Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 5960 / 6660 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

5 9 6 СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. XIII

К э т о й с и с т е м е у р а в н е н и й с л е д у е т д о б а в и т ь г + 1 л и н е й н ы х а л г е

б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й (1 3 .5 0 ),		н а к л а д ы в а ю щ и х о г р а н и ч е н и я на м о
м е н ты :
N
=	=	гд е * = 0, 1. 2 ........... Г.
i =0
У ч и т ы в а я (1 3 .3 8 ) и т о , ч т о с р е д н е е зн а ч е н и е т {1 Т ) р а вн о н у л ю ,
п о л у ч и м :	оо
	оо
Т	2 R m( l T - i T ) * ( t T ) = R hm(IT ).
	/= — со

П о э т о м у у р а в н е н и я (1 3 .5 0 ) и (1 3 .5 2 ) о к о н ч а т е л ь н о м о ж н о п е р е п и с а т ь в с л е д у ю щ е м ви д е:

Т 2	Я , {IT - iT ) k (iT ) =		Rhm (IT ) +		To + T . m		+ . . . +
	N			+ Т Г (/ 7 У .			0 < / < / V , '		(1 3 .5 3 )
	N						r.
	T y i k ( lT )(iT )m = dm,				m = 0	, 1	r.	■	(1 3 .5 4 )
	(=0
С и с т е м а у р а в н е н и й (1 3 .5 3 ) и (1 3 .5 4 ) с о д е р ж и т N -\-r-\-2 л и н е й
н ы х	а л г е б р а и ч е с к и х	у р а в н е н и й		с	А / - { - г +	2	н е и з в е с т н ы м и : k(0),
k (T )	........... k (N T )\ То.	T i	...............Тг-	®	р е з у л ь т а т е		р е ш е н и я	э т о й	за д ачи

п о л у ч а е т с я /V — 1 зн а ч е н и е и м п у л ь с н о й п е р е х о д н о й ф у н к ц и и , к о т о р а я вне и н те р в а л а в р е м е н и [0 , N T ] р а вн а н у л ю . Д л я д и с к р е т н ы х

с и с те м в о т л и ч и е о т н е п р е р ы в н ы х с и с т е м р е а л и за ц и я т а к о й и м п у л ь с

н о й ф у н к ц и и не п р е д с т а в л я е т п р и н ц и п и а л ь н ы х т р у д н о с т е й . Э т о

о б ъ я с н я е т с я те м , ч т о в с л у ч а е д и с к р е т н ы х с и с т е м п е р е х о д н ы й п р о

ц е с с м о ж е т п о л н о с т ь ю з а к о н ч и т ь с я за к о н е ч н о е в р е м я , м е ж д у тем

к а к в с л у ч а е н е п р е р ы в н ы х с и с т е м в р е м я п е р е х о д н о г о п р о ц е с с а т е о р е т и ч е с к и б е с к о н е ч н о (в ы р а ж е н и е д л я и м п у л ь с н о й ф у н к ц и и с о д е р ж и т

э к с п о н е н ц и а л ь н ы е ч л е н ы ).
П р и м е н и м д л я	р е ш е н и я	л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й
(1 3 .5 3 ) и (1 3 .5 4 )	п р и е м ы ,	а н а л о г и ч н ы е те м , к о т о р ы е п р и м е н я л и с ь

пр и р е ш е н и и и н т е г р а л ь н о г о у р а в н е н и я в с л у ч а е н е п р е р ы в н ы х с и с те м

(с м . гл . V I I I ) .

П р е д п о л о ж и м , ч т о с п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь

s ; м = s - , м + з » = | чг м

п р е д с т а в л я е т с о б о й д р о б н о - р а ц и о н а л ь н у ю ф у н к ц и ю о т z (с м . (1 2 .8 5 )

s ; o o =

_ a kz k - \ - a k -.-lz k - ' - - \ - . . . + а 1г + До + д 1г - > + . . . + а к - \ г ~ к +1 +

— bmzm + bmxz m~^ + . . . + b lg + bo + Л*?-' + ■.. + + b„,z-m ’

(13.55)

гд е z = eN r ,

101			РЕШЕНИЕ	ЗАДАЧИ		СИНТЕЗА			597
П у с т ь ф у н к ц и я
	т * /		' E ( z )	е0 -f- e xz - f			. . .	-j- е ^ гк	(1 3 .5 6 )
	^	;	С (г)	с0 +	с1г +		. . .	+ c mzm

не с о д е р ж и т н у л е й и п о л ю с о в вн е е д и н и ч н о г о к р у г а .
П р е д п о л о ж и м ,		к р о м е т о г о ,		ч т о р а с с м а т р и в а е м а я д и с к р е т н а я с и
стем а с	п е р е д а то ч н о й		ф у н к ц и е й		Ф * ( г )		и	и м п у л ь с н о й	п е р е х о д н о й
ф у н к ц и е й	k {IT),	у д о в л е т в о р я ю щ е й				у р а в н е н и я м (1 3 .5 3 )			и (13.-54),

м о ж е т б ы т ь п р е д с та в л е н а в ви д е п о с л е д о в а т е л ь н о г о со е д и н е н и я д в у х


д и н а м и ч е с к и х	д и с к р е т н ы х	с и с те м	/V, и Л/2		с	п е р е д а т о ч н ы м и ф у н к
ц и ям и W *{z )	и W * (г), р - зд е л е н н ы х			к л ю ч о м ,	т .	е. п р е д п о л о ж и м ,	ч т о
	Ф * (г ) =		(z) W \ (z).			(1 3 .5 7 )
В ы б е р е м	п е р е д а т о ч н у ю	ф у н к ц и ю		117*{г )	с и с т е м ы Л/,, р а вн о й		з н а
м е н а те л ю С (г) ф у н к ц и и Ч Г *(2), т . е.
		W*(g) =		C ( z) .		(1 3 .5 8 )

С и г н а л на вх о д е с и с т е м ы Д/2 м о ж е т б ы т ь п р е д с та в л е н в ви д е с у м м ы н е ко то р о го - м н о го ч л е н а о т IT т о й ж е с те п е н и г , ч т о и с и гн а л

на в х о д е с и с т е м ы		N v и с та ц и о н а р н о й с л у ч а й н о й с о с т а в л я ю щ е й
т ,'{1 Т )- \ - п '{IT )	с о	с п е к т р а л ь н о й		п л о т н о с т ь ю
		s ; * (2 ) = \|		(2 ) \|2		( 2)			(1 3 .5 9 )
или
			s ; * ( 2 ) = / y 2).						(1 3 .6 0 )
В ы р а ж е н и е A a {z) м о ж е т			б ы т ь	п р е д с т а в л е н о в виде
A v {z) = akz!l-\-ak_ lzk 1+			. . . +	a tz +	а 0 +		a i2
				-\|- ak_ 1z~k+1 -j- akz~k.					(1 3 .6 1 )
В с и л у э т о г о	к о р р е л я ц и о н н а я			ф у н к ц и я		п р о ц е с с а		т ' {ГГ)	-(- п’ {IT )
б у д е т и м е ть ви д
% { l T ) = R'm{ l T ) + R n’ {lT ) =
— а^>0{1Т)-\- а х {50 ( 7 Г —				Т) +	80 {IT -\|- 7")} —			. . . —f-
		+	ak [ \ { l T —		kT ) +		\ { l T +	kT)\,	(1 3 .6 2 )

гд е ф у н к ц и я \ {1 Т ) — ед и н и чн а я ф у н к ц и я К р о н е к к е р а , о п р е д е л яе м а я с о о т н о ш е н и я м и

	1	пр и	/ =	0,
Ъ0{1Т) =		п р и	I Ф	0 .	(1 3 .6 3 )
	о	п р и	I Ф	0 .
В в о д я в р а с с м о тр е н и е ф у н к ц и и
XX * / {ГГ) — f {IT — vT)	/ {IT +	v 7 ),	(v	> 0 ),	XX of {IT) = / {IT),

5 9 8

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

[ гл .

XIII

м о ж н о к о р р е л я ц и о н н у ю

ф у н к ц и ю

п р е д с та в и т ь

в виде

%f m

R'm v T ) + x ' a m =

а 080 (IT ) -(- a , xS <3)80 (IT ) + . . .

ак ф

(3*>80 {IT ).

(1 3 .6 4 )

О б о з н а ч и м ч е р е з И * (г ) и д е а л ь н у ю п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю д л я

с и с т е м ы N 0, т . е.

п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю , о б е с п е ч и в а ю щ у ю р а в е н с т в о

н у л ю о ш и б к и е2 д л я в с е й с и с т е м ы .

Т а к к а к п е р е д а то ч н а я ф у н к ц и я

W *(z ) д л я

с и с т е м ы

N t

в ы б р а н а

р а вн о й С (г),

а и д е а л ь н а я п е р е д а т о ч

ная ф у н к ц и я

всей

с и с т е м ы

р а вн а

И* (г),

то

(1 3 -65)

и, с л е д о в а т е л ь н о ,

и д е а л ь н а я

и м п у л ь с н а я

п е р е х о д н а я

ф у н к ц и я v-zilT)

с и с т е м ы

No б у д е т

р авн а

I г |=1

(1 3 .6 6 )

Д л я т о г о ч т о б ы с и с те м а N 2 о б е с п е ч и в а л а м и н и м ум с р е д н е к в а д р а

т и ч е с к о й о ш и б к и в о с п р о и з в е д е н и я ,

ее и м п у л ь с н а я п е р е х о д н а я ф у н к

ц и я

w 2(lT )

д о л ж н а

с о г л а с н о

(1 3 .5 3 )

у д о в л е т в о р я т ь

с л е д у ю щ е й

с и

с те м е а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й :

т2[R'm (IT -

IT ) + Rn (IT -

IT )] w 2 (IT )

/«0

•••+Yrm

(13.67)

2 R'm {it - it ) x2a n

i a

—со

В е р х н и й п р е д е л п е р во й с у м м ы в ф о р м у л е (1 3 .6 7 ) р а в е н б е с к о

н е ч н о с т и

о т л и ч и е

о т

(1 3 .5 7 ),

гд е

он

р а вен N .

Э т о

в ы з в а н о

те м ,

ч т о

ф у н к ц и я

w 2(lT )

м о ж е т

не

о б р а щ а т ь с я

в н у л ь

при

I >

N ,

есл и

д а ж е

к ф у н к ц и и

k (lT )

и п р е д ъ я в л е н о

т а к о е

т р е б о в а н и е .

П у с т ь

w 2 (IT ) —

и (ГГ),

0 < / < Л 7 ,

(1 3 .6 8 )

w 2 (IT ) =

v (IT),

l < с о .

Т о г д а о ч е в и д н о ,

ч т о

k ( l r ) = ^ j

§ W \ ( z ) W l ( z ) z ^ d z =

l*i=i

( 2)

« ( г7’) 2 _ /

)z l ~ldz,

(1 3 .6 9 )

° =

2Ь

(2){

‘ \ г ‘- Ч г ,

г 1=1

. i - N

101

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

СИНТЕЗА

599

т а к к а к п р е д п о л а г а е т с я ,

ч т о

k (ГГ) = 0 д л я

N < I < о о .

С о о т н о ш е н и я

(1 3 .6 9 )

п о к а з ы в а ю т ,

ч т о

ф у н к ц и я /г (IT )

п о л н о с т ь ю

о п р е д е л я е т с я

зн а че н и ям и

ф у н к ц и и

w 2(lT )

в и н те р в а л е

0 ^ / ^ 7 \

П о э т о м у

вид ф у н к ц и и

w 2 (IT )

вн е п р е д е л о в

э т о г о и н т е р в а л а

не в л и я е т

на ф у н к ц и ю

k (IT).

п о м о щ ь ю

(1 3 .6 8 )

у р а в н е н и я

(1 3 .6 7 )

м о ж н о

за п и с а ть

виде

[я» (IT —

iT ) +

(IT -

/Г)] и (IT ) =

т2

R 'n

/в О

= li +

^ ( /7,) +

•••

+ т ; ( Л У +

7’

R'n ( lT - i T ) - , 2(iT).

(13.70)

i = —со

С о г л а с н о (1 3 .6 4 ) с у м м у в л е в о й ч а с т и у р а в н е н и я (1 3 .7 0 ) м о ж н о

п е р е п и с а т ь

виде

Т 2

[Rim(IT

iT ) +

R'a (IT -

iT )] a (iT )

/ =0

Г 2

{«0 & 4

— гТ) +

fli ** 280

— гТ) +

1=0

<3ft) S0 ( T —

. . . +

au ф

) } и (iT ).

У ч и т ы в а я , что

2 « ( ^ ) ^ ( 2v)50(/r —

I T ) =

<*-> а (/ Г ),

(1 3 .7 1 )

п о л у ч и м :

1=0

IT ) +

iT)] и (iT ) =

T 2

(IT

R'n (IT -

/ =0

. . . + a k t z W } u ( l T ) .

= { в 0 + Й ( % 1+

(1 3 .7 2 )

Р а с с м о т р и м те п е р ь с у м м у в п р а в о й ч а с т и у р а в н е н и я (1 3 .7 0 ):

оо

Т 2

К п (lT -

i T ) *2 ( t f )

= 2^- Г

S 'n W

/= —оо

i = - со

1 |г | = 1

2 ^ ’

S 'm*

( * ) ^

( г ) г 1- 'й г .

(1 3 .7 3 )

1^ i=i

Н о с о г л а с н о (1 3 .5 8 ) и (1 3 .5 9 )

$ £ ( * ) = | C ( * ) | * s ; ( * ) ,

6 0 0	СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ	УПРАВЛЕНИЯ	[ГЛ. XIII
П о д с т а в л я я	э т о в ы р а ж е н и е в (1 3 .7 3 )	и у ч и т ы в а я	(1 3 .6 5 ), найдем :

Т 2

R'm( l T - i T ) * , ( i T ) =

±-j

H * ( z ) C ( z ^ ) S l l (z )z ‘^ d z .

i =

- О О

г | = 1

(1 3 .7 4 )

П р и н и м а я во вн и м ан и е (1 3 .7 2 ) и (1 3 .7 4 ), у р а в н е н и я (1 3 .7 0 ) м о ж н о

п р е д с т а в и т ь

в с л е д у ю щ е м

виде:

а к $

<2'>

Ц(/г ) =

т ; - и ; ( / г ) +

• •• +

т ; <

л у +

i =о

H * ( 2 )C (z - ')S * m(z )z ‘- 'd z .

(1 3 .7 5 )

I г 1=1

О б щ е е р е ш е н и е э т о г о р а з н о с т н о г о у р а в н е н и я и м ее т в и д 1)

и (IT ) = Л ' -|- Л ' (IT )

. . .

A'r (IT у

-\~

- )- • • • +

B',kd[k +

^ rj

^ y

f ( z ) C ( z ^ ) z l- l dz,

0 < 1 < N .

(1 3 .7 6 )

l*T = i

и (IT ) = 0

п р и

/ >

N .

З д е с ь Л ',

А [ ............Л ',

В [,

. . . .

— п о к а

н е и з в е с т н ы е п о с т о я н

н ы е вр е м е н и

(ч и с л о к о т о р ы х

р а в н о г —j— 2/г —{— 1), a d x, d2........... d2k —

к о р н и у р а в н е н и я

A^(z) =

akzk

a i2 +

a o +

f li 2 - 1 ' +

■■■-\-akz~k =

Ф у н к ц и я

k (lT )

п о л у ч а е т с я

и з и (IT )

п о м о щ ь ю

о п е р а т о р а

C (S V) =

v = 0

в с о о т в е т с т в и и с ф о р м у л о й

k (IT ) =

С ( £ v) и (IT),

где

Д 7 ( / Г ) = / ( / 7 — уТ).

г) Г е л ь ф о н д А. О., Исчисление конечных разностей, Гостехиздат,

1952.

101

Ре ш е н и е з а д а ч и

с и н т е з а

601

И м е я

э т о

в в и д у , и з (1 3 .7 6 )

най д ем :

k (IT ) =

А 0+

А , (IT ) -f- . . .

А Г (1Т)Г

. . . +

+ S 2ftrfL +

2^ C ( A 4)

^ H

* ( z ) C

( z ~ ' ) z ^ d z

I г i =i

С180(/7’) +

. ..

+ C m_,iAmft- 180(/7’) - f £>130(/7'-N 7') +

+ D m_ l b!n~k~180 (IT —

N T ),

0 < / < Л / ,

(1 3 .7 7 )

k (IT ) =

l >

N ,

где

Д (80 ( я 7 ’) — н и с х о д я щ и е

р а з н о с т и ,

о п р е д е л я е м ы е с о о т н о ш е н и я м и

Д080(я7') =

80(я7'),

&'Ъ0(п Т ) =

Ъ0(пТ -\-Т) —

Ь0(пТ ),

Д 180 (пТ ) = Д ' " 180 (пТ -1- Т) —

Д '- 180 (пТ).

Н е т р у д н о у б е д и т ь с я в с п р а в е д л и в о с т и с о о т н о ш е н и я

Д*80(я 7') = 2 !

(— l)fe"v ( * ) В0 (/гГ Н- vr).

v =■О

О т с ю д а м о ж н о п о л у ч и т ь с л е д у ю щ и е зн а ч е н и я д л я к*Ь0(п Т у

Д °8 0 ( я 7 )

я = 0,

я =£ 0,

1 ,

/ =

—

1 .

Д'80(я7’) =

— 1.

/ =

0 п р и д р у г и х I,

1 ,

/ =

—

2 ,

— 2,

/ =

—

I =

пр и

д р у г и х I

и т . д.

У к а з а н н ы е ф у н к ц и и я в л я ю т с я а н а л о га м и п р о и зв о д н ы х

о б ы ч н о й

д е л ь т а - ф у н к ц и и и с в я з а н ы с ни м и о ч е в и д н ы м с о о т н о ш е н и е м

оМ (0=

Пт Г-^Т Д',80(яГ)1.

r^oLi

t~nT

602	СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ	[ГЛ	XIII
Ф о р м а за п и си о к о н ч а т е л ь н о г о р е ш е н и я м о ж е т б ы т ь р а зл и ч н о й .			Р е

ш е н и е в ви д е (1 3 .7 7 ) в ы б р а н о по а н а л о ги и с с о о т в е т с т в у ю щ и м р е ш е ни ем д л я н е п р е р ы в н о г о ф и л ь т р а .

Ф у н к ц и и Д '8 0 (/ Г )			в о з н и к а ю т	в	р е з у л ь т а т е		д е й с т в и я			о п е р а
т о р а	С (Д *)	на ф у н к ц и ю	и (IT ) (р а в н у ю		н у л ю п р и	I <	0	и I >	N )	в т о ч к а х
/ = 0	и l =	N .	1У \(1 Т )			т		k —
П о р я д о к		ф у н к ц и й	1У \(1 Т )	не	п р е в ы ш а е т	т	—	k —	1,	т а к к а к

в п р о т и в н о м с л у ч а е на в ы х о д е о п т и м а л ь н о й с и с т е м ы б у д е т д и с к р е т н ы й с и г н а л с о с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю в ви д е д р о б н о - р а ц и о н а л ь н о й

ф у н к ц и и п е р е м е н н о й z — , п р и ч е м с т е п е н ь ч и с л и т е л я б у д е т б о л ь ш е

(и л и р а в н о й ) сте п е н и зн а м е н а те л я (с м . § 10 гл . XII). О ч е в и д н о ,

ч т о т а к о м у д и с к р е т н о м у п р о ц е с с у н е л ь з я п о с т а в и т ь в с о о т в е т с т в и е

р е а л ь н ы й н е п р е р ы в н ы й п р о ц е с с , и б о п о сл е д н и й б у д е т о б л а д а ть

с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю в ви д е д р о б н о - р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и и о т

н о с и т е л ь н о п е р е м е н н о й ш со с т е п е н ь ю п о л и н о м а ч и с л и т е л я , б о л ь ш е й

с те п е н и п о л и н о м а з н а м е н а т е л я , ч т о н е в о з м о ж н о по э н е р г е т и ч е с к и м с о о б

р а ж е н и я м . П о э т о м у т а к и е д и с к р е т н ы е с л у ч а й н ы е с и г н а л ы и з р а с

с м о т р е н и я и с к л ю ч а ю т с я и	р а с с м а т р и в а ю т с я д и с к р е т н ы е п р о ц е с с ы ,
к о т о р ы е п р е д с т а в л я ю т с о б о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь д и с к р е т н ы х з н а ч е

ний н е к о т о р о г о р е а л ь н о г о н е п р е р ы в н о г о		п р о ц е с с а .
О с т а е т с я н ай ти г	2k-\- 1 п о с т о я н н ы х А {, B lt в х о д я щ и х в (1 3 .7 7 )
и о п р е д е л я е м ы х н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и .
П о д с т а в и в k (lT )	и з (1 3 .7 7 ) в (1 3 .5 2 )	и п о т р е б о в а в , ч т о б ы у р а в

н е н и я у д о в л е т в о р я л и с ь т о ж д е с т в е н н о , п о л у ч и м 2k у р а в н е н и й д л я

о п р е д е л е н и я A i и П о д с т а в и в в г —j— 1 у с л о в и е , н а л о ж е н н о е на

м о м е н ты (1 3 .5 3 ), п о л у ч и м е щ е г -j- 1 у р а в н е н и е д л я о п р е д е л е н и я п о с т о я н н ы х

У к а з а н н ы й с п о с о б в ы ч и с л е н и я k (IT ) з н а ч и т е л ь н о п р о щ е , чем п р я м о е р е ш е н и е у р а в н е н и й (1 3 .5 2 ) и (1 3 .5 3 ), о с о б е н н о п р и б о л ь ш о м N .

К р о м е т о г о , он п о з в о л я е т у с т а н о в и т ь с в я з ь п а р а м е т р о в о п т и м а л ь н о й

д и с к р е т н о й с и с т е м ы с п а р а м е тр а м и н е п р е р ы в н о г о ф и л ь т р а ,				к о т о р ы й
н е о б х о д и м д л я р е а л и за ц и и о п т и м а л ь н о й с и с т е м ы .			Э т о т м е то д п о
з в о л я е т п о л у ч и т ь в яв н о м ви д е в ы р а ж е н и е д л я			о п т и м а л ь н о й п е
р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и .	О ч е в и д н о ,	ч т о с п о м о щ ь ю (1 3 .7 7 )		м о ж н о
п о л у ч и т ь с л е д у ю щ е е	в ы р а ж е н и е	д л я о п т и м а л ьн о й п е р е д а то чн о й
ф у н к ц и и :

Ф * (2 ) = Г	+ . 4 , ( / ? ) +			. . . + A , ( l T Y } z - i +
/ = о
I	TBjZ	,	TB2z .		I	TB 2i;Z
~ ' z	— d 1	'	z — d2	' -	‘	— rf2ft
			___ N't (	B\d\Z	j	Bodoz \|	i B2kd2i;Z\ .
			\ z — dx		^ ~ z — d2^ ~ ' 1 '		~T~z — rfoft

101

РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧИ

СИНТЕЗА

6 0 3

+ C ( z ) T Y z

,2«У

H * (z )C (z ~ l) z d z i —|—

/-0

А , (г)

)

(

|г |-1

+ Г С , + Г С 2 (z - 1) + Г С „ , - Й (2 -

+ z - N T { D l + D i ( z -

1 )

. . -. \ - D m_ k ( z —

l ) " 1 - * - 1 } .

( 1 3 . 7 8

Н е и з в е с т н ы е п о с т о я н н ы е в э т о м в ы р а ж е н и и н а х о д я т с я т а к ж е .

к а к и в

с л у ч а е о п р е д е л е н и я

k {lT ).

П р и

о п р е д е л е н и и

с у м м

ви д а

Е т

(г) =

(iT )mz~

ф о р м у л е

i = 0

(1 3 ,7 8 )

ц е л е с о о б р а з н о и с п о л ь з о в а т ь с л е д у ю щ и е с о о т н о ш е н и я ;

S 0 (2):

г ~ '

/ = о

— 1

2 Л г ) = 2 4 (1Т) г - 1=

/ =о

— ( N + 1) T z ~ N ~ x

T z ~ x \z - N - 1

— 1

U - ' - l ) 2

„ ( 2 ) — (

l ( e*r) k

Р а с с м о т р и м ч а с т н ы е с л у ч а и у р а в н е н и я (1 3 .5 3 ).

а ) С л у ч а й

п е р в ы й :

g (lT ) — 0, N =

о о .

П р и

р е ш е н и и

у р а в н е н и й

(1 3 .5 3 ),

(1 3 .5 4 ) п р е д п о л а г а л о с ь ,

ч т о И 7 *(2 )

о п р е д е л я е т с я с о о т н о ш е н и е м (1 3 .5 8 ). В ы б е р е м те п е р ь д р у г о е W * (z ):

U/*(2)

C(z)

(1 3 .7 9 )

£ (z ) •

Т о гд а

C(z)

s ; ’ ( * ) =

* \ E ( z )

E{z)

\C {z)

П о э т о м у к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я ,

с о о т в е т с т в у ю щ а я э т о й с п е к т р а л ь

н о й п л о т н о с т и ,

б у д е т

р авн а

я; m

= я ; ( ^ ) +

я; </г)=

з0 (/г).

(i з. so)

У ч и т ы в а я

с в о й с т в о

(1 3 .6 3 ) ф у н к ц и и

о0(1Т) и

п о л а г а я

Y0 — T i —

• ■■

. . . — Yr ~ 0 , у р а в н е н и я (1 3 .6 7 ) п е р е п и ш е м в ви д е

СО

щ { 1 Т ) = т 2 R'm ( l T -

iT)y.2 tiT).

(1 3 .8 1 )

/ = - С О

6 0 4		СИНТЕЗ	ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ		УПРАВЛЕНИЯ	[ГЛ. XIII
Т о г д а	на	о сн о в а н и и	ф о р м у л ы	(1 3 .7 3 )	м о ж н о н а п и сать :
		СО
W. ,(1Т) =	Т	V R ' (i t	- I T ) Ч {СГ) =
		хщ
	i s= —со
			=	2S/ ф	S ' ^ H ^ z ^ d z .	(1 3 .8 2 )

	\|г\|	=1
С п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь на в ы х о д е с и с т е м ы N 1 р а вн а
П р и н и м а я во вн и м ан и е (1 3 .7 9 ), п о л у ч и м :
	С (г)	s*.w-
	В {г)	s*.w-
Н о с о г л а с н о (1 3 .5 6 )
С (г) \ \		1
E{z)\	ЧГ*	( г ) Р	'
П о э т о м у
s'; (z).	S m W
m 4 '	ЧГ- (*)\|-		'
	ЧГ- (*)\|-		'

(1 3 .8 3 )

(1 3 .8 4 )

(1 3 .8 5 )

(1 3 .8 6 )

Т а к и м о б р а зо м , у ч и т ы в а я (1 3 .7 9 ) и (1 3 .8 5 ), м о ж е м н а п и с а ть :

		77(г) Sm(z)							(1 3 .8 7 )
S 'U z )H *A z ) =			Ч Г		( г	- 1 )	’

т а к к а к							(2)-
^ (2)=Щ И * (2) =				^	(2) ^
П о д с т а в л я я (1 3 .8 7 ) в (1 3 .8 2 ) и п е р е х о д я к г - п р е о б р а з о в а н и я м ,
п о л у ч и м :	f I			(г) Sm(г)				1
VT		p H	*
				z	S *	( z )			(1 3 .8 8 )
W l	2 Щ2	- ‘ \| ^			ЧГ* (		г Z'~- i ) dz	} ■

i= 0	1	I г \| = 1						J

С о г л а с н о (1 3 .5 7 )

<Z>»{z) = W \{z)W *i {z).

О т с ю д а , у ч и т ы в а я (1 3 .7 8 ) и (1 3 .8 5 ), най д ем , ч т о

W l(z)

Ф*(г) =	Ч - ' - ( г )	'	(1 3 .8 9 )

101 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА 605

П о э т о м у на о с н о в а н и и (1 3 .8 8 )	(1 3 .8 9 ) п о л у ч и м	с л е д у ю щ у ю о к о н ч а
т е л ь н у ю ф о р м у л у д л я о п т и м а л ь н о й п е р е д а то ч н о й ф у н к ц и и :

		1							( 1 3 . 9 0 )
	Ф * (2 ) == 2 - у Г ‘ (z )					W* (2-1)			( 1 3 . 9 0 )
Э т о в ы р а ж е н и е с о в п а д а е т с (1 3 .1 2 ).
б )	С л у ч а й , ко гд а		т	(IT ) —	0.
П р и	э т о м	у р а в н е н и я		(1 3 .5 3 )		з а п и ш у т с я	в	виде
	Т £	R „ (IT -	IT ) = ъ		+	Ь (1Т) +	. . .	+ Ь {IT Y .	(1 3 .9 1 )
	<=о

В э т о м с л у ч а е в ы р а ж е н и е (1 3 .4 6 ) д л я к в а д р а та о ш и б к и в о с п р о и з в е д е н и я с о о т в е т с т в е н н о у п р о щ а е т с я :

	_	N		N
	Ег =	г 2	k ( i 1T ) T '^ l k (t2T ) R n(tlT — t2T).		(1 3 .9 2 )
		/, =0		/3=0
О т с ю д а ,	у ч и т ы в а я	(1 3 .9 1 ), по лзш им :
? . = Т £ & ( / Г ) { То + Т , ( / Г ) +				. . . - И Г ( Я У } =
/-0
N			N	N
= Тог 2	&(;г ) +	- Г1г	2 ( / 7 ' ) А ( / г ) 4 - . . . + b T % ( i T y k ( i T ) . ( \ 3 . w )
i с* 0			i~0	S '
i с* 0			i~0	<=г- л0

С л е д о в а т е л ь н о , в ы р а ж е н и е д л я с р е д н е го зн а ч е н и я к в а д р а т а о ш и б к и

п р и м е т вид
е 2 =	То !*+о " № + • •+ •L - t V

В д ан н о м с л у ч а е т а к ж е м о ж н о р е ш а т ь за д а ч у с и н те за д л я л ю б о г о д и с к р е т н о г о м о м ен та в р е м е н и t = nT-\-aT. П р и э т о м п р е д п о л а г а е тс я ,

ч т о на вх о д с и с т е м ы п о с т у п а е т с и гн а л

g (lT )- \ - m (iT )- \ - n (iT ).

У р а в н е н и я (1 3 .5 3 ) и (1 3 .5 4 ), из к о т о р ы х о п р е д е л я е т с я о п т и м а л ьн а я и м п у л ь с н а я п е р е х о д н а я ф у н к ц и я , п р и м у т ви д

т 2	(IT + IT )k (lT + ОТ) =
/=о

=	* A m ( / 7 ’ +	o 7 ’ ) +	T o +	T i ( * 7 ,) +	• • • - И г С
	N
	T y2 l k ( t T +	aT ) ( i T ) m =		d m (a),
	/=0

(1 3 .5 4 0

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 5960 / 6660 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ