526 |
АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ |
[ГЛ. ХН |
измерительное звено |
выдавало |
в дискретные равностоящие |
моменты |
времени разность в значениях |
входной и выходной величин. |
|
|
В качестве примера дискретной системы первой группы рассмот |
рим |
систему автоматического сопровождения по дальности |
импульс |
ной |
радиолокационной |
станции |
(рис. 12.4). Данные о дальности до |
цели поступают на вход системы в виде дискретного значения вре мени запаздывания отраженных импульсов относительно излученных.
Чувствительным элементом является дискриминатор. На вход его
поступают отраженные импульсы и |
полустробы сопровождения. |
В дискриминаторе сравниваются между |
собой площади перекрытия |
Рис. 12.4.
отраженного импульса первым полустробом и вторым и выдается сигнал ошибки, пропорциональный их разности. После дискримина тора включена запоминающая цепочка, которая фиксирует каждый уровень сигнала ошибки до прихода следующего. Перед приходом импульса предыдущий уровень снимается.
Ступенчатый сигнал ошибки подается на интегрирующий контур и затем на исполнительный элемент. В качестве последнего исполь
зуется мотор с фазовращателем. |
При |
вращении мотора изменяется |
фаза |
синусоидального напряжения |
на |
выходе фазовращателя. |
Нуле |
вой |
фазе этого синусоидального |
напряжения соответствует |
появле |
ние полустробов сопровождения. В результате полустробы сопрово ждения всегда следят за «центром тяжести» отраженного импульса.
В качестве примера дискретной системы третьей группы рассмот рим систему с обратной связью, содержащую цифровую вычисли тельную машину (рис. 12.5).
Система состоит из следующих основных элементов: 1) чувстви тельного элемента, выдающего сигнал ошибки; 2) элемента, преоб разующего непрерывный сигнал ошибки в последовательность импульсов и кодирующего эти импульсы, скажем, по двоичной си стеме; 3) цифровой вычислительной машины, преобразующей одну последовательность дискретных данных в другую; 4) декодирующего элемента, преобразующего дискретные данные на выходе цифровой
2] |
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ |
527 |
машины в управляющее воздействие; 5) управляемого объекта, пред ставляющего собой обычно систему непрерывного действия.
По сравнению с непрерывными системами автоматического упра вления при анализе дискретных систем возникают три новые задачи1):
1)анализ процесса преобразования непрерывных данных в циф ровую форму;
2)анализ процесса преобразования цифровых данных в цифро
вой |
вычислительной |
машине; |
|
3) анализ обратного процесса преобразования цифровых данных |
на |
выходе цифровой |
машины в непрерывную форму. |
|
|
Рис. |
12.5. |
|
|
Преобразование непрерывных |
данных в цифровую форму (и об |
ратно) можно представить себе состоящим из двух |
этапов: |
1) преобразование непрерывной функции в последовательность |
дискретных |
значений |
этой функции, |
взятых |
в |
моменты времени |
t = пТ\ |
|
|
|
|
|
|
2) кодирование этих дискретных значений. |
|
|
Первый этап имеет |
существенное |
влияние на динамику системы. |
Второй этап |
вводит в основном лишь |
ошибки, |
обусловленные про |
цессом кодирования, которые обычно незначительны и поэтому могут не рассматриваться.
Если иметь это в виду, то цифровой вычислительной машине с входным и выходным преобразующими элементами может быть приведена в соответствие эквивалентная схема, показанная на рис. 12.6.
Можно считать, что в эквивалентной схеме сигнал ошибки е (t) модулирует последовательность единичных импульсов, имеющих ча стоту повторения 1/Т.
б результате между площадью каждого из импульсов на выходе модулятора в эквивалентной схеме (дискретного элемента) и цифровым
1) З а л ь ц е р Д. М., Частотный анализ цифровых вычислительных ма шин, работающих в реальном времени, в сборнике «Частотные методы в ав томатике», ИЛ, 1957.
528 |
АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ |
[ГЛ. XII |
кодом каждого значения входного сигнала, в действительности поступающего на цифровую машину, имеется однозначное соответ ствие. Эквивалентный цифровой фильтр преобразует последователь ность импульсов точно так же, как цифровая машина преобразует коды поступающих на ее вход чисел. Отсюда следует, что площади импульсов на выходе эквивалентного цифрового фильтра находятся в однозначном соответствии с кодом чисел на выходе цифровой машины.
Рис. 12.6.
Итак, если ввести следующие ограничивающие предположения:
1)частота следования импульсов или период чередования импуль сов Т сохраняются постоянными;
2)запаздыванием, создаваемым процессом кодирования и вычис ления, можно пренебречь;
3)цифровая вычислительная машина выполняет линейные опе
рации; 4) цифровая вычислительная машина работает в реальном времени,
т. е. может использовать настоящую и прошедшую (но не будущую) информацию, то при анализе систем автоматического управления с цифровыми машинами можно пользоваться теорией дискретных систем с амплитудно-импульсной модуляцией первого рода.
3. Временное и частотное представление дискретных сигналов
Рассмотрим частотные спектры сигналов на выходе различных дискретных элементов.
Известно, что любую непрерывную функцию времени g (t) можно записать с помощью дельта-функции в виде интеграла
СО |
|
ff(0 = / g (t)8 (f — т) dx. |
( 12. 1) |
3] ВРЕМЕННОЕ И ЧАСТОТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ 529
|
Если функция g (t) почти не |
изменяется |
в пределах |
интервала |
Дт = 7\ то |
интеграл можно |
заменить суммой |
|
|
|
|
g |
(t) = |
Дт |
g |
(i Дт) b (t — i Дг). |
|
|
|
|
|
/ = —СО |
|
|
|
|
|
Уже в этой записи функция задается рядом своих дискретных |
значений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если мы имеем дискретную функцию,, которая равна нулю везде, |
кроме дискретных значений при t — iT , |
получаемых из соответствую |
щей непрерывной функции gif), то аналитически ее следует |
записать |
в виде |
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
gr{f) = |
(IT) Ъit - |
iT) = Tg it) uT it), |
(12.2) |
|
|
T 2 |
g |
|
|
|
i= —со |
|
|
|
|
|
где |
aT i t ) = |
2 s (t — IT). |
|
|
|
|
|
|
В этой |
I = —CO |
функция |
git) |
уже |
может |
существенно |
меняться |
|
записи |
за |
интервал |
времени |
Т. |
При |
малом Т |
сумму (12.2) можно |
заменить |
интегралом и получить непрерывную функцию в форме (12.1). Заме тим, что форма записи функции в виде (12.1) и (12.2) характерна для теории обобщенных функцийг).
Взяв преобразование Фурье от обеих частей равенства (12.2), получим:
ОО
|
|
GTС/’ш) = Т |
2 |
g inT) e-iwnT. |
|
(12.3) |
|
|
|
|
|
Д а - СО |
|
|
|
Найдем |
другое выражение |
для |
спектра. Обозначая через О(уш) |
преобразование |
Фурье |
от функции git), |
имеем: |
|
|
|
со |
' |
00 |
|
|
|
|
|
Ог (уш) = ~ |
^ |
е-]апт f |
g ijw') ei<°'nT du> = |
|
|
|
п = —СО |
—ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
( |
с о |
\ |
|
|
|
= |
f |
Q U W ) \ Т 2 |
е>пТ^ ' - ^ |
Ida)'. |
(12.30 |
|
|
|
—со |
|
1 |
л = —со |
J |
|
Рассмотрим ряд в фигурных скобках |
|
|
|
|
ОО |
|
|
( |
ОО |
|
\ |
|
^ |
7 ^ |
е/пГ(«'-ш)= |
Z lj |
—j— |
cos tiT (u)7 — ш) \ . |
|
|
п = —со |
|
|
I |
Л = 1 |
J |
|
1) См. Г а л ь п е р и н |
И., |
Введение в теорию обобщенных функций (на |
основе лекций Шварца), |
ИЛ, |
1954. |
|
|
|
|
34 Зак. 1083. В. В. Солодовников
5 3 0 |
АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ |
[ г л . XII |
Этот ряд может быть просуммирован способом средних квадра тичных !).
В результате
СО
у - j -^ cos пТ ( с о ' — с о ) = 0
п =1
ДЛЯ
с о ' — соф - у II.
Для значений со' — со = -^-/г сумма стремится к бесконечности.
Поэтому символически можем записать, что значения этой суммы для со' — со — '^ - п равны дельта-функции.
Таким образом,
со |
со |
у -f- V cos пГ (со' — со) = у |
^ 5 ^со' — со— nj. (12.4) |
1 |
п = —СО |
Подставляя это выражение в (12.3'), имеем:
(12.5)
п = —оо
Иначе выражение (12.5) можно получить следующим образом. Функция uT{t) является периодической с периодом Т = 2тг/со0.
Разлагая ее в ряд Фурье, получим:
СО
uT(t) — y ^
п= — СО
Всилу этого выражения и равенства (12.2) для дискретного сигнала можно написать:
СО
g T{t) = Tg(jt)uj(f) = g{t) 2 еУлш°'-
п = —со
Беря преобразование Фурье от обеих частей этого равенства и используя теорему смещения в области комплексного переменного, получим следующее выражение для преобразования Фурье дискретной
i) См., например,*Толстов Г. П., Ряды Фурье, Гостехиздат, М.—Л.,
3] ВРЕМЕННОЕ И |
ЧАСТОТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ 531 |
функции |
g j . i t ) 1): |
|
|
|
|
СО |
|
|
Ог (уш) = ^ |
G (у'ш — J -у- п) • |
|
|
п = —со |
Итак, |
спектр |
дискретного |
сигнала (12.2) получается суммирова |
нием смещенных спектров непрерывной функции (рис. 12.7). Из этого выражения для спектра следует:
1. Если Т так мало, что 2тг/Г больше максимальной существенной частоты спектра О(у'со), то смещенные спектры не перекрываются.
При очень малом Т первый смещенный спектр О^ уш— |
Рас' |
положен достаточно далеко и им можно пренебречь, т. |
е. считать |
сигнал непрерывным. |
|
2. |
Наоборот, если Т так велико, что смещенные |
спектры сущ |
|
|
|
|
|
|
ственно |
перекрываются, то специфические особенности непрерывного |
спектра |
не проявляются и спектр дискретного сигнала близок к по |
стоянному |
значению типа «белый» шум (рис. 12.8). |
|
|
Пусть |
мы имеем функцию £•(£). |
Ее преобразование |
Фурье |
бу |
дет О(уш) |
(рис. 12.9). Если теперь |
вместо g(t) взять |
сумму |
трех |
Строго говоря, данное выражение справедливо при g (0) = 0.
3] ВРЕМЕННОЕ И ЧАСТОТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ 5 3 3
смешенных функций'g 3(0 — g (t — Т ) - \ - g ( t ) g (t -\-Т), то ее спектр
будет G3(уш) = 2G (у'ш) | + cos шТ | .
Если довести число смещенных сигналов до пяти, то получим:
G5(.До) = 20 (уш) | y - f - cos + cos 2ш7’| .
При бесконечном увеличении числа смещенных сигналов мы по лучим периодический сигнал. Спектр такого сигнала будет:
Gm (у'ш) = |
f |
m |
■) |
2G (уш) | ^ |
|
cos tmT j . |
Сумму в фигурных скобках можно заменить функцией |
«2г_(ш) — у ^ 8 (ш — -у" я) • |
7* |
П = — СО |
|
|
В результате получим: |
|
|
|
|
|
с о |
|
0«,(Усо) = -у-0(Уа>) |
|
( 12.6) |
|
п |
= — СО |
|
Выражение (12.6) является аналитически точной записью дискрет ного спектра, аналогичной записи дискретного сигнала в виде( 12.2).
Рассмотрим случай импульсной модуляции первого типа. Анали тически сигнал может быть записан в виде
СО
|
g T( t ) = |
2 |
g (iT )n (t — iT), |
(12.7) |
|
|
l = — СО |
|
|
|
|
где |
n(t) — эталонный импульс. Чаще всего он |
бывает прямоугольной |
формы. |
Фурье |
от обеих |
частей равенства |
(12.7) |
|
Возьмем преобразование |
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
Ог(Уш) = Af(y'w) |
^ |
|
g (niT) e~imTw — |
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
= ±rN<Ju) |
2 |
— |
|
(12.8) |
|
CO |
|
m |
- |
— с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
.V (у'ш) —. J п(()е~/ш/ dt — спектр эталонного импульса. |
|
5 3 4 |
АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ |
[ГЛ. XII |
Для случая симметричного прямоугольного импульса
2 sin •<S>T
N (у'ш) = ■
Из формулы (12.8) следует, что спектр при импульсной модуляции первого рода с запоминанием состоит из суммы смещенных спектров непрерывной функции, промодулированных спектром эталонного им пульса.
Перейдем к импульсной модуляции второго рода. Аналитически выражение для сигнала запишется в виде
|
|
g T( о |
= g ( о |
2 n |
а - i t ) = g (t) gl ( t) . |
|
(12.9) |
|
|
|
|
i=—со |
|
|
|
|
Найдем преобразование |
Фурье Ог(уш) для функции g T(t). |
Обо |
значая через О(у'ш) |
и Gt (у'ш) преобразования |
Фурье |
соответственно |
для g(t) |
и g t (0, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
О г(у'ш )=:^- |
J G (уш |
Усо') G, (у’ш') du>' = |
|
|
|
|
— ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 3 |
|
|
f |
СО |
|
\ |
|
= |
■^7 |
I* G (у’ш — у'ш')< ~y |
W ( i « i ) s ( » '- y m ) |
= |
|
- о о |
|
|
[ |
т = - с о |
|
J |
|
|
|
ОО |
00 |
|
|
|
|
|
|
= |
Т |
S |
f G(yu) — yV) N (yV) 8 ( и /— ^ |
|
|
|
/72 = — 0 0 — 0 0 |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
GT(j ш) = У |
2 |
А 7(-^/и )о (уш — |
(12. 10) |
|
|
|
|
m = — со |
|
|
|
|
Итак, спектр дискретного сигнала в случае импульсной модуляции |
второго |
рода |
состоит |
из |
суммы |
смещенных |
спектров |
непрерывного |
сигнала на его входе, причем амплитуда каждого смещенного спектра умножается на соответствующее дискретное значение спектра эталон ного импульса.
Аналитически дискретная функция может быть записана как
gT(t) = Tg{t)ur {t), |
( 12. 11) |
где
СО
И г ( 0 = 2 . 8 ( * — кТ). fe = 0
3] ВРЕМЕННОЕ И ЧАСТОТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ' СИГНАЛОВ 535-
причем преобразование Лапласа для |
uT(t) |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 -- < |
|
|
|
|
Используя теорему умножения, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C+Jao |
|
G(l) |
|
|
|
|
|
Ц е тщ = о тЮ = - |
/ |
— |
dk. |
(12л 2) |
|
|
|
- ( 4 — А ) Т |
|
|
|
|
|
|
|
C —JCO |
|
|
|
|
|
Прямая, |
|
вдоль |
которой производится интегрирование в фор- |
муле (12.12), |
должна лежать |
|
|
|
|
|
правее полюсов функции G(X) |
|
|
|
|
|
и левее полюсов выражения |
|
|
|
|
|
1/1— е~t-s~x)T. |
Равенство |
|
|
|
|
|
справедливо |
для |
R e s > a , |
|
|
|
|
|
где a—абсцисса |
абсолютной |
|
|
|
|
|
сходимости |
G(k). Вычислим |
|
|
|
|
|
интеграл (12.12) с помощью |
|
|
|
|
|
вычетов |
|
подынтегральной |
|
|
|
|
|
функции. Для этого вначале |
|
|
|
|
|
возьмем |
замкнутый |
контур |
|
|
|
|
|
интегрирования, |
состоящий |
|
|
|
|
|
из |
прямой |
(с — /ш, |
с -f- усо) |
|
|
|
|
|
и |
окружности |
бесконечно |
|
|
|
|
|
го |
радиуса, |
|
расположенной |
|
|
|
|
|
справа |
от |
|
этой |
прямой |
|
|
|
|
|
(рис. 12.10, |
а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычеты в полюсах подын |
|
|
|
|
|
тегральной |
функции |
|
|
|
|
|
,. 2к
п = :0, ± 1. ± 2 ,
равны
Таким образом,
C-r(e‘T)= 2 0 U - fir).
(12.13)
Это выражение аналогично формуле (12.5) для спектра дискрет ного сигнала.
Для того чтобы получить другое выражение для GT(esT), со держащее полюсы функции G(s), выберем в качестве контура
