книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений

Описанный выше алгоритм моделирования несмешивающегося вытеснения нефти водой как несжимаемых жидкостей можно лег­ ко распространить на трехфазный поток. В этом случае также про­ изводится сложение уравнений баланса массы нефти, газа и воды в конечных разностях, с учетом возможности массопереноса между газовой и жидкостной фазами. Это дает возможность исключить члены, характеризующие полное изменение насыщенности на дан­ ном временном шаге

В результате получается зависимость, аналогичная по форме урав­ нению для расчета давления в водной фазе (10.86), но более сложная. Здесь можно добиться исключения членов, характеризующих давле­ ние в нефтяной и газовой фазах, используя зависимости для псевдокапиллярного давления

После этого ищется неявное решение для давления в водной фазе. Остальная часть алгоритма практически совпадает с описанной выше последовательностью.

Метод, в котором давления определяются НЕЯВНО, а насыщенно­ сти - ЯВНО, известен под названием 1МРЕ5 (йпрНсИ: рге$$иге-ехрНсН: 8а1игайоп).В Одним из основных его недостатков является то, что при решении уравнения для расчета давления в водной фазе (10.86) на временном шаге п+1 используются относительные фазовые про­ ницаемости и псевдокапиллярные давления, соответствующие водонасыщенности, определенной на временном шаге п. Для задач, в которых изменение водонасыщенности в ячейке на временном шаге может быть большим, например когда через пласт проходит фронт с резким скачком насыщенности, определение зависящих от насы­ щенности параметров на старом временном шаге может привести к серьезной неустойчивости решений методом 1МРЕ8.

1 1-1- 1

Рис* 10*46* Пример неустойчивости (колебаний) решений для водонасыщенности при применении метода 1МРЕ5 (— ) корректное значение насыщенности; (— ) некорректное значение насыщенности

Рассмотрим, например, движение воды слева направо в двух ячей­ ках линейной модели пласта, показанных на рис. 10.46 (а) - (с). Здесь средние насыщенности, обозначенные штриховой линией, корректны, а обозначенные сплошной линией - некорректны. При переходе от временного шага п к шагу п+1 водонасыщенность в 1-той ячейке долж­ на возрасти вследствие поступления в нее воды из ячейки 1-1 (не по­ казана). Поскольку относительная фазовая проницаемость для воды в 1-той ячейке остается постоянной и соответствующей насыщенности, показанной на рис. 10.46 (а), из 1-той ячейки будет вытекать на данном временном шаге меньше воды, чем втекать. Поэтому водонасыщен­ ность в этой ячейке на временном шаге п+1 будет искусственно повы­ шена. При переходе от временного шага п+1 к шагу п+2 относительная фазовая проницаемость для воды определяется при этой повышенной насыщенности, и из ячейки будет вытекать больше воды, чем втекать. Поэтому на временном шаге п + 2 водонасыщенность будет искус­ ственно понижена в 1-той ячейке и искусственно повышена в ячейке 1+1. Конечный результат заключается в том, что происходят колеба­ ния решения для водонасыщенности. Неустойчивость такого рода, из­ начально присущую методу 1МРЕ5, можно исключить, если намного

уменьшить продолжительность временных шагов. Однако это приво­ дит к значительному увеличению продолжительности расчетов.

Блэр (В1ап) и Вейнаут (\Уетаи§)22 разработали моделирующую про­ грамму, использующую неявно определенные проницаемости. Этот так называемый полностью неявный алгоритм намного увеличил устойчивость решения уравнений в конечных разностях и, следова­ тельно, обеспечил возможность использования при моделировании намного больших временных шагов. К сожалению, ценой этого преи­ мущества является возросший объем расчетов на временной шаг, что обусловлено трудностью решения систем полностью неявных уравне­ ний в конечных разностях. Известен другой, более простой с точки зрения расчетов метод с полунеявным представлением уравнений в конечных разностях23,34,25. Согласно этому методу зависящие от насы­ щенности относительные фазовые проницаемости и псевдокапиллярные давления определяются на временном шаге п+1 с использованием ряда Тейлора первого порядка, то есть

где - изменение насыщенности во времени (5^+1 - 8^ ), а произ­ водные первого порядка определяются на временном шаге п. Писман (Реасетап) показал26, что в большинстве случаев такой подход обе­ спечивает в расчетах с использованием численного моделирования вполне приемлемую устойчивость. Чеппелир (СЬарре1еаг)27 рассмо­ трел некоторые практические трудности, связанные с использовани­ ем такого подхода, и предложил пути их преодоления. Подставляя такие выражения для к?+1 и Р°’п +1 в уравнения в конечных разно­ стях (10.83) и (10.84) и выполняя над ними определенные алгебраи­ ческие действия можно добиться исключения членов, характеризую­ щих изменение насыщенности, поскольку

Д8 + Д$ =0. I V/ 10

Затем можно решить полученное сложное уравнение для расчета давления в водной фазе, схожее по форме с уравнением (10.86). После этого можно определить насыщенности, как было описано выше для метода 1МРЕ5. Для решения уравнений в конечных разностях методом, предусматривающим их полунеявное представление, требуется боль­ ше времени, чем при использовании явно рассчитываемых параме­ тров, зависящих от насыщенности. Но это более чем компенсируется возможностью увеличения продолжительности временного шага, до­ пускаемого данным методом.

При описании решения уравнения (10.86) было временно проиг­ норировано то, что ячейка может содержать источник или сток. Если учитывать данное обстоятельство, то в правой части уравнения поя­ вится дополнительный член <Зо + представляющий собой сумму расходов нефти и воды на единицу полного объема пласта. Он имеет положительный знак при закачке и отрицательный знак при отборе. Как именно эти расходы учитываются при решении таких уравнений, как (10.86), зависит от того, как работает моделирующая программа.

Существуют моделирующие программы, предусматривающие так называемый режим материального баланса. При использовании это­ го режима делается попытка воспроизвести с помощью численного моделирования фактическую динамику пластового давления. В та­ ком режиме исходные данные для моделирующей программы обычно включают в себя желаемые временные шаги; для каждой ячейки, содер­ жащей источник или сток, назначается наблюденная динамика расхода закачки или отбора. В таком случае все расходы, будучи назначенными, не усложняют решение уравнения (10.86), описанное выше. На выходе давление, рассчитанное моделирующей программой для каждой ячей­ ки, содержащей источник или сток, должно сравниваться с давлени­ ем, наблюденным на месторождении. Для этого используется метод расчета динамического давления в ячейке, описанный в главе 7 (раз­ дел 7). Этот аспект воспроизведения динамики давления равнозначен калибровке модели, и его следует признать не более чем усложненной версией воспроизведения истории разработки с использованием урав­ нения материального баланса, рассмотренного в главах 1, 3 и 9.

Однако чаще всего моделирующие программы используются для прогнозирования расхода закачки или отбора для каждой скважины. Рассмотрим отдельную скважину, расположенную в центре ячейки. Моделирующая программа должна быть в состоянии определить при существующих на данном временном шаге средних значениях дав-

ления флюидов и насыщенности, какое количество каждого флюида может втекать и вытекать из ячейки через скважину. Поскольку гра­ диенты давления и насыщенности существуют не в каждой отдельной ячейке, а на переходе между ячейками, физическое моделирование работы скважины представляет определенную трудность. Градиенты давления вблизи скважины могут быть очень высоки, поэтому может потребоваться дополнительное разбиение ячеек, находящихся в при­ забойной зоне, для корректного учета этих градиентов. Такой подход требует больших затрат на компьютерные расчеты вследствие боль­ шого количества охватываемых расчетом ячеек сетки.

Есть и другой, приближенный метод моделирования работы сква­ жин, предусматривающий создание аналитической модели скважины для учета закачки в ячейку или отбора из ячейки. Например, полный расход при отборе воды из ячейки ^ = 0^ х полный объем ячейки) можно рассчитать по формуле

Здесь р^г и р^ - динамическое забойное давление и среднее давление

вводной фазе в ячейке соответственно. Порядок вычитания этих давлений таков, что при отборе воды расход имеет отрицательное значение, а при закачке - положительное, в соответствии с обычным правилом присвоения знаков. Параметр а представляет собой коэф­ фициент продуктивности скважины, который обычно определяется

вусловиях установившейся фильтрации (глава 6, табл. 1) по формуле

а=

где ге - эквивалентный радиус ячейки сетки

при расположении скважины в центре ячейки. Выбор условий уста­ новившейся фильтрации для модели скважины обоснован тем об­ стоятельством, что переходные процессы в пределах ячейки, как правило, затухают за период, относительно малый по сравнению со

средним временным шагом, принятым в моделирующей программе. Кроме того, условия на границе ячейки, вероятно, ближе к устано­ вившейся фильтрации (открытая граница - постоянство давления), чем к квазиустановившейся фильтрации (закрытая граница - сниже­ ние давления).

Было установлено, что даже при удовлетворительном моделирова­ нии по методу 1МРЕ5 модель скважины работает неустойчиво - если только не брать чрезвычайно мелкие временные шаги. Это обусловле­ но зависимостью относительной фазовой проницаемости в выраже­ нии для коэффициента продуктивности а от насыщенности. Поэтому коэффициент продуктивности всегда определяется полунеявно

для каждого флюида. Таким образом, уравнение для расчета расхода воды (10.87) на временном шаге п+1в 1-той ячейке, содержащей сква­ жину, имеет вид

Можно записать такое же выражение и для нефтяной фазы. Эти вы­ ражения добавляются к правой части уравнений (10.83) и (10.84) для ячеек сетки, содержащих скважины. Сложение уравнений, при кото­ ром исключаются члены АД дает модифицированную форму урав­ нения для расчета давления (10.86). Последующее решение относи­ тельно насыщенностей фазами и давлений в фазах дает возможность рассчитать расходы путем обратной подстановки этих значений в уравнение модели скважины (10.88) как для нефти, так и для воды.

Очевидно, что, поскольку комплекс параметров кк. / ц контролирует течение жидкостей из одной ячейки в другую, его следует определять на поверхностях, разделяющих ячейки. Однако не ясно, как именно определять значения трех параметров, входящих в данный комплекс, на этих поверхностях, поскольку они определены только в узлах сетки.

Считается, что зависящие от давления вязкости изменяются при изменении положения медленно, особенно когда вытеснение проис­ ходит при фильтрации несжимаемых флюидов. Поэтому вязкости

определяют как среднее их значений в узлах, расположенных в сосед­ них ячейках. Таким образом, при одинаковой длине ячеек

И,+ад= (И, + И,+1)/2.

Абсолютная проницаемость, которая обычно остается постоян­ ной на протяжении всего процесса моделирования, определяется как среднее гармоническое своих значений в узлах, расположенных в соседних ячейках. Рассмотрим общий случай фильтрации между ячейками неодинаковой длины, показанными на рис. 10.47.

Ар

Рис. 10.47. Определение средней абсолютной проницаемости при

фильтрации между ячейками неодинаковой длины

При расчете абсолютной проницаемости принимается, что пласт полностью насыщен одной фазой и что расходы во всех ячейках оди­ наковы и равны (я4= Я1+! = я). Применяя к каждой ячейке закон Дар­ си, запишем

Но полный перепад давлений на обеих ячейках равен

(10.89)

г, I + 0,5

Аналогичным образом если поток движется в обратном направле­ нии, то уравнение (10.89) запишется в виде

Направление потока на момент расчета определяется разностью по­ тенциальных энергий (разностью давлений в горизонтальном пла­ сте) между двумя соседними ячейками.

Тодд и др.28 показали также, что такой метод, как взвешивание вверх по потоку с использованием двух точек, нельзя встроить в мо­ делирующую программу без тщательного скрининга. Рассмотрим, например, простой процесс поршневого вытеснения нефти водой, иллюстрируемый рис. 10.48.

Когда резко выраженный фронт вытеснения подходит к 1-той ячейке, значение относительной фазовой проницаемости для воды в точке 1 + 0,5 становится равным - 0,5 к^г (уравнение (10.89)). Этот переход к отрицательной относительной проницаемости (оуегзЬоо!), очевидно, может произойти в любой момент, когда к . _ 1 > Зкт ..

к™+ к ™ к™ + к™

к = 0

к ™м ' + 2 - “ 2 к ™

Рис. 10.48. Переход к отрицательной относительной проницаемости

при поршневом вытеснении

Подобная ситуация может возникнуть при прохождении по пласту скачка водонасыщенности. Такой переход запрещен и устраняется введением условия кт > 0.

Рассмотрим динамику нефтенасыщенности и относительных фа­ зовых проницаемостей, соответствующую случаю, иллюстрируемо­ му рис. 10.48. Можно легко убедиться, что нужно ввести еще одно условие, а именно

кго. + 05 < большему из значений — .

Два описанных выше правила, предотвращающие переход к от­ рицательной относительной проницаемости, обычно применимы при любом характере вытеснения. Значения к 5 не могут быть от­ рицательными, а значения кго , +05 должны быть меньше или равны наибольшему из значений в соседних узлах сетки. Хотя применение метода взвешивания вверх по потоку с использованием двух точек требует более сложного программирования, чем метод, предусма­ тривающий использование одной точки (кг , +05 = кг.), первый метод точнее. Кроме того, при его использовании допускаются большие размеры ячеек. Благодаря этому уменьшается время прогона про­ граммы и, следовательно, затраты на моделирование.

Обычно моделирование реальных залежей проводится с целью оценки распределения флюидов по площади залежи сучетом притока в залежь либо пластовой, либо закачиваемой воды. Для такой работы нужно построить двухмерную или трехмерную модель пласта, по­ зволяющую варьировать его основные параметры (пористость, про­ ницаемость и др.), и назначать различные значения этих параметров для каждой ячейки. Когда модель, достаточно точно отображающая залежь, построена, необходимо выбрать зависимости для относи­ тельных фазовых проницаемостей и псевдокапиллярного давления, характеризующие распределение водонасыщенности в направлении, нормальном к линии падения при движении воды по пласту. Ниже описано, как это делается.

а) Создать набор значений усредненных относительных фазовых проницаемостей и псевдокапиллярного давления для типичного продольного сечения прямолинейного пласта на участке между нагнетательной и добывающей скважинами, принимая условие существования вертикального равновесия.