книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений

Рис* 10*7* Приближенное представление вытеснения при равномерном

распределении насыщенности, когда Н » Ь

рии, нужно рассматривать как относительные фазовые проницаемо­ сти породы в точке пласта, являющиеся функциями водонасьпценности в точке. Поэтому непосредственно использовать в расчетах относительные фазовые проницаемости породы можно только при описании процесса вытеснения при равномерном распределении на­ сыщенности. Только в этом случае они характеризуют также относи­ тельные фазовые проницаемости, усредненные по толщине пласта.

Теперь рассмотрим процесс вытеснения нефти в наклонном эле­ менте пласта, однородного в пределах поперечного сечения А. Такой элемент показан на рис. 10.6 (Ь). Применяя закон Дарси для линейно­ го потока, можно записать одномерные уравнения совместной филь­ трации нефти и воды

Выразим расход нефти как

Целесообразно рассмотреть роль различных компонентов этого уравнения. В соответствии с перечнем условных обозначений, при­ нятых в этой книге, 0 - угол падения пласта, который измеряется в данном случае от горизонтали к линии, совпадающей с направлени­ ем фильтрации. Поэтому член Др§ з т 0 будет положительным при вытеснении нефти вверх по восстанию пласта (0 < 0 < л) и отрица­ тельным при вытеснении вниз по падению пласта (л < 0 < 2л). Вы­ шесказанное иллюстрирует рис. 10.6 (Ь). Поэтому, если все осталь­ ные члены уравнения (10.9) не изменяются, доля воды в потоке при вытеснении вверх по восстанию будет меньше, чем при вытеснении вниз по падению пласта. Это объясняется тем, что в первом случае действие силы тяжести замедляет фильтрацию воды.

Влияние градиента капиллярного давления менее очевидно, но его можно объяснить на качественном уровне, выразив градиент как

Первый член в правой части уравнения характеризует наклон кри­ вой капиллярного давления (рис. 10.8 (а)). Он всегда имеет отрица­ тельное значение. Второй параметр характеризует наклон профиля водонасыщенности в направлении потока. Типичный профиль по­ казан на рис. 10.8 (Ь).

Рис. 10.8. Кривая капиллярного давления (а) и распределение

водонасыщенности вдоль линии вытеснения (Ь)

Как можно видеть, параметр Э8^ / Эх также всегда имеет отрица­ тельное значение. Поэтому параметр ЭРс / Эх всегда положителен, и, следовательно, присутствие члена, учитывающего градиент, капил­ лярного давления, приводит к увеличению доли воды в потоке. Рас­ считать градиент капиллярного давления весьма сложно, даже если построена кривая капиллярного давления, поскольку распределение водонасыщенности неизвестно. Как будет показано позже, оно пред­ ставляет собой искомый результат расчета вытеснения

Распределение водонасыщенности, показанное на рис. 10.8 (Ь), со­ ответствует положению после закачки определенного объема воды. Такое распределение можно считать типичным при вытеснении нефти водой. На рисунке видно, что существует четкий скачок, или разрыв водонасыщенности на фронте вытеснения, когда водонасыщенность резко возрастает от 8^с до 8 ^ то есть до водонасыщенно­ сти на фронте вытеснения. Как можно видеть на рис. 10.8 (а) и 10.8 (Ь), именно на фронте вытеснения обе производные в правой части уравнения (10.11) имеют максимальное значение. Поэтому произво­ дная ЭРс / Эх также имеет здесь максимальное значение. За фронтом вытеснения происходит постепенное увеличение водонасыщенно­ сти от 8 - до максимального значения 1 - 8 . Обычно считается, что в этой области и с1Рс / Э8^ и Э8^ / Эх малы, и поэтому членом ЭРс / Эх уравнения для доли воды в потоке можно пренебречь.

Если в случае вытеснения из горизонтального пласта (зт 0 = 0) пренебречь ненадолго градиентом капиллярного давления, то урав­ нение для доли воды в потоке сводится к следующему:

1 +

Если вытеснение нефти происходит при постоянной температуре, то вязкости воды и нефти имеют постоянное значение. В таком слу­ чае решение уравнения (10.12) строго зависит от водонасыщенности, через связь с относительными фазовыми проницаемостями. При ти­ пичной форме кривых относительных фазовых проницаемостей, по­ казанной на рис. 4.8, графическая зависимость для доли воды в по­ токе (уравнение (10.12)) обычно имеет форму, показанную на рис.

10.9.Здесь водонасыщенность изменяется от 8^с до 1-8ог>а доля воды

впотоке возрастает в этом интервале от нуля до единицы. Влияние

Рис. 10*9.Типичная зависимость между долей воды в потоке и водонасыщенностью (уравнение 10 12)

на форму этой кривой отношения вязкостей нефти и воды будет рас­ смотрено в упражнении ЮЛ.

Уравнение для доли флюида в потоке используется для определе­ ния части полного расхода, приходящегося на воду, в любой точке пласта при известной водонасыщенности в этой точке. Для ответа на вопрос, когда именно плоскость с данной водонасыщенностью до­ стигнет определенной точки в линейном пласте, необходимо приме­ нить теорию вытеснения, представленную в следующем разделе.

10.4. ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ БАКЛИ-ЛЕВЕРЕТТА

В 1942 г. Бакли и Леверетт представили, как считается, основное уравнение для описания одномерного несмешивающегося вытесне­ ния7. Это уравнение определяет скорость перемещения плоскости с постоянной водонасыщенностью в линейном пласте при вытеснении нефти водой. При равномерном распределении насыщенности закон сохранения массы воды, протекающей через элементарный объем Асрс1х, можно записать так:

Подстановка (10.16) и (10.17) в (10.15) дает

(10.18)

Э5

Поскольку при участии в процессе вытеснения несжимаемых флюи­ дов = сопз! и, следовательно, = ^1ГV, уравнение (10.18) можно за­ писать в следующем виде:

Это уравнение Бакли-Леверетта, согласно которому при посто­ янном расходе закачки ^ скорость перемещения плоскости с постоянной водонасыщенностью прямо пропорциональна произво­ дной функции, выражаемой уравнением для доли воды в потоке, при такой водонасыщенности. Если пренебречь членом уравнения (10.9), характеризующим градиент капиллярного давления, то доля воды в потоке строго зависит от водонасыщенности, независимо от нали­ чия или отсутствия члена, характеризующего силу тяжести. Поэтому в уравнении Бакли-Леверетта используется полный дифференциал функции Интегрирование в пределах от нуля до суммарной про­ должительности закачки дает

где \У. - накопленная закачка. В качестве начального условия прини­ мается, что = 0 при 1 = 0. Поэтому в данный момент времени после начала закачки (\У. = сопз!) можно найти положение различных пло­ скостей с постоянной водонасыщенностью с использованием уравне­ ния (10.20), просто определяя наклон кривой доли воды в потоке для каждого значения насыщенности.

Применение этого метода связано с трудностью математическо­ го характера, которую можно оценить при рассмотрении типичной

Рис. 10.11. Производная по насыщенности типичной кривой доли воды в

потоке (а) и соответствующее распределение водонасыщенности вдоль

линии вытеснения (Ь)

кривой доли воды в потоке (рис. 10.9) совместно с уравнением (10.20). Поскольку у этой кривой часто бывает перегиб, графическая зависи­ мость между сИ^ / <18^ и 8^ должна иметь максимум, как показано на рис. 10.11 (а).

Поэтому график распределения насыщенности в данный момент времени, построенный по уравнению (10.20), будет иметь такую фор­ му, как показано на рис. 10.11 (Ь) сплошной линией. Выпуклый про­ филь насыщенности физически невозможен, поскольку он указыва­ ет на наличие нескольких значений насыщенности одновременно в одной и той же точке пласта. Фактически же происходит следующее. Точки промежуточных значений водонасыщенности, показанные на рис. 10.11 (а), перемещаются с максимальной скоростью и стремятся изначально обойти точки более низкой насыщенности. В результате образуется скачок, или разрыв насыщенности. Из-за этого разрыва математический подход Бакли-Леверетта, предполагающий нераз­ рывность и дифференцируемость 8^ не может быть использован для описания картины на самом фронте. Однако за фронтом, в интерва­ ле значений насыщенности

где 5^ - насыщенность на фронте, можно применять уравнения (10.19) и (10.20) для определения скорости перемещения и положе­ ния плоскостей с постоянной насыщенностью. Как отмечалось в предыдущем разделе, в этом диапазоне значений насыщенности гра­ диент капиллярного давления обычно пренебрежимо мал. Поэтому уравнение для доли воды в потоке, используемое при записи уравне­ ний (10.19) и (10.20), сводится к простому выражению (10.12)

1

1 +

для горизонтального пласта, или к виду

( 10.21)

для наклонного пласта. Чтобы корректно построить профиль водонасыщенности по методу Бакли-Леверетта, нужно провести верти­ кальную штриховую линию, показанную на рис. 10.11 (Ь), таким об­ разом, чтобы площади заштрихованных областей А и В были равны. В таком случае штриховая линия характеризует скачок насыщенно­ сти на фронте вытеснения.

Более изящный метод, дающий такой же результат, был пред­ ставлен Уэлджем (\Уе1§е) в 1952 г.8 Он предусматривает интегри­ рование функции распределения насыщенности по длине в пре­ делах от на гнетательной скважины до фронта. Таким образом определяется средняя насыщенность за фронтом 5^ (см. рис. 10.12).

Здесь рассматривается положение, соответствующее фиксирован­ ному моменту времени до прорыва воды в добывающую скважину, когда накопленная закачка равна \У. К этому моменту точка, соответ­ ствующая максимальной водонасыщенности 8^ = 1 - $ог, перемещает­ ся на расстояние х1? причем скорость перемещения пропорциональна наклону кривой доли воды в потоке в этой точке. Как видно на рис. 10.9 и 10.11 (а), этот параметр мал, но имеет конечное значение. Насы­ щенность на фронте 5^ соответствует точке х2, расстояние до которой