Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6642 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Ммпеданц	Имнедаиц	Схема
источника	нагрузки	системы
	со	Цепь
	со		Н	4
	к		Н	4
	к
0
		'	цеп
	€	.	N	' Ш
	СО	цепь
	СО		N
	К		N
	К
СО
	z „	ЦепйГТГ*,
	z „
	СО	Цепь
	£	/V
7
^ист
	£ис*>	Цепь
	© /	Цепь
	© /		Ж
	T Lurm N		Ж

Передаточная функция, выраженная через

Zjg и Z„

Е 2 __ f-12

Е 1	Z 12
Е 2	Z X2Z H
E i	L Z + Z n Z H

h . - z

A “ z ,a

£o	Z 12Z H
A	^22 + Z H
E 2	Z]o
^"iict	"t” ^ист
£ 2	^ \ 7 н
E H	A Z + Z 22Z llCT+ Z u Z w + Z 1ICTZ /./

			Т а б л и ц а 9.4	414
			Т а б л и ц а 9.4
Передаточная функция,			выраженная через	СИНТЕЗ
		} п>	И К,3	СИНТЕЗ
		} п>	И К,3	СЛЕДЯЩИХ
§ 2 _ __	У 22			СЛЕДЯЩИХ
§ 2 _ __
£ i				СИСТЕМ
Е о	Г 12			СИСТЕМ
Е о	Г 12
А	^ 2 2 +	У Н
Е 2	У ц			ПРИ
Е 2	У ц			СЛУЧАЙНЫХ
а	ДК			СЛУЧАЙНЫХ
а	ДК
Е 2	У тч
h	м +	г п У н		ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Е 2 .		У ц		ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Е 2 .		У ц
Яист	r 22+ A K Z HCT
£ 2		У , о У И		[
Е и	ь у + у п у „ + у 2 гу н с т + у и у 1КГ			. гл
				IX

5]	СХЕМА КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА	415
ложению нулей	и полюсов: 1) все полюсы и нули должны быть про

стыми и должны лежать на отрицательной части действительной оси плоскости s, 2) полюсы и нули должны чередоваться, 3) ближай шим к началу координат, т. е. наименьшим по модулю, должен быть полюс, 4) наиболее удаленным от начала координат должен быть нуль. Условия реализации функций, представляющих входные адмитанцы Yи

и К22, отличаются тем, что в	этом	случае ближайшим к началу	ко
ординат является нуль, а наиболее		удаленным — полюс.
Передаточный импеданц Z	12 или	передаточный адмитанц К12	лю

бой пассивной цепи с сосредоточенными параметрами должен иметь простые полюсы, расположенные на действительной оси плоскости s. На нули передаточных адмитанцев и импеданцев таких цепей никакие ограничения не накладываются, и они могут лежать в любой точке плоскости s.

Лестничная пассивная цепь с конечным числом сосредоточенных элементов типа RC налагает еще большие ограничения на возможные аналитические выражения передаточной функции. Передаточная функ ция лестничной цепи типа RC должна иметь полюсы, которые являются простыми и расположены на отрицательной части вещественной оси, исключая начало координат и бесконечность, и нули, которые могут

иметь

любую

кратность,

но находятся на отрицательной части веще

ственной оси, включая начало координат и бесконечность.

Определение функций Kn (s),

K22(s), Y2t(s)

или Z n (s), Z 22(s),

Z |2 (s)

по заданной передаточной

функции.

Первым шагом в син

тезе передаточных функций цепей является определение функций

K;/(s)

или Z tj{s) по

заданной

передаточной

функции.

Передаточную

функцию

можно

определить

по формуле

(9.72)

Разобьем

знаменатель

Q{s)

на

сумму

двух

многочленов

Qt (s)

и Qo(s):

Q ( s ) — Qi ( s ) + Q2 (s).

(9.73)

На

практике

чаще

всего встречается случай, когда

/?ист = О,

a Z H= Rn =£ оо.

В этом

случае

при

/? „ = 1

ом

выражение

необхо

димо привести к

виду

KW(s):	Ео _			Yn
KW(s):	Ел			1+ ^12
	Ел			1+ ^12
Преобразуем уравнение (9.74)		к	виду
				P(s)
■KU/(s) =		-	Q, (s)
		1+		Q 2 (s )
		1+		0,(s)
Сравнивая уравнения (9.74) и (9.75), находим:
у rs) — ^(s)			у	(s)
Q,(s) *			' aaW — Qi{s)		•

(9.74)

(9.75)

(9.76)

4 1 6	СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ	[ГЛ. IX
	Существует бесконечное число различных пар функций Х12	и К 2,

которые обеспечивают требуемое отношение напряжений. При вы боре значений К,2 и К22 надо помнить, что обе функции должны

реализоваться	в виде цепи		RC.	Предъявим требование, чтобы К22
и К,2 имели совпадающие		полюсы, что			выполнимо во всех случаях.
Кроме того,	функция )	22	(S):	Q*(s)	должна иметь полюсы и нули,
				Q\ (s)

чередующиеся на отрицательной части действительной оси, причем

ближайшим	от начала	координат	должен быть нуль.
Способ	разбиения	величины	Q на	Q, и Q2 иллюстрируется па
рис. 9.33.	Если в качестве Q,(s)		и Q2(s)	используются любые много

члены с простыми чередующимися нулями, то нули их суммы Q(s) рас полагаются между парами нулей Qi(s) и Q2(sl соответственно, что

					Рис. 9.33.
и	является		критерием		разбиения Q(s) на		Q,(s)	и Q,(s).		Нули	К12 (s),
т.	е.	нули	числителя		P (s ) передаточной		функции		лестничной		цепи,
располагаются на				отрицательной		части действительной				оси,	имеют
любую		кратность и могут находиться и в начале координат и в бес
конечности.
	Синтез передаточных функций с отрицательными веществен
ными нулями. После того как						по заданной		передаточной			функ
ции KW (s)			найдены	функции К,2		и К22,	остается		по этим функциям

синтезировать четырехполюсник в виде такой лестничной цепи, с по

мощью которой могут быть реализованы	как	К22, так и	К12. Рас
смотрение таблицы 9.4 показывает, что	в	большинстве	случаев
передаточная функция определяется двумя	характеризующими функ
циями из трех (Ки, К22, К12 или Z n , Z22,	Z 12).
Лишь в одном случае, когда заданы сопротивление источника
сигнала ZIICT и сопротивление нагрузки Z„,	синтез требует		реализа

ции всех трех функций, характеризующих цепь. Однако этот случай

можно	обычно свести к		одному из наиболее простых случаев: рас
сматривая		ZHCT или Z„	как часть цепи и проводя синтез согласно
одному	из	простейших	случаев,, стремимся к тому, чтобы цепь на

чиналась и заканчивалась требуемыми сопротивлениями. Ход вычис лений заключается в следующем.' Функция / 22 может быть осуще ствлена при помощи бесчисленного множества /?С-цепей; из этого множества требуется выбрать такую цепь, которая бы одновременно

СХЕМА

КОРРЕКТИРУЮЩЕГО

УСТРОЙСТВА

417

реализовала нули функции К12, причем

после

реализации

каждого'

нуля

К12, остающийся

импедаиц и адмитанц должны также

удовле

творять

условиям

реализации

в виде

цепи

RC.

Реализацию

функ

ции K22(s) будем осуществлять,

начиная

с выходных зажимов четы

рехполюсника

2— 2'

по направлению

входным

зажимам

1 — I'.

Если

функция

Y22(s)

содержит

нуль s — — а,

являющийся

одно

временно

нулем

K12(s),

то первым

шагом

при синтезе /?С-четырех-

полгасника будет такая

реализация

этого

нуля K22(s), при

которой

реализуется

также нуль

s = — а

функции

K12(s).

Рассматриваемый

нуль

может

быть

реализован

помощью

последовательной

ветви:

	б)
Рис. 9.34.	Рис. 9.35.

лестничного /?С -четырехполюсника(рис. 9.34), имеющей импе-

данц Z l (s) с полюсом s =			— а, т. е. Z X= K/			где К — вычет
функции Z x — К! {s-\-a)		в	точке	s = — а.	Импеданц		Z x(s)	легко
может быть	реализован	в	виде	параллельного		сопротивления R
и емкости С (рис. 9.35), вычисляемых по формулам:
Если же	функции / 22	и	К12 общего нуля		не	имеют,	то с	помо

щью введения на выходе четырехполюсника			параллельной		ветви,
имеющей адмитанц К2, необходимо образовать			для функции	^22 нуль,
совпадающий с	одним из нулей функции	Yl2.	Адмитанц	К2,	легко
реализующийся	с помощью элементов R	н С,	может быть	равен или

положительному числу Y2= Ъ, что соответствует включению на вы ходе четырехполюсника параллельного шунтирующего сопротивле

ния	R = l / b	(рис.	9.35, а),	или адмитанцу вида Y2 = Kxs/ ( s	п)\.
что	соответствует		параллельной ветви в виде последовательного
соединения		сопротивления R		и емкости С (рис. 9.35, б), вычисляе
мых по формулам			R — l/Kx, C — KJn. Оставшаяся после реализации
адмитанца К2 функция Y' — Y22 — У2, представляющая собой входной
адмитанц четырехполюсника со стороны клемм 3— 3' (рис. 9.35, а,					б),

должна удовлетворять условиям реализации в виде /?С-цепи и иметь, нуль, совпадающий с нулем K12(s). Допустим, что общим нулем функций27

*) Стрелка на рисунке показывает направление, в котором производится реализация передаточной функции.

27 Зак. 1083. В. В. Солодовников


4 1 8	СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ									[ГЛ.	IX
Y '(s)	и 7,2(s)	является	s = — а.		Тогда,	реализовав	этот		нуль		за
счет последовательной			ветви	на	выходе	четырехполюсника,				имею
щей	импеданц	Z2 — K2/s + а,		проверяем,		удовлетворяет		ли	входной
импеданц четырехполюсника				со стороны		клемм 4— 4',		т.	е.	импе-
данц	Z" = Z ' — Z., оставшийся				после	реализации	нуля		s = — а

-(рис. 9.36), условиям реализации в виде /?С-схемы !). Если эти усло

вия выполняются,

то

точно

таким

же

образом

реализуем другой

.нуль Zl2(s) и т. д.

оставшуюся

после

реализации

всех

нулей

функ-

Функцию

Z mn,

ции K12(s),

реализуем

одним

из

известных

способов в виде

лестнич

ной /?С-структуры.

Один

“

такой

способ

иллюстри

J -

руется

приводимом

ниже

, _ ГУ;

числовом

примере.

НЬ

П р и м е р

Д |1 С Т ------ 0 |

Zn ——/?ц — 1 ом,

I С-*.

с т ' «

= | =

Рис. 9.36.

s +

0,5

s0 + 9s* + 23s+ 15'

Определив корни характеристического уравнения Q(s) = 0, получим:

	KW (s)	s + 0,5
	KW (s)	( s + l)( s + 3)(s + 5) '
		( s + l)( s + 3)(s + 5) '

Выбираем функцию Q, (s) так, чтобы ее нули чередовались с нулями ■Q(s), что является критерием разбиения Q на Qt и Q2:

Ql =	± ( s + 2)(s-\-4)(s + ( > ) = ^ + W - + - n s		+	l2.
Множитель 1/4 введен для того, чтобы многочлен Q2(s) =			Q (s)— Q,(s)
также имел	действительные отрицательные корни.	Для		Q2 имеем:
	Q2 = Q — Q1 = -\|-s3-l- 6s2 —t—12s+	3.

Корни уравнений Q1(s) = 0 и Q2(s) = 0, как и должно быть, чередуются между собой.

1) Функция Z' = l/K'(s), как и любой другой импеданц ЯС-схемы должна представлять собой рациональную дробь, нули числителя и знаме нателя которой перемежаются, а ближайшим к началу координат должен

■быть полюс.

5]				СХЕМА КОРРЕКТИРУЮЩЕГО					УСТРОЙСТВА		419-
	Определяем			У12 и	К22:
у	__ Q2(s)			s3 +	6s2 +	12s +	3	3	(s + 0,29) (s + 2,81) (s +		4,89)
у	__ Q2(s)		__4					3	(s + 0,29) (s + 2,81) (s +		4,89)
'22 --- /-1			1				6) .		r(s + 2)(s +	4)(s + 6)	t-
	22	Qi (s)	^1( s + 2) (s + 4) (s +				6) .		r(s + 2)(s +	4)(s + 6)
		P(s)			4(s +	0.5)
Kl2— Qi (s) —				(s +	2)(s + 4)(s + 6) '
	Будем теперь реализовать У22 с помощью такой /?С-схемьг,.
которая		попутно реализовала бы ’ нули							У12. Если бы функция К22.
содержала нуль				S — — а,		являющийся			одновременно	нулем	У12, то

первым шагом была бы реализация этого нуля / 22 (и, следовательно, нуля У12) при помощи последовательно включенного импеданца,.


имеющего	полюс		в рассматриваемой		точке		s — — а.	Этот шаг за
ключается	в	следующем.		Из импеданца		Z22 — l/K ^		вычитаем		импе-
данц вида	Z l — K/(s-\-a).			К — вычет функции Z22 в точке s =						— с-
Импеданц такого			вида может быть реализован с помощью параллель
ного соединения			R и С;	R = Kja\	C = \ j K .		Убеждаясь затем, что’
функция	Z' — Z22 — Z y,			оставшаяся после реализации нуля У12 при
s = — а,	удовлетворяет условиям реализации в виде цепи RC,
реализуем	остальные нули У12, если они имеются.							Если же функ
ция У12 имеет всего лишь один нуль,						то	реализуем		оставшуюся
функцию	Z'	любым способом в			виде	лестничного			/?С-четырех-

полюсника.

График У22 в функции действительных отрицательных значений s


показан на рис. 9.37, а. Ни			один из нулей У22 не совпадает с нулями
Sj = — 0,5; s2 — оо; s3 =		oo	функции У12.			Поэтому при реализации
наименьшего	по модулю	нуля		Sj =	— 0,5	функции	K12(s) первым
шагом будет	образование	нуля		при	s =	— 0,5 для	функции К22.

Подсчитаем	значение		К22 при s =		— 0,5:
Так как	эта величина отрицательная, образование								нуля функ
ции У22 в точке		s — — 0,5		путем вычитания			из К22	положительной
постоянной	(проводимости) невозможно. Рассмотрим другой способ
образования	нуля	У22 при		S — — 0,5,		сводящийся		к	перемещению
нуля К22 из	точки		s = — 0,29 в точку			s =	— 0,5;	он заключается
в выделении	и реализации некоторой части функции У22 для по
люса s = — 2.
Примем	эту часть К22 в			виде	Yy = KySfts		т.	е.
				__	Kis
				1 — s + 2 •

27*

4 2 0

СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ. IX

Рис. 9.37.

5] СХЕМА КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА 421

Адмитанц такого вида может быть реализован при последовательном

соединении сопротивления R и емкости	С, причем	= 1
с = кх\ь.
Найдем такое значение Л+ для которого
	= 0.
s	= -0,5

Подставляя значение s, имеем — 0,22 -f-K+3 = 0, т. е. /<\ = 0,66.

Искомая часть К22, следовательно, будет:

0,66s

5+ 2 '

Реализация У22 начинается с -синтеза шунтирующей ветви с адмитанцем Ку и расчета остающейся функции адмитанца

' ^

v - Y ^

2,34 (s + 0,5) (s +

2,13) (s + 4,81)

(s + .2) (s +

4) (5 +

6 )

График Y' приведен на рис. 9.37, <5".

Рассматриваем

далее функцию

(рис.

9 .3 9 ,в)

7 / ______________ (s +

2) (5

4) (s +

6)_____

Г ~

2,34 (s +

0,5) (s*+ 2,13) (s +

4,81) 1

Выделим

из

нее

реализуем

часть,

соответствующую

полюсу

5 =

— 0,5;

тем

самым

будет

реализован

нуль

функции

К12 в точке

s =

— 0,5.

Для

этого определим

вычет функции

Z ' для

s =

— 0,5;

он

оказывается

равным

1,76.

Вычислив

составляющую импеданца

•7

1,76

о,5 ’

соответствующую

этому полюсу,

получим остаток в виде

Z" — Z' — Z,

s* +

7,4s +

11,9

(s + 2,36) (s + 5,04)

2,3452+

16,3s+ 24 ~

2,34 (s +

2,13) ( s +

4,81)

’

График Z" приведен на рис.

9.37, г;

из

него видно,

что

функ

ция Z" удовлетворяет условиям реализации в виде цепи RC.

Двукратный

нуль 5= — оо функции

К12 реализуется попутно при

реализации

оставшейся

функции

Z" {Ь)

в виде лестничной цепи.

Функция Z",

подлежащая

физическому

осуществлению в виде лест

ничной цепи, представляет собой дробно-рациональную

функцию.

Эту

функцию

можно представить

в виде

непрерывной дроби

путем

последовательного деления. Для этого числитель Z" необходимо

разделить

на

знаменатель

и представить

как

сумму

частного и

единицы, разделенной

на

обращенный

остаток.

Ту же

процедуру

422 СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ [ГЛ. IX

нужно произвести затем над стоящим в знаменателе обращенным

остатком и т.

д.

Тогда

получим:

Z" =

0,43

:0,43-

2,34sa +

16,3s +

3,9s-

0,6s + 1,7

0,6s +

1,7

9,7s +

0,43 +

3,9s +

0,062 ■ 9,75s +

0,2

0,43-

3,9s -

0,062 +

____ 1_

48,5s +

0,835 • 10- 2

Функцию

Z" [s'),

представленную

в виде

непрерывной

дроби,

легко реализовать лестничной цепью RC. Сначала реализуется импе-

данц

0,43,

затем

адмитанц 3,9, далее

идет

импеданц 0,062

и адми-

танц

48,5.

Цепь

заканчивается

импеданцем

0,835 • 10-2

и содержит

два

параллельно

включенных конденсатора

(рис. 9.38).

Замыкая синтезированный четырехполюсник на нагрузочное сопро

тивление, имеющее величину 1 ом,

получаем

требуемый

четырехпо

люсник,

показанный

на

рис.

9.39.

Величины

сопротивлений даны

3.52

в омах, величины

емкостей — в

фарадах.

Если

нагрузка равна не

одному ому, а, например,

одному

килоому, то надо величины всех

сопротивлений

увеличить

1000

раз, а величины

всех емкостей —

уменьшить в

1000

раз;

при

этом

полученный

четырехполюсник

(рис. 9.40) будет описываться той

же

заданной

передаточной

функ

цией.

2. ZIICT =

Z H=

RH=

1 ом.

П р и м е р

.л

-P(s)

(s +

0,508) (s +

8,3) ( s + 16,7) (s + 1 0 0 )_

A w w — Q (s)

—

(s + 0,017) (s + 23,6) (s + 198,66) (s + 301,5)

Выбираем Q^s):

Qt (s) = 0,1 (s +

0,03) (s +

70) (s +

250) (s + 350).

5]	СХЕМА КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА	423
5]

Тогда полином Q2(s) будет иметь следующий вид:

q 2(s) = Q (s) — Q i(s) =

== 0,9 (s + 0,007056) (s 4 - 15,438) (s -j- 192,642) (s + 299,447).

Принимая во внимание, что корни уравнений Qj(s) — 0 и Q2(s) = 0 удовлетворяют правилу чередования нулей, что является условием, необходимым для реализации заданной передаточной функции в виде /?С-четырехполюсника, находим Y22(s) и У12(s):

„	, N	Q2(s) _	9 (s +	0,007056) (s + 15,438) (s + 192,642) (s +			299,447)
>22Is) — Qi (S) —				(s +	0,03) (s + 70) (s + 250) (s + 350)
u	/	p ft) —	ft +	°-508) ft + 8'3) (* + 16'7) ft +		10°)
r 12 W — Qi (s)			0,1 (s + 0,003) (s + 70) (s + 250) (s +			350) ’
	Из	рис. 9 . 4 1 , а, б		видно, что нуль K12(s) в точке			s — — 100
можно		образовать	простым		вычитанием положительной		постоянной
(сопротивления) из			Z22{s) =		1/K22(s).
					3520

Рис. 9.40.

Реализация Y22(s) начинается с синтеза последовательного сопро

тивления

__100=

Z l =

Z 22

0,08

и расчета остающейся

функции

7/ __

0,28 (s + 0,0326) (s +

100) (s +

275) (s +

712)

Z 1 — 9 (s + 0,007056) (s +

15,438) (s +

192,642) (s +

299,447) ‘

На рис. 9.41, в, г приведены функции Z ' (s) и

Y' (s) — l/Z ' (s).

Из

этих

графиков

видно,

что

функции K'(s)

и Z '(s)

удовлетво

ряют условиям реализации в виде цепи

RC. Выделим из

K'(s)

пол

ностью

полюс

s = — 100.

Для

этого,

определив вычет /'( s )

для

s = — 100,

вычитаем

составляющую

адмитанца

Y2 = Kxs[(s-{- 100).

Коэффициент Кх определяется из

уравнения

1" ( s) U - i o o - ^ L . Uo = °.

т. е.	— 470-\-К х - 100 =	0, откуда /С1 = 4,7.		Реализовав		шунтирую
щую	ветвь с адмитанцем	K2= 4,7s/(s-\|- 100),		получим остаток
	Y" = Y' — Y2	27,4 (s	+ 0,0007) (s +	36) (s +	289,3)
		(s +	0,0326) (s + 275) (s +		712)	*

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6642 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ