Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1323 вуза, 5414 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
30.10.2023
Размер:
19.04 Mб
Скачать
☆

340

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ

СИСТЕМ

С КОНЕЧНОЙ

«ПАМЯТЬЮ»

[ГЛ. Vlit

Следует заметить, что наивысший порядок дельта-функций в (8.53)

не превышает I — /г— 1 !).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, нам осталось найти

г -|- 2k - f - 1 -{- 2 (/ — k) =

г -(- 21 -|- 1

неизвестных

постоянных,

входящих

в (8.53). Они могут

быть

опре­

делены

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Подставляя k{t) из (8.53)

в (8.23) и требуя,

чтобы это урав­

нение удовлетворялось тождественно, получим

2/

линейных

одно­

родных уравнений для А, В ,

С',

 

D.

 

 

 

 

 

 

2. Подставляя k(t) из (8.53)

в /'-(-1

уравнений

для мо­

ментов (8.14) получим г -f- 1 линейных уравнений.

 

 

 

 

Эти

г

1 уравнений вместе

с

предыдущими

21 уравнениями дают

систему

из /- —)—2/ —}—1 уравнений,

решение которой

позволяет

найти

все постоянные А , В, С',

D

и,

 

таким образом, завершить

процесс

вычисления

k(t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Формула для оптимальной передаточной функции

Часто оказывается более удобным иметь дело не с оптимальной импульсной переходной функцией k (t), а с соответствующей ей оптимальной передаточной функцией Ф(д). В таких случаях уравне­ ние (8.23), пользуясь (8.49), следует преобразовать к виду

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27 У Ф(У“) 5 9(ш) e-'w dw = - fa - H l*-f-

“И /

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

+ i

/

я ( »

С

 

(<о) e/»'d«o.

(8.54)

 

 

 

 

— СО

 

 

 

 

 

Воспользовавшись

(8.53),

решение

этого

уравнения

относи­

тельно

Ф (s) можно

представить

в виде

 

 

 

 

г

 

 

т

 

 

 

 

 

Ф (s) =

j ' k (t) e~s‘ dt = J

(A, 4~ A

-f-

. Artr) e~s/ dt -f-

 

Bi

 

 

 

o—s T

B,e 1

B9ke**

 

 

 

 

 

 

 

x,r

X П

s +

x3

s +

 

 

 

5 +

h

s + Xoft

. +

 

T

 

 

со

 

 

 

 

 

+ j t C(s) /

e ~ s

l d t

f

9

Я ( У ш ) С ( - » е/“М ш -Ь

 

 

6

 

-oo

 

 

 

 

4 - c ; + c ^ + . . . + c ; v *

- 1- M - * r (£>i+

• • • + A - ^ - * - 1)-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.55)

Ч Это вытекает из того, что В,, ....

Во* выбираются из условия обра­

щения в нуль k производных от k ( t )

в точках t = 0 и t = T при подста­

новке k (t) з (8.23).

 

 

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

( 8 .2 3 )

 

341

Неизвестные

постоянные в

этом выражении

находятся

тем

же

способом,

как и

в случае k(t),

т. е. Ф($) из (8.55) подставляется

в (8.54),

причем

получившееся

выражение рассматривается

как

то­

ждество. Это дает 21 линейных соотношений между неизвестными

постоянными.

Остальные

г —)—1

соотношений могут быть получены

из

(8.9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Частные случаи интегрального уравнения

(8.23)

 

 

А)

С л у ч а й ,

к о г д а

g'(/) =

0;

Т — оо.

 

 

 

 

 

Вернемся

к рассматривавшемуся

в

предыдущих

главах частному

случаю, когда управляющее воздействие

не

содержит

составляющей

в

виде

заданной

функции

времени,

т. е. g(t) = 0,

и

время наблю­

дения

не ограничено,

т. е. Т =

со.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выше при решении интегрального уравнения (8.23) мы предпо­

ложили, что

 

передаточная

функция

№,($) системы

рис. 8.1 опреде­

ляется

выражением

(8.35).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем

теперь

несколько другое выражение для W l (s), а именно,

предположим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.56)

и

найдем,

к

какому

виду сведется

интегральное

уравнение

(8.23)

при сделанных допущениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прежде всего, заметим, что согласно (8.37),

учитывая

(8.31),

(8.32)

и (8.56),

мы

можем

написать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.57)

и, следовательно, корреляционная функция

 

соответствующая

спектральной

плотности (8.37),

сводится

к

дельта-функции, т. е.

 

 

 

 

 

 

K ( 0 = R,mW +

Я* (0 =

8(0-

 

 

(8.58)

Учитывая свойство дельта-функции [см. формулу (1.75)] и по­ лагая

интегральное уравнение (8.43) можно переписать в следующем виде:

СО

(8.59)

На основании формулы (8.49) можно написать:

СО

СО

—со

—оо

3 4 2

с и н т е з о п т и м а л ь н ы х Си с т е м с к о н е ч н о й « п а м я т ь ю »

[г л . v i h

Преобразуем

подынтегральное выражение в (8.60). Спектральная

плотность S m(ш)

полезного сигнала на выходе системы A/j

опреде-

ляется

формулой

 

 

откуда, принимая во внимание (8.56), получим:

S m(О)) =

с (У«)

 

S ,,» -

Но согласно (8.32)

 

 

С СМ

 

 

Е ( »

I* СМ I2’

 

Поэтому

 

 

S„, (ш) •

Sm(“)

 

l'IrCM р*

 

Итак, учитывая (8.41), (8.63),

мы можем

написать:

$»(«*>) Я 2( / « )

= Щ ф

г -

Подставляя (8.64) в (8.60), получим:

W2 (j<o)= f e r - W d t ^

f

е ' Ш< d w -

0

— o o

 

Но согласно (8.33)

Ф (Уш) = U7.(./а) ^(У ш ).

откуда, принимая во внимание (8.56) и (8.62), найдем:

W2( M

Ф ( » :

(8.61)

(8.62)

(8.63)

(8.64)

(8.65)

(8 -66)

(8.67)

Поэтому на основании (8.66) и (8.67) получим следующее вы­ ражение для оптимальной передаточной функции Ф (/ш) всей си­ стемы:

Ф(усо) = и з д / г " 4

"• ‘ 8-68>

8]

ОБЩИЙ ХОД ВЫЧИСЛЕНИЙ

3 4 3

Это выражение совпадает с формулой (7.60), так как при сде­ ланном в этой главе допущении об отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой мы можем написать:

 

 

 

 

SA, ( m) =

W(y®)Sei(a)).

 

 

(8.69)

Итак, мы видим, что

интегральное

уравнение

(7.14)

можно рас­

сматривать

как

частный

случай

интегрального

уравнения

(8.23),

а формулу (7.60) для вычисления оптимальной передаточной

функ­

ции — как частный случай

полученной в этой главе формулы (8.55).

Б) С л у ч а й ,

к о г д а

—

 

 

 

 

 

 

В качестве другого частного случая предположим

теперь, что

полезный

сигнал

не содержит случайной составляющей,

т. е.

 

 

 

 

 

 

т (О = 0.

 

 

 

 

Интегральное

уравнение (8.23)

при

этом

сводится к

виду

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

#„<? — О * ( О ^ = То+

T i* +

••• “И / -

 

(8-70)

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что в этом

случае общее выражение (8.21) для сред­

него значения квадрата ошибки существенно упрощается.

 

Действительно, полагая

в (8.21) /?т (т) =

0, найдем:

 

 

 

 

 

т

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

k ( x ) d x f

Rn (x — ft) ft(»)</&,

 

(8.71)

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

откуда, учитывая

(8.70),

получим:

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е2 =

J

k (т) 1у0 4 - т хх •+- . . . +

1 ггг] dx =

 

 

 

 

О

Г

 

 

7*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

=

То/ A Wdt + Ti /

xk (х) dx +

• • •

+ 7 г /

t rk(x)dx,

(8.72)

 

и

 

 

о

 

 

 

о

 

 

 

и, следовательно, выражение для среднего значения квадрата ошибки можно представить в виде

®2 — W o ~ Ь " Ы Н - Ь • • • + T r t V *

8.Общий ход вычислений

На основе предыдущего изложения можно сформулировать сле­ дующий порядок операций для определения оптимальной импульсной

переходной

функции k{t)

или оптимальной передаточной функции <D(s)

системы в

общем случае.

.

3 4 4 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VII

 

1.

Полагаем,

 

что

оптимальная

импульсная

переходная

функ­

ция k(t) определяется выражением (8.53), т. е. что

 

 

 

 

k(t) =

Д +

Ayt —|—-. . — Artr -J- В уе"^ -f- B2exil

 

 

В 2ке1*ь' Д

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

^

С '(р) f

И (Уto) С ( - уш) е!« rfto +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ci§ (0 -)- Са§ (f) -f- . . .

~\~Ci—

 

Ч 0

4~

 

 

 

-\-Dyb{t — T) - \ - D2b(t — T ) + . . . +

 

 

(f — T),

(8.53)

где

T — интервал

 

наблюдения; г — порядок многочлена

от t,

в виде

которого

задана

составляющая g(t)

полезного

сигнала;

Д , Д , . . .

. . . . Д .

By, В2......... В 2к,

Су, С2, . . . ,

Ct_k,

Dy, D2, . ...

Dy_k

постоянные, подлежащие определению;

Д (ш 2) — числитель выраже­

ния для спектральной плотности Д(ш);

ДДш2) — знаменатель

выра­

жения

для

спектральной

плотности

Д(ш);

2/е — степень

старшего

члена

ДДи)2); 21— степень

старшего

члена Д (ш 2); X,, Х2,

. . . ,

\ 2к—

корни

уравнения

Д ( — Х2) = 0;

 

С (уш) — сомножитель

знамена­

теля Д (ш ) выражения для S (ш), содержащий

все

нули

в верхней

полуплоскости;

5 т (ш) — спектральная плотность случайной составляю­

щей полезного

сигнала;

Н ( р ) — идеальный преобразующий оператор;

8(/)— дельта-функция;

8^ (/)— v-я

производная

от дельта-функции.

 

2.

Подставляем

выражение для

k(t),

составленное

в соответствии

с формулой (8.53), в интегральное

уравнение

(8.23),

имеющее

вид

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

[/?„(* — •0 + Яв ( * - '0 1 * С 0 * =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= То “Ь К У 4 “ • • • Ч- т Х +

f

 

 

 

 

 

 

О Д t Д Т.

Выражение, получившееся в результате этой подстановки, рас­ сматриваем как тождество. Это дает нам 21 однородных линейных уравнений относительно неизвестных постоянных.

Эти же уравнения могут быть получены, если подставить выраже­ ние (8.55) для <D(s) в интегральное уравнение (8.54).

3.Подставляем выражение для k (t), определяемое формулой (8.53),

вуравнения (8.15), где величины p,v определяются, если известен

преобразующий оператор Н(р), при

помощи

равенства (8.14).

В результате подстановки получаем г Д

1

линейных уравнений

относительно неизвестных постоянных.

 

 

4. 21

уравнений,

полученных

из

(8.23),

и г Д 1 уравнений, по­

лученных

из (8.9),

дают систему

из

2 / Д г Д 1

уравнений отпоен-

9]

ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ ЗАДАННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ А

3 4 5

тельно неизвестных постоянных. Решение этих уравнений и подста­ новка полученных значений для постоянных в исходное выраже­ ние (8.53) для k (t) [или в (8.55) для Ф(«)] завершает процесс определения k(() [или Ф($)].

9. Обобщение полученного решения на случай, когда значения коэффициентов kq заданы *)

Выражение (8.53) для импульсной переходной

функции

было по­

лучено,

 

исходя

 

из

 

требования

равенства

 

нулю

неслучайной

ошибки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако, как это уже указывалось

во введении, нулевая

неслучайная

ошибка tg(t) может быть, вообще говоря, получена лишь

за счет уве­

личения случайной ошибки е?((), что не всегда

выгодно и допустимо.

Кроме

того,

если

управляющее

воздействие

имеет вид полинома

степени

г,

то,

как

это

ясно

из

определения

астатической

следящей

системы,

нулевая

ошибка

sg (t)

может

быть

получена,

лишь

если

система обладает астатизмом (r-j-l)-ro

 

порядка. Реализация

таких

систем

связана

с

большими

практическими

трудностями

уже при

г = 1.

 

 

 

такая

постановка

задачи

не

 

позволяет

учитывать

Наконец,

 

и вводить

при расчете требования к точности

в том случае,

когда

неслучайная

функция

времени

выбирается

в

виде

заданной

функции

времени,

например

в

виде

полинома от

t с

известными коэффици­

ентами.

 

 

указанные

 

трудности

в

известной

мере отпадают,

если

Все три

 

динамическую

точность

воспроизведения

неслучайной

составляю­

щей g (t)

 

полезного

сигнала

можно

охарактеризовать

заданными

значениями

коэффициентов ошибки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом

случае

уже

не требуется,

чтобы динамическая ошибка eg(t)

равнялась

нулю,

и трудности реализации такой системы уменьшаются,

так как она не должна обладать астатизмом (r-f-.l)-ro порядка.

При этом, если расчет системы желательно

произвести для ти­

пового

управляющего

воздействия g{t)

в виде

полинома

(8.1)

с не­

большим числом членов и известными коэффициентами, то задание коэффициентов ошибки С0, Ct, . . . определяет динамическую точ­ ность в следующем смысле.

Предположим, что воздействие вида (8.1) с известными коэффи­ циентами характеризует типовые или наиболее неблагоприятные усло­ вия работы системы, причем в этих условиях динамическая ошибка zg(t) не должна превышать некоторого наперед заданного

значения

т. е.

 

 

0 < / < 7 \

(8.74)

*) См. первую ссылку на стр. 328.

3 4 6

СИНТЕЗ

ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ»

[ГЛ. VIII

Для ошибки

eg (t) мы можем написать:

 

 

e*(O =

C0f f ( f ) - b C ,g ( O + ^ £ ( O - b . . . + 7 f W 0 .

(8.75)

Зная

k q, вообще говоря, всегда можно выбрать значения

коэффи­

циентов ошибки С0, С(, . . . . Сг так, чтобы обеспечить удовлетво­ рение неравенства (8.74).

Именно в этом смысле задание коэффициентов ошибки опреде­ ляет динамическую точность воспроизведения системой заданной не­ случайной составляющей g(t) полезного сигнала.

После сделанных предварительных замечаний задачу, решаемую в этом параграфе, можно сформулировать следующим образом.

По заданным корреляционным функциям Я„,(т), /?„(т), заданному времени наблюдения Т„ и заданным коэффициентам ошибки С0, С1ч . . .

найти импульсную переходную функцию к (7) так, чтобы среднее значение квадрата случайной ошибки

= Пт к ~

/

f

Г

[ш(7 — х) +

г

dt

(8.76)

/

| m ( 0 —

/

л (/ — x)]*(x)dxj

Т + со

 

 

 

 

 

 

 

имело минимум.

 

 

 

 

 

 

Другими

словами, задача

сводится

к определению функции

k(t),

обращающей выражение (8.76) в минимум и одновременно удовле­

творяющей г —{—1 дополнительным

условиям:

 

1 — j k (т) d~ = С0,

 

О

 

 

Г|,

 

 

f xft(x)rfx =

C„

(8.77)

 

 

f x'*(x)dx = ( - l ) ' MC,.

о

Таким образом, формально мы приходим к той же задаче на условный экстремум, которая уже была решена выше. Отличие со­ стоит лишь в способе выбора ограничивающих условий, налагаемых на искомую функцию k(t). Из сказанного ясно, что как метод ре­ шения задачи, рассмотренной в § 8.2, так и полученные выше фор­ мулы для импульсной переходной функции полностью применимы и для рассматриваемого в этом параграфе случая заданных коэффи­ циентов ошибки.

10]

 

ОБОБЩЕНИЕ

ДЛЯ

СЛУЧАЙНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

 

347

10.

Обобщение

полученного

решения

в предположении, что

коэффициенты kq случайны

и имеют конечные дисперсиих)

Решение задачи, сформулированной в §

8.2,

очевидно,

справед­

ливо как для того случая, когда коэффициенты

k q

являются не­

случайными и могут иметь произвольные

значения, так и для того

случая, когда коэффициенты А

случайны,

имеют

неограниченные

дисперсии и не коррелированы друг с другом.

 

 

 

 

 

Однако

несомненный

практический

интерес имеет

также

решение

задачи

для того случая, когда

коэффициенты

k q хотя и являются

случайными, но имеют конечные

заданные

 

дисперсии

и коррелиро­

ваны друг с другом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

предположим,

что

нам

известна

корреляционная

функция

 

 

М У, А / 2 ЬЛ1 =

2

Рл/ V ,

 

 

 

 

где

 

 

_ / =0

 

/=о

1 J

/,/=о

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ру =

М- [kfij]

 

 

 

 

 

 

 

нестационарной части g(t) полезного сигнала в виде (8.1).

 

Таким образом, знание корреляционной

функции

означает, что

нам известна матрица

||(3/у|| (I,

у — 0, 1......... г)

моментов

связи

случайных коэффициентов А,, А/ функции g(t).

 

 

 

 

 

Для

простоты

предположим,

что

корреляция

между g(t), m(t)

и п (t)

отсутствует,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M \kqm{t)) = Ж(А?/г(О1 = 0:

Запишем выражение для ошибки

т

г (О == Н(р) |g{t) -f m (01 — f lg(t — т) -4- m {t — x) -)- n (t — x)] X 0

со

X A (x) tfx = J Ig- (t — x) + m {t — x)] У. (x) flfx —

— CO

T

— I* 1д(^ — т)-(-Я1 (/ — x )-f-n (/— x)] A (x) cfx. (8.78)

о

i) См. работу В. M. Семенова, цитированную на стр. 328.

3 4 8 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII

Следовательно,

со со

е2( 0 =

f

—

—

—

—оо

—со

со

Г

 

 

 

 

+ m(f — 0)]x(O)rf0 — 2 f v. (0) d6 f \g(t — x)-\-m(t — x)]X

—со

0

X [S'(t — 0) tn (t — 0) +

n (t — 0)] k (t) d~ +

тт

 

+

f k { x ) d x f

l g (t — x)-{-m(t — x) + n(t — x)}X

 

 

0

,

0

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

X

[§■ {t — 0) -1- m {t — 0) +

n {t — 0)1 k (0) dO.

 

 

т r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M [E2 (0 ] = f

у. (t) d x f

 

2

Pi./

^

(^ -

0)7 +

 

 

 

 

0

Li, 7 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CO

 

/

 

 

 

 

+ - Дт ( ^ - 0)

•/. (0) dO — 2

f

x(0) rf0 J

./,y= 0

 

 

 

 

 

 

— CO

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

T

r r

 

 

 

+ « « ( " - 8) k

( T ) r f T + J *(T) rfx J

 

2

Pi,у

— x)/

0/ “ H

 

 

 

 

 

o

 

Li.y'=°

 

 

 

 

 

 

+

« /n( x - 0 )

+

/?n C ' - ° )

fc(0)rf0.

(8.79)

Решая обычную задачу вариационного исчисления на безусловный

минимум, получим следующее

интегральное уравнение:

г

 

/ [«т ( ' - О ) + Ял ( ^ - 0 ) ] £ ( б М 0 =

О

 

оо

г

=

/

tfffl( ^ - e ) - '- ( 0 ) t f 0 + £ v ‘n.

0 < т < 7 \

 

 

 

л=о

(8.80)

где

 

 

 

 

 

 

 

«„ =

( - D " S P / » ( - 1)i ( / 0 - " .(0 ) й 0 - Л ,

 

 

/= 0

I -оо

J

 

 

Т

 

 

p,v =

J

0^(0) d0.

 

 

 

о

 

 

i

Из сопоставления уравнений (8.23) и (8.80) видно, что эти инте­ гральные уравнения имеют один и тот же вид. Следовательно, реше-

И]

ТАБЛИЦЫ И ПРИМЕРЫ

3 4 9

иие интегрального уравнения (8.80) имеет такой же вид, как и реше­ ние уравнения (8.23), и импульсная переходная функция определяется выражением (8.53). Неизвестные, входящие в (8.53), определяются подстановкой (8.53) в (8.80).

11.Таблицы и примеры вычисления оптимальных импульсных

переходных и передаточных функций ')

Пользуясь методикой, изложенной в § 8 настоящей главы, можно составить таблицу оптимальных в указанном выше смысле импульс­ ных переходных и передаточных функций.

В таблице 8.1 приведены такие функции для различных спектраль­ ных плотностей случайной составляющей полезного сигнала и помехи.

Ниже

приведено

несколько

при­

mt;

меров

вычисления

оптимальных

функ­

ций.

 

 

Требуется найти пере­

 

П р и м е р 1.

 

даточную функцию по следующим дан­

 

ным:

g(() — ku-\- k j ,

причем

значе­

 

1)

 

ния k0 и

к х неизвестны;

 

 

2)

спектральная

плотность

помехи

 

s > )

= ^ n p * r

или

я„оо = *- в , т | ;

. 8

3)Н ( р ) = 1.

Вэтом случае импульсная переходная функция (см. рис. 8.2)

 

A(O = A > -M i/ +

c(8(O + 0i8(f — 7),

 

(8.81)

Подставляя (8.81) в (8.23), найдем:

 

 

 

т

 

 

 

 

 

J e

я | / 1' [.Но-Н H it +

С \ й ("0~ Ь D \

б ( т — 7 )] d x

= fo —f—Т

(8-82)

о

 

 

 

 

 

Интеграл (8.82) можно представить в виде суммы

четырех

интегра­

лов. Вычислим каждый из них.

 

 

 

1)

Для первого интеграла, произведя замену переменной t — т —

получим:

t-т

t

о

 

т

 

 

А0 j

о

=

=

 

—А 0 f

e~a ' ^ d x = A0 j

e-°°d0-j-H 0

J еаЬ db =

 

 

 

1

 

 

о

 

 

 

t-T

По ._-_„„оn t

4

I

По ,аО

 

Пр e- a t _ l _ A ^ _ A o . e-a (T-t) I

 

 

-П ^ -е.

 

 

а

 

а

а

 

 

 

1 а

t - T

 

1

1

 

 

 

 

2По

H<L e - a t __ g - a

(T-t)

 

(8.83)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

x) См. первую ссылку на стр. 328.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности