книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

Величина x(t) на выходе системы, имеющей импульсную переходную функцию вида (11.59), при подаче на вход 1(0 будет определяться выражением

Из рис. 11.1 ясно, что чем выше уровень помех ДА2, тем более, затяжной характер имеет переходный процесс x(t).

Отметим, что оптимальная система с постоянными параметрами, рассчитанная в § 1 гл. VIII при нулевой динамической ошибке, обес­

печивает среднеквадратическую ошибку е2л — 4А/2/Г во все моменты времени t ^ -Т. Сравнивая ошибки, получаем: '

получать ошибку, равную всЛ при t < Т. Так, например, приа2 = Л<2

3) неравенство Е2 < есЛ усиливается с увеличением уровня помех

и £ 2-> 0 при t —у со, тогда как е®л= const.

1) Следует отметить, что согласно замечанию на стр. 491 g (<) должна быть непрерывной функцией (в частности, в момент приложения).

В этом случае

D 1 ( p , T ) = ^ p * — 2 ( а 2 — ш2) р 2 + ( а 2 + ш2) 2,

M i (Р. т) = 2а (— Р + °2+ “ о).

где р = ] / a 2 -}- ш2 — корень характеристического уравнения M l((3) = 0.

при t > т^>0.

метрами этот вопрос решается достаточно просто.

Задача состоит, по существу, в определении передаточной функ­ ции, а по ней— дифференциального уравнения, характеризующего систему. Этот вопрос решается просто потому, что дифференциаль­ ное уравнение и передаточная функция линейной системы с постоян­ ными параметрами очень просто связаны друг с другом. А именно, одно получается из другого заменой оператора дифференцирования комплексной или мнимой переменной. После определения дифферен­ циального уравнения или передаточной функции задача определения структуры системы для случая линейных систем с постоянными параметрами сводится фактически к разложению на множители, каждый из которых соответствует элементарному звену.

В этом случае передаточная функция, являющаяся промежуточ­ ным этапом в определении дифференциального уравнения, часто используется для удобства. Следует отметить, что использование метода передаточной функции позволило разработать достаточно простые инженерные методы синтеза систем, такие, как частотный метод, метод логарифмических частотных характеристик и т. п., кратко изложенные в гл. I и VIII.

Однако задача определения структуры линейной системы с пере­ менными параметрами по ее импульсной переходной функции не решается определением ее преобразования Фурье или передаточной функции. Дело в том, что передаточная функция, определяемая как преобразование Фурье от импульсной переходной функции (см. гл. X), не позволяет просто определить дифференциальное уравнение системы.

к определению структуры системы является выделение элементарных звеньев, которые описываются дифференциальными уравнениями малых порядков с переменными коэффициентами. Целесообразно также опре­ делить эти звенья не формой передаточной 'или импульсной пере­ ходной функции, а их дифференциальными уравнениями.

Поясним это простым примером. Если рассматривать простей­ ший ЯС-фильтр или интегрирующий контур, то, независимо от характера изменения R и С, он будет описываться дифференциальным

ветствующие же ему передаточная или импульсная переходная функ­

системы с переменными коэффициентами или системы дифференциаль­ ных уравнений первого и второго порядков с переменными коэффи­ циентами. При этом подходе оказывается возможным сразу представить данную систему как совокупность элементарных звеньев и, следо­ вательно. решить задачу о структуре системы. Кроме того, этот подход имеет и другое преимущество. Дело в том, что задача син­ теза не ограничивается только выяснением структуры оптималь­ ной системы. Немаловажную роль при этом играет исследование динамических свойств полученной системы.

Очевидно, что при этом наиболее рационально использовать моделирующие устройства, которые позволяют достаточно просто и точно осуществлять переменные параметры.

Как раз этому наиболее и соответствует выбор дифференциального

функцию линейной системы с переменными параметрами k ( t , т), определить дифференциальное -уравнение этой системы, которое может быть записано в общем виде

Запишем сигнал на выходе этой системы в виде

(11.73)

Определим общее решение уравнения (11.72) в форме (11.73).

Из (11.73) легко записать начальные условия при t — to для решения (11.72):

и г. д.

Записывая общее решение однородного уравнения

Так как определитель Д(7) этой системы является вронскианом уравнения (11.75), он отличен от нуля и, следовательно, система’' (1.1.77) имеет единственное решение, которое можно записать в виде

Постоянные тг определяются из начальных условий (11.74) при подстановке в них производных до (п — 1)-го порядка от х (7). Оче­ видно, что получаемая при этом система уравнений, как и (11.77),. имеет единственное решение, так как ее определитель равен Д(70):.

33 Зак. 1083. В. В. Солодовников