книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления
.pdf5 8 6 СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. XIII
к с в о й с т в а м н е п р е р ы в н о й с и с т е м ы . Д л я б о л ь ш и х Т о п т и м а л ь н ы й п е р е х о д н ы й п р о ц е с с с у щ е с т в е н н о о т л и ч а е т с я о т о п т и м а л ь н о г о п е р е х о д н о г о п р о ц е с с а в с о о т в е т с т в у ю щ е й н е п р е р ы в н о й с и с те м е . С и с те м а
д о л ж н а н а с т р а и в а т ь с я на д р у г о й п е р е х о д н ы й п р о ц е с с , п р и че м д л я к а ж д о г о Т д о л ж е н б ы т ь найден с в о й о п т и м а л ь н ы й п е р е х о д н ы й п р о ц е с с .
7. Реализация оптимальной передаточной функции дискретной системы
В о б щ е м |
с л у ч а е , к а к э т о б ы л о п о к а за н о в § 5, о п т и м а л ь н а я |
п е р е д а то ч н а я |
ф у н к ц и я д и с к р е т н о й с и с т е м ы и м е е т ви д д р о б н о - р а ц и о |
н а л ьн о й ф у н к ц и и п е р ем ен н о й z\ |
|
|
||
ф * / ч __ |
A p - j - A j z 1-)- . . . - \ - А гг ~ г |
(13.33) |
||
К 1 |
1 + B , z - i + |
+ . . . + A mz-™ |
||
|
||||
Р е а л и з о в а т ь т а к у ю п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю м о ж н о с п о м о щ ь ю с т р у к т у р н о й с х е м ы , и з о б р а ж е н н о й на р и с . 13 .2 . П р и э т о м т р е б у ю т с я : п а м я т ь е м к о с т ь ю в ш чи се л (е с л и m. > г), m-\-r м н о ж и т е л ь н ы х у с т р о й с т в , д ва с у м м а т о р а и о д н о в ы ч и т а ю щ е е у с т р о й с т в о ,
7 ] |
ОПТИМАЛЬНАЯ |
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ДИСКРЕТНОЙ |
СИСТЕМЫ |
5 3 7 |
|||
Т а к |
н а п р и м е р , |
д л я р е а л и за ц и и о п т и м а л ь н о й п е р е д а то ч н о й ф у н к ц и и |
|||||
6Ида |
(1 3 .2 6 ) т р е б у ю т с я : |
за п о м и н а ю щ е е |
у с т р о й с т в о |
е м к о с т ь ю |
в д ва |
||
чи сл а , |
|
т р и м н о ж и т е л ь н ы х |
у с т р о й с т в а , |
два с у м м а т о р а и од но |
в ы ч и |
||
та ю щ е е |
у с т р о й с т в о . |
|
|
|
|
||
Д р у г о й с п о с о б р е а л и за ц и и о п т и м а л ь н о й п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и
с о с т о и т |
в п р и м е н е н и и за п о м и н а ю щ е г о у с т р о й с т в а и н е п р е р ы в н о г о |
ф и л ьтр а |
(и м п у л ь с н о г о ф и л ь т р а с ф и к с а ц и е й ). |
Рис. |
13.2. |
|
П е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я р а з о м к н у т о й о п т и м а л ь н о й с и с т е м ы н ах о |
||
■ д и тся по ф о р м у л е |
Ф*(г) |
|
у*(г) |
||
1 — Ф * ( г ) ' |
||
П о д с т а в л я я в э т у ф о р м у л у в ы р а ж е н и е д л я Ф * ( а ) из (1 3 .2 4 ), п о л у ч и м :
К‘ (2) = |
P z — Q |
|
( z - \ ) { z - l ) ’ |
||
|
где
р = Ц - № + М),
Q = ^ - { d N + M),
1 = № _ { N + M ) + {c + 1 ) - \ .
Р а з л о ж и м п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю р а з о м к н у т о й с и с т е м ы на э л е
м е н та р н ы е д р о б и :
у* __ Р* |
Q |
___ ^ 1 ________ |
|||
где |
|
|
z — 1 |
z — L ’ |
|
P - Q |
|
P I — Q |
|
||
А |
|
|
|||
1 — / |
’ |
~ 1 — 1 |
' |
||
|
|||||
8] ЛЮБАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ 589
П о с л е д н и й ф и л ь т р п р е д с т а в л я е т с о б о й п о с л е д о в а т е л ь н о е с о е д и
нение д в у х |
зв е н ь е в : |
о д н о г о |
с п е р е д а то ч н о й |
ф у н к ц и е й K ' ( s ) = |
|
= — |
B 2/s(s- |-(3) и и д е а л ь н о г о |
з а п а з д ы в а ю щ е г о |
звен а с п е р е д а т о ч |
||
ной |
ф у н к ц и е й |
У " (s) = |
e~ Ts. |
|
|
П р о и з в е д е н н о е р а с с м о т р е н и е п о к а з ы в а е т , ч т о р е а л и з о в а т ь о п т и м а л ь н у ю п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю с п о м о щ ь ю с л е д я щ е й с и с т е м ы с ф и к сац и ей п р о щ е , чем б ез нее.
8.Синтез дискретных систем для любой последовательности
дискретных моментов времени
З а д а ч у с и н т е з а м о ж н о с т а в и т ь н е с к о л ь к о ш и р е , п о л а г а я , ч т о на с и с т е м у п о - п р е ж н е м у в о з д е й с т в у е т с и г н а л
ср ( I T ) — rn ( i T ) - } - п ( П ) ,
но о т с и с т е м ы т р е б у е т с я , ч т о б ы о н а о б е с п е ч и в а л а м и н и м у м с р е д н е к в а д р а т и ч е с к о й о ш и б к и м е ж д у ж е л а е м ы м с и гн а л о м
= H (a )m (iT ) и в ы х о д н ы м с и гн а л о м х(1Т |
в з я т ы м и |
в л ю б о й |
м о м ен т вр е м е н и t — tT-\-oT. П р и э т о м , |
в о о б щ е г о в о р я , |
д л я к а ж |
д о го з п о л у ч а е т с я с в о я о п т и м а л ь н а я и м п у л ь с н а я п е р е х о д н а я и п е р е
д а т о ч н а я ф у н к ц и и . Э т и ф у н к ц и и |
о б е с п е ч и в а ю т о п т и м а л ь н о е п р е |
о б р а зо в а н и е в х о д н о г о с и гн а л а т |
о л ь к о д л я д а н н о г о о. П р и это м |
с о в е р ш е н н о н е и з в е с т н о , м о ж н о ли р е а л и з о в а т ь о п т и м а л ь н у ю с и с т е м у
а б с о л ю т н о т о ч н о с п о м о щ ь ю и м п у л ь с н о г о ф и л ь т р а . |
В э т о м с л у ч а е |
|||
в ы р а ж е н и е д л я |
с р е д н е к в а д р а т и ч е с к о й о ш и б к и п р и н и м а е т вид |
|||
е2 ( о ) = |
|
|
|
|
|
N |
/ |
I |
\ 2 |
- / Л я г т т |
Е |
I^UT + |
, Т ) - . т ^ к ( и + ,T).f (iT-,,T)\ . |
|
i- —NI |
г,-0 |
J |
||
У р а в н е н и е , из к о т о р о г о о п р е д е л я е т с я о п т и м а л ь н а я и м п у л ь с н а я п е р е
хо д ная ф у н к ц и я , |
п о л у ч а е т с я |
те м |
ж е с п о с о б о м , ч т о |
и у р а в н е н и е |
(1 3 .3 ), |
|||
и за п и с ы в а е т с я в ви д е |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
R h' ( i T - \ - a T ) |
= |
T |
2 |
— l ^ k i i J ' + zT), |
О < / < Л / , |
(13.3') |
||
|
|
/,= 0 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЯЛ(р {iT + |
з Г ) |
= |
да (txT) h ( ixT -J—/Т -|—oT) = |
|
|
|||
|
|
= |
in (/, |
|
со |
х (.^т -Ь QT )m |
+ i t — v). |
|
|
|
Т ) Т |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
v * —со |
|
|
|
590 СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ [гл . xiti
Э т и а л г е б р а и ч е с к и е (р а з н о с т н ы е ) у р а в н е н и я м о г у т б ы т ь р е ш е н ы м е т о
д о м , |
а н а л о г и ч н ы м т о м у , |
к о т о р ы й и с п о л ь з о в а л с я п р и р е ш е н и и у р а в |
нен и й |
(1 3 .3 ). П р и это м |
п о л у ч а е т с я с л е д у ю щ е е в ы р а ж е н и е д л я о п т и |
м а л ьн о й п е р е д а то ч н о й ф у н к ц и и : |
||
|
Ф*(2' |
= |
2 ^ Г Т г)" Е 2~" |
' М * <0 ,п-1 |
dz. |
(1 3 .1 2 ') |
|||
|
ц г ц 2 -1) |
||||||||
|
|
|
|
п = 0 |
|
| г |
| = I |
|
|
где |
н о в а я ф у н к ц и я |
S ! (г, |
о ) р авн а |
|
|
|
|
||
|
|
|
S U z . 3) = |
/T0(z. c )S * m (z ). |
|
|
|||
|
В ы р а ж е н и е (1 3 .4 ) д л я м и н и м а л ь н о г о зн а ч е н и я к в а д р а т а с р е д н е |
||||||||
к в а д р а т и ч е с к о й |
о ш и б к и з а п и ш е т с я |
в |
виде |
|
|
||||
|
Еш1п (°) = |
(°Г) - |
Щ |
§ |
I ф * (*• «) I2 5 ; (г) £ |
= |
|
||
|
|
|
|
I -г |
| = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 3 .4 0 |
|
|
|
U l - i |
|
|
|
|
|
|
или |
а н а л о ги ч н о |
ф о р м у л е |
(1 3 .1 5 ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
£min (°) = |
Я/, С37) - |
S |
IP ИТ - f .Г)]’-. |
|
(1 3 .1 5 ') |
||
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
Д л я с л у ч а я ч и с т о г о у п р е ж д е н и я на в р е м я / = А Т э т а ф о р м у л а п е
р е п и ш е т с я |
в виде |
|
|
N |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/'-О |
|
|
|
(1 3 .1 6 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
П р и в е д е м р е ш е н и е р ан ее р а с с м о т р е н н о г о п р и м е р а ( с т р . 5 7 8 ). |
||||||||||
В д ан н о м с л у ч а е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S ; ( . 2) = |
e2, |
S ;i ? (z , |
о) = |
S*m ( г ) H*Q( z , о). |
|||||
Д л я |
о п р е д е л е н и я |
H*Q{ z , |
о ) п о с т у п а е м |
с л е д у ю щ и м |
о б р а зо м . Н е т р у д н о |
||||||
у б е д и т ь с я , |
ч то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н* ( . |
' j) |
|
«■ |
„,(*)' |
|
||
|
|
|
|
Я°( |
|
|
|||||
гд е |
ф у н к ц и я ЧГт |
( 2) с о д е р ж и т |
в с е |
н у л и |
и |
п о л ю с ы |
в н у т р и е д и н и чн о го |
||||
к р у г а и о п р е д е л я е т с я и з р а в е н с т в а |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
К ( z ) y : A z - l) = S * ( z ) , |
|
||||||
a W*m(z. а) |
е с т ь |
2- п р е о б р а зо в а н и е |
с |
за п а зд ы в а н и е м , с о о т в е т с т в у ю |
|||||||
щ ее |
W'm{z). |
Э т о |
с л е д у е т и з |
т о г о , ч т о |
д л я с л у ч а я |
ч и с т о й ф и л ь т р а ц и и |
|||||
|
|
|
h (IТ |
о7) = |
ш ЦТ + |
а7), |
|
||||
|
|
|
И* {z, a) = |
M*(z, а) = |
Я0*(2 , о) М* (z). |
||||||
8] |
ЛЮБЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ |
ДИСКРЕТНЫХ МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ |
591 |
||||||
где |
M*{z, а ) |
и M*(z) |
с у т ь |
2- п р е о б р а зо в а н и я |
с за п а з д ы в а н и е м |
и б ез |
|||
з а п а з д ы в а н и я |
д л я с и г н а л а |
т (t). |
|
|
|
|
|
||
|
В д а н н о м с л у ч а е |
М * ( 2 . о) = |
ЧГ*я1(21 о)1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
М*(2) = |
Г |
(2). |
|
|
|
С о г л а с н о ф о р м у л е (1 3 .2 0 ) п о л у ч а е м : |
|
|
|
||||||
|
|
|
ЧТ" (г) = В 0 |
z - b |
’ |
|
|||
|
|
|
|
|
{ z - d ) ( z - 1) |
|
|||
|
|
ip-i (z - n — |
B n___ 0 |
— zb)z___ |
|
||||
|
|
|
пЛ2 |
>— |
Л0(1 _ |
z d ) (1 _ |
г)* |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в — |
| / ~ |
A od __ |
|
2aV sh иГ — pT |
|
||
П р е д с т а в л я я |
4 ^ ( 2 ) в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
w ; „ w = B o { (z — d ) ( z — 1) |
( 2 — d) ( 2 - 1 ) }' |
|
||||||
с п о м о щ ь ю |
т а б л и ц 2- п р е о б р а зо в а н и я |
нах о д и м : |
|
||||||
|
|
up* |
|
__ |
До |
|
Д |г + 6?i |
|
|
|
|
|
|
|
|
(* — i)(2 — d) ’ |
|
||
где
== 1 — d°,
B { — da— d-\~b{ \ — d°),
C, = — b (d° — rf).
О т с ю д а с л е д у е т , ч т о
S;„ (*) Н*й {г, |
<0 |
|
Ч ' ^ " 1) < „ (* .= ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iF' (г~1) |
|
|
Ч"" (г-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 0 (A xz 3 - f B xz + |
Ci) |
[ z ---- . |
|
|
|
||||
|
* a ( l ~ d ) ( 2 - 1 ) ( 2 - d ) |
|
|
|
+ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
_ |
pV- |
f |
N |
M |
, |
l |
|
|
|
|
|
|
— |
eg |
\ |
г - 1 |
+■ z - d |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( l - |
^ - ) |
A x+ Bi + |
Ci) (sh |
p T - |
1*7-) |
|
|
|
|
|
||
N = ■ |
|
|
- ( L + l \ + - L |
|
|
|
|
|
|
|
||
( 1 - r f ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
\ c |
c } |
cc |
|
|
|
|
|
|
|
cc (1 — b) [ 1 — d — b (2tf° — 1 — rf)] (sh jx.T — jx7~) (1 — rf)3 &[1 — (c -J- c) + cc] H-3
592 |
СИНТЕЗ |
ДИСКРЕТНЫХ |
СИСТЕМ |
УПРАВЛЕНИЯ |
[ГЛ. XIII |
||||
(d - |
-J- ) (A ,d a + S , d |
+ Сг) d (sh ц Г — |
y.T) |
|
|||||
- М : |
|
|
|
|
|
|
L I 11» |
|
|
(1 — |
rf) ( d — I ) |
da - |
d ( - |
+ |
i \ |
+ - |
|
||
|
|
|
\c |
|
C / |
cc J |
|
|
|
______cc (1 — d b ) d [ d 1+a ( l — d) — b(d° + |
d'+° — 2d)] (sh |
— [iT) |
|||||||
|
b |
|
(1 — d)a [ l — d (c + |
c) + dacc] (i3 |
|
||||
В ы р а ж е н и е |
д л я о п т и м а л ьн о й |
п е р е д а то ч н о й |
ф у н к ц и и б у д е т и м еть |
||||||
т о т ж е вид , |
ч т о и (1 3 .2 4 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф . ,г 0) _ i V г(А^ + М ) - ( ^ + _ Ж ) |
|
|||||||
|
|
|
Еа |
|
Za— z (с — с) + сс |
|
|||
н о в д ан н о м с л у ч а е к о э ф ф и ц и е н т ы N и М и м е ю т д р у г и е в ы р а ж е н и я |
|||||||||
и з а в и с я т о т |
о. П р и |
о = 0 |
они |
с о в п а д а ю т |
с в ы р а ж е н и я м и , |
о п р е д е |
|||
л я е м ы м и ф о р м у л а м и (1 3 .2 3 ) и (1 3 .2 3 ') . В д а н н о м с л у ч а е п р и o ^ t O
о п т и м а л ь н а я с и с т е м а о б л а д а е т с т а т и ч е с к о й о ш и б к о й , |
т а к к а к |
|||
1 — |
d — b (2d J — 1 — |
d ) |
|
. |
Ф*(г. °)L= |
(1 — d){b — 1) |
|
* |
1 |
На рис. 13.5 приведены результаты расчета |
реакции системы |
|||
с передаточной функцией (13.24) |
на единичный |
ступенчатый сигнал |
||