книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления
.pdf3] |
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА |
395 |
случае изменение в логарифмической амплитудной частотной карактеристике определяется выражением
а изменение в фазовой характеристике — выражением
» \ |
Дad |
^ L |
|
p j |
рd |
|
|
Pd ' |
|
||
Таким образом, сформулированная выше задача |
сводится к вы |
||
бору таких (по крайней мере |
некоторых) величин |
Дш., |
|
Дшг ДаЛ, Дрл, при которых получаются кривые AL(uj) и Д0(ш), даю
щие возможность обеспечить максимально более точное прибли-
400 |
СИНТЕЗ С 1ЕДЯЩИХ систем ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ ГЛ. IX |
После этого выберем значения A«d, Д(3(/, Дай, Д(37; таким образом, чтобы получить возможно более точное приближение к разностной
частотной характеристике Д/.(ш). |
В данном случае можно значительно |
улучшить приближение, приняв |
= ДаА, = дрл, = 0 и подобрав |
соответствующим образом величину \ $ d. Затем построим характери стику Д(ш) для новых значений ad, j3d, ак, и найдем погрешность второго приближения. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность приближения.
4. Аналитический способ аппроксимации трансцендентных оптимальных передаточных функций')
В предыдущем параграфе был изложен способ определения пере даточных функций корректирующих устройств, основанный на по строении логарифмических частотных характеристик и па последую щей их аппроксимации дробно-рациональными функциями.
!) Этот параграф написан по просьбе автора ннж. Э. Н. Соренковым.
4] АППРОКСИМАЦИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕДАТ. ФУНКЦИЙ 40.1
Эгу же задачу можно решить, не прибегая к графическим по строениям, если воспользоваться известной формулой, позволяющей аппроксимировать функцию ех, входящую в выражения для опти мальных передаточных функций,— дробно-рациональной функцией1).
Следует, однако, заметить, что |
при |
этом |
будут |
получаться |
системы, |
|||||||||||
не |
относящиеся |
к классу |
минимально-фазовых. |
Составим выражения |
||||||||||||
|
(А") — |
1 + (|Х + V ) 1! Х + (|А -1- v) fa -f V — 1) 2! х2+ ■• • + |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
•;(•/ — 1) . . . 2-1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ |
(H- + |
V) (ц + |
v - l ) ... (v+ О ц ! х \ |
|
(9.40) |
||||||
|
VС-^) — 1 |
(а _|_ v)1! |
I |
|
н- (м- — 1) |
|
|
|
. . . + |
|
|
|||||
|
((J. + |
V ) ( | X + |
V - 1 ) 2т! * 2+ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 )^* |
(р* |
1) ■. *2 • 1 |
XV-. |
|
(9.41) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(к- + '0 (р + ■' — 1) • • ■С' + 1) Р-! |
|
|
||||||||
|
Можно показать, что предел |
отношения |
функций |
(9.40) |
и |
(9.41) |
||||||||||
при |
[х, |
v —у оо |
равен ех , т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Пт |
/>, <(■*) |
|
е- |
|
|
|
|
(9.42) |
||
|
|
|
|
|
|
p.r V-> СО Gf.. v (х ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ниже |
нас |
будет интересовать случай |
p. = |
v = |
&. Назовем |
частное |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
г Щ |
= |
Е* « |
|
|
|
|
|
<9-+3> |
||
й-м приближением функции ех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Полагая в (9.43) х = |
— sT, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ъ £ Щ = |
ЕА - * Т ) Х е--г. |
|
|
(9.44) |
|||||||
|
В таблице 9.2 приведены приближения функции e~sT первого, |
|||||||||||||||
второго, третьего и четвертого |
порядка, |
вычисленные по формулам |
||||||||||||||
(9.40), |
(9.41), |
(9.44) |
|
£ /;(— sT) |
можно |
представить |
в виде |
|||||||||
|
В общем случае функцию |
|||||||||||||||
|
£* (— sT) |
|
1 — я vs T -1- я . ^ Л — a3S3T 3 + ■. ■+ {— \ ) k ak Sk T k |
|
(9.45) |
|||||||||||
|
|
1 - р я i S T - р ЯоS3T 3 -p a3S3T 3 |
|
|
•SftT’ft |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Определим |
модуль выражения Ек {— ушТ). |
|
|
|
|
||||||||||
|
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
j (а1м7’ -^-я3а)37'3-f- |
|
|
||||||
Р , |
Tv _ (1 - я ^ + я ^ Г 1- • • •) |
) _ |
||||||||||||||
|
|
|
— |
|
+ |
|
...)+j(4»>T — я3й)ЗГЗ + |
) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P H - J Q |
П |
|
(9.46) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ P H + j Q H ’*26 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
J) Ку р а к и н |
К. И., Аналитический метод |
синтеза |
линейных |
систем |
|||||||||||
автоматического управления при наличии помех, Автоматика и телемеханика,
т. XIX, № 5, 1958.
26 Зак. 1083. В. В. Солодовников
4 0 2 |
СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ г л . |
IX |
|
Т а б л и ц а |
9.2 |
k |
E k i - s T ) |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 + |
- |
|
||
|
|
|
|||
|
|
^ |
2 |
|
|
|
|
sT |
|
s272 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
12 |
|
, , |
sT |
, |
sar a |
||
|
|||||
|
т |
2 |
' |
12 |
|
|
|
|
|
s.T |
|
saF2 |
s3T3 |
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
10 |
|
120 |
|
|
|
||
|
|
|
|
sT |
|
sar 2 |
s*T* |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
10 |
1 |
120 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
S^ - f - 3 s27'2 |
|
1 $зуз_1_5474 |
|
|
||||||||
4 |
|
|
2 ^ |
|
28 |
|
|
|
|
84s |
|
1 |
1680 |
|
|
|
|
sT |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
с4Г 4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1+ 2 + 2 8 s37'a + |
84s37’3 + |
I680 |
|
|
|||||||||
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
Р2(со) + Q2(ш) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1. |
|
||||||||
|
|
( _ > 7 ') | = |
] / Г /”(") + <?*(»)= |
(9.47) |
|||||||||||
|
Модуль функции е“7шГ также равен 1. |
|
|
|
|
||||||||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.48) |
|
при любом k. |
|
\e-J*T\ = |
\Ek { - j m T ) \ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Фазовые характеристики ср, cpft, |
соответствующие функциям e~!wT |
|||||||||||||
и Ек {— у’шГ), представлены |
на рис. |
|
9.17. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрим пример применения формулы (9.45). |
|
|||||||||||||
|
Пусть требуется определить передаточную функцию системы при |
||||||||||||||
заданном коэффициенте |
ошибки |
Сг — 0,005 |
и известном |
значении s2 |
|||||||||||
для |
случая, когда |
g{t) = KQ- \- K lt |
и Rn (т) = |
С2о (т). |
|
||||||||||
|
В этом случае оптимальная передаточная функция системы в замк |
||||||||||||||
нутом состоянии, |
согласно |
таблице |
|
8. 1 , |
определяется |
выражением |
|||||||||
|
Фо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А,Т |
,- s T |
(9.49) |
где |
|
|
6Ct |
^ |
|
— __ Ё. _1_ |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
(9.50) |
|||||||||
|
|
|
уа |
|
уз |
|
|||||||||
|
|
|
|
Л |
|
|
|
у3 |
1 |
|
|||||
4] АППРОКСИМАЦИЯ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕДАТ. ФУНКЦИЙ 4 0 3
При этом, среднеквадратическая ошибка равна
Е2 |
12С, |
пс\ |
С2. |
(9.51) |
|
j i |
уз |
||||
|
|
|
Пользуясь заданным значением е2 по формуле (9.51), определяем время Т переходного процесса оптимальной системы,
О! 2 3 4 5 В 7 8 9 10_
Воспользовавшись таблицей 8.1, определим передаточные функ
ции <PA(s) и KW k (s) для |
различных |
k. |
Имеем: |
|
||
Ф,(' ) = |
, Т £ |
Г |
|
KW ‘ (s) = |
(9.52) |
|
|
r r |
|||||
|
1 + |
2 |
|
|
|
|
Ф2(«) = |
1+ s(t _Ci) |
(9.53) |
||||
1 -1- |
чТ |
| |
1- |
’ |
||
|
1 |
2 |
М 2 |
|
|
|
KW2{s) = |
к |
, , |
1 |
sT* |
(9.54) |
|
|
s |
|
||||