячеек в одномерной модели (1 = 1.....п), систему уравне­ ний можно решить совместно, чтобы найти значение р”+1в каждой ячейке. Совместное решение относительно давления на новом вре­ менном шаге характеризуется как НЕЯВНОЕ по давлению.

Когда определены значения р” +1 в каждой ячейке, для получения решения на временном шаге п+1 в )-той ячейке остается сделать сле­

•вычислить р[| {1, используя обновленное значение псевдокапил­ лярного давления (Р" +1 = Р°;Г+1 + р“ +1, уравнение (10.85)),

•и, наконец, получить обновленные для временного шага п+1 зна­ чения всех параметров, зависящих от давления и насыщенности (плотности, вязкости и относительные фазовые проницаемости), используя новые рассчитанные значения давлений и насыщенно­ стей и исходные таблицы этих параметров, как функций давления и насыщенности.