книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

448 СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [гл. IX

Рис. 9.63.

№Задано

— т

перерегулирование') оптимальной системы при тех же условиях, что и в номограммах для определения среднеквадратической ошибки. Кри­ вые для определения а были получены при помощи вычисления пере-

29 Зак. 1083. В. В. Солодовников

Г Л А В А X

АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1. Введение

Предыдущие главы были посвящены вопросам анализа и синтеза линейных систем автоматического управления с постоянными пара­ метрами.

Однако довольно часто необходимо анализировать н рассчитывать системы с переменными параметрами, т. е. системы, характеристики которых изменяются во время работы ’)•

Среди этих систем особое место занимают системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффи­ циентами. Эти системы, как и линейные системы с постоянными па­ раметрами, не являются столь широко распространенными и не имеют с практической точки зрения такого значения, как, скажем, нелиней­ ные системы. Однако очень часто нелинейные системы приближенно могут быть исследованы на основе рассмотрения линейных систем с переменными параметрами. Это имеет место, например, когда при­ ходится анализировать поведение сложных нелинейных систем в ли­ нейном приближении и выбирать в качестве невозмущенного неустановившееся движение. К подобной задаче мы приходим также при исследовании работы следящих систем с исполнительными электро­ двигателями переменного тока и т. д.

Значение этого класса состоит также в том, что развитые в на­ стоящее время математические методы позволяют качественно иссле­

параметрами при изучении линейных систем с переменными парамет­ рами возникают определенные принципиальные трудности. Дело в том, что в настоящее время не имеется математических методов нахожде­ ния решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, за исключением простейших случаев. В связи с этим широкое распространение при анализе таких систем получили различ-

2] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 4 5 1

ные приближенные аналитические методы решения дифференциальных уравнений. Большую помощь при этом оказывают электронные моде­ лирующие устройства, получившие уже к настоящему времени при­ менение при решении различных задач автоматического управления. Это обстоятельство наложило свой отпечаток на теорию линейных систем с переменными параметрами.

В настоящей главе излагаются основные результаты в области исследования линейных систем с переменными параметрами. Особое внимание будет уделено вопросу анализа динамической точности таких систем при случайных воздействиях, так как он имеет большое прак­ тическое значение. В заключение рассматриваются некоторые методы

2. Характеристики линейных систем с переменными параметрами

Линейной динамической системой с переменными параметрами называется система, описываемая линейным дифференциальным урав­ нением с коэффициентами, зависящими от переменной t (обычно времени):

29*

даточную функцию линейной системы с переменными параметрами, т. е;

Как видно из определения, Ф (у'ш, t) зависит от времени t как от параметра. Можно показать ‘), что она обладает многими свойствами,

l) Z a d е h L. A., Frequency Analysis of variable Networks, Proc. of the IRE, March 1950.

4 5 4 ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ с и с т е м с п е р е м е н н ы м и п а р а м е т р а м и [ г л . X

т. е. что для определения процесса на выходе системы по известной передаточной функции можно использовать таблицы преобразования Лапласа, методы логарифмических и трапецеидальных частотных характеристик, изложенные в гл. I.

Можно показать ‘), например, что по известной передаточной функции очень просто графически построить кривую переходного процесса переменной системы.

Таким образом, задача анализа линейных систем с переменными параметрами решается достаточно просто, если известны импульсная переходная или передаточная функция системы. Однако чаще всего эти характеристики не известны, а задано только дифференциальное уравнение системы. Поэтому практически очень часто встает задача определения k (t, х) или Ф(/ш, t) по известному дифференциальному уравнению системы (10.1). При решении этой задачи, достаточно

Действительно, выше было отмечено, что для определения импуль­ сной переходной функции, соответствующей системе (10.1), необхо­ димо решить дифференциальное уравнение (10.7), совпадающее с (10.1)

П Р И / ( / ) = & ( * — т ) .

!) К а р а б а н о в В. А., «О некоторых возможностях применения частот­ ного метода к анализу линейных динамических систем с переменными параметрамиз, Сборник, Некоторые вопросы теории систем автоматического управления, Оборонгиз, Москва, 1955. .....................

2] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 455

Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет передаточная функция системы, определяемая дифференциальным уравнением (10.1).

Применяя к обеим частям (10.7) преобразование Фурье по пере­

и

M(p, t) eJuil = eJa>lM (jw, t),

то, подставляя эти выражения в (10.15), получаем дифференциальное уравнение для Ф (.До, /):

Введя обозначения

один раз решить уравнение, описывающее систему, тогда как при использовании уравнения (10.1) его частное решение необходимо определять для каждого определенного вида воздействия.

воздействий, импульсных или гармонических, и записи выходных процессов с последующим определением k(t, т) или Ф(у‘ш, t). Суще­ ственную роль при этом могут сыграть широко распространенные в настоящее время электронные моделирующие устройства, на которых