Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 6632 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

3 1 0 СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII

Подставляя (7.233) в (7.232), получим обычную вещественную

форму

интеграла

Фурье:

СО

Р (t) =

1“[U (ш) cos tto — V (ш) sin tto] dtо

или

Р ( 0 — Pcos ( 0

Pslll ( t ) ,

(7.234)

где

оо

Pcos ( 0 =

- ^

и ( ш) cos t m d t o ,

— СО

(7.235)

оо

Psin (0 =

—

т^г

V (ш) sin tto dto.

Для

определения

вида

функций

pcos (О-

PsinW ПРИ ^ > 0

можно

воспользоваться

приближенным

методом

вычисления

интегралов

вида

(7.235),

основанным

на

представлении

кривых

U (ш), V (ш)

виде

суммы

трапецеидальных

частотных

характеристик (см.

гл.

12).

шаг.

Нахождение

оптимальных

частотных

характе

Т р е т и й

ристик.

Последний

шаг,

по существу,

состоит в том,

чтобы найти функцию

СО

В (Уш) =

(0 dt

(7.236)

по

заданной кривой

р (0

при

рассмотренной

Очевидно,

что

эта

задача

аналогична

гл. I

задаче определения частотных характеристик по соответствующей

им импульсной переходной функции.

Итак, пусть

В (Усо) =

Рв О ) +

JQb О ) .

(7.237)

причем, как это

ясно

из

(7.236),

ОО

р в (u)) — f

р (f)cosutf dt

(7.238)

СО

QB(ш) =

— J

р (t) sin tot dt.

Очевидно,

что

вид функций

Р в ( ш)< Фв(ш)

можно

найти,

разло

жив р (t) на трапецеидальные составляющие и воспользовавшись фор мулами (1.128), (1.134).

17] ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕД. ФУНКЦИИ 311

После того как функции Яд(ш), Qb (ш) найдены, оптимальные частотные характеристики могут быть определены при помощи фор мул, вытекающих из

Л(ш) = ------- а Гм -------	(7.239)
Л(ш) = ------- а Гм -------
и
Г Од И	(7.240)
Т (ш) == «Рц.H + arctg . рв(*)	(7.240)

Пример. Для пояснения изложенного метода рассмотрим пример. Предположим, что кривые спектральной плотности сигнала Sm (ш) и

помехи S,, (ш) имеют вид, изображенный на рис. 7.9, причем будем считать, что их аналитические выражения неизвестны [на самом деле для удобства


последующей оценки точности результатов эти				кривые построены в соот
ветствии с формулами (7.60)		при тех же численных значениях коэффициен
тов, что и ранее].
Задача состоит в приближенном определении вида функций А (со), <р(оз).
Складывая ординаты		кривых Sm(u>)	и	S n (ш),	найдем	5? (ш)
(см. рис. 7.10).
1)	Построим амплитудную частотную характеристику Д^ш), соо
ветствующую функции Ф’(у'ш) по кривой			S ? (m) на		основании	соот
ношения А \ (to) = Sf (ш),

3 1 2

СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕЙ ВЛДРЛТИЧЕСК ОЙ ОШИБКИ [гл . VII

2) Найдем фазовую частотную характеристику срф(ш). Для это построим кривую

Лф(«о)=101£ S?(ш) = 20 lg Лф(ш)

и аппроксимируем ее прямолинейными отрезками так, как это пока зано на рис. 7.11.

Следуя теперь методу, изложенному в § 17 гл. 1, представим Ь^(и>) в виде суммы нескольких полубесконечиых прямых с различным

наклоном. Указанное построение произведено на том же рис. 7.11, в левом его углу, причем для каждой полупрямой указан соответ ствующий ей коэффициент наклона.

Фазовые характеристики, соответствующие этим полубесконечным прямым, могут быть найдены при помощи приводимых в приложении

таблиц,	содержащих значения		фазы для	полубесконечной				прямой
с «единичным» наклоном (20		дб на декаду).			Если	наклон		полубес
конечной	прямой отличается	от	«единичного»		в k	раз,	то	значения
фазы, взятые из таблицы, нужно умножить на k.							характери
Найденная указанным способом фазовая частотная
стика срф (со), соответствующая			функции	Чг(у'ш),		изображена на
рис. 7.12.

17] ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕД. ФУНКЦИИ 313

3) Найдем функции U (ш) и V (со), определяемые формулой (7.12 при помощи соотношений

(7.241)

Эти функции изображены на рис. 7.13. 4) Вычислим р(О-

Для этого аппроксимируем U (ш) и V (<о) сопрягающимися прямо линейными отрезками так, как это показано на рис. 7.13, и вычи-

ц>у,(ш)=агдЧ^ь>)

				Рис. 7.11.
слим функции	Pcos (0.		psin (Q.		определяемые (7.235) при помощи
формул
О	,А	1	V	/	sln ш1( \ ( s,n V \
Pcos (0 =		-	2 j

i m l

1= 1

где через xt , со,, Д, обозначены параметры трапеций, численные зна чения которых приведены на рис. 7.13.

ш , -V{(o)

0,20 А\-

0,15

“ \ 1

	VКиЦ
0,10	пл

УS

г\

005 7.	Л ,ч
7	\

s*sSV -V1ш1

	f y f j Z r o t u i + j v m
ш ]	Ш ш )	Ш1	Vfai)
U 1и , ш		и '	и.иии	ц	0,082	0,059	0,054	0,0165 [0,0075
8	6,204	2 6	-00805	ш ,	25	63.5	126	2 3 3 ,5	11400 Uluij
42	0.122	43	-6.0805	щ	!7	21.5	41	61,5	700

85	6,063	130 -0.024
187	0000	200 -0015			г	5 -0.009	■ о т	■0,006
100-0.0075		700 - 6 т	Тс		г
100-0.0075		700 - 6 т	Тс	0,0805
2100	0.000	2100 0 000	6с	/3---1чСЧэ-^		35	250	700
7С0 -00075		2100 0 000	ш ,	13		165	4 50	1400 Vtu/I
	1		1	1	1			J
			1 1	1	!			\
	—		-- ---’---1					1
	—		-- 1--	-- 1--				1
					1

---1

——

гоо

300

500

600

700

Рис. 7.12.

800

ОШИБКИ СРЕДНЕЙВЛДРАТИЧЕСКОЙ МИНИМУМУ ПО СИНТЕЗ

.ГЛ[

17] ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕД. ФУНКЦИИ 315

316	СИНТЕЗ	ПО	МИНИМУМУ	СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ	[ГЛ. VII
Для	вычислений		по этим	формулам следует пользоваться табли-
,	„	sin jc	cos х	•	,
нами функций —- — , —- — ,				приведенными в приложении	1.
График функций			Р (0 —	Pcos ( О - И sin(О
			Р (0 —	Pcos ( О - И sin(О
приведен на рис. 7.13.
5)	Найдем вещественную Рв (ш) и мнимую QB (to) частотные хара
теристики, соответствующие функции В(у'ш).

Рис. 7.14.

Для этого аппроксимируем кривую (3(0 на рис. 7.13 сопрягаю щимися прямолинейными отрезками и, пользуясь методом трапецеи дальных составляющих, вычислим Рв (и>) и <2в (ш) по формулам

i = 1

<3aw = iw ,[ ( ^ ) ( ^ ) - i ] -

где через kQi, tt, Дг обозначены параметры трапеций, численные зна чения которых приведены на рис. 7.13.

Полученные кривые Рв {т), QB(tи)		приведены на рис. 7.14.
6)	Найдем Л(ш), ср(ш) при помощи формул (7.239), (7.240), по
зуясь	графиками кривых на рис. 7.10,	7.11, 7.14. Полученная	опти

17] ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕД. ФУНКЦИИ 317

мальная амплитудная частотная характеристика приведена на рис. 7.15. На том же рисунке для сравнения приведена оптимальная амплитуд-

4(0))

V.	нпилишииаспи
\V	нпилишииаспи
	„1	1	1	1
	Графически
-\
- \
\				—

\ч«.

\у

. чч ' К ® (рормиле 7.136

(] го	60 т140 т	ж	т зоо	гоо	ж
			Рис. 7.15.
ная частотная	характеристика,		вычисленная	аналитическим	способом
на основании формулы (7.130)			для оптимальной передаточной функции.
Напомним, что формула (7.130) была получена для тех же спек
тральных плотностей, что		и в рассматриваемом нами сейчас примере.

Ч>М

На том же рис. 7.15 изображена пунктиром амплитудная частотная характеристика, определенная по формуле (7.136), не учитывающей условия физической осуществимости.

318	СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII

Фазовые частотные характеристики, соответствующие амплитудным частотным характеристикам на рис. 7.15, изображены на рис. 7.16.

Заметим, что среднеквадратическая ошибка, соответствующая гра фически найденным характеристикам, получилась равной 0,565, между тем как аналитический способ дает 0,572. Среднеквадратическая ошибка, получаюлщяся без учета условия физической осуществи мости. равна 0,492.

18. Прибор для определения оптимальной импульсной переходной функции')

Выше был изложен метод определения оптимальной передаточной функции системы по заданным спектральным плотностям управляю щего и возмущающего воздействий. Отмечалось, что этот метод неприменим в тех случаях, когда статистические характеристики воз действий заданы в виде кривых, полученных в результате соответ ствующей обработки экспериментальных данных, и, следовательно, их аналитическое выражение неизвестно. Упомянутый метод нера ционален также в тех случаях, когда спектральная плотность с над лежащей степенью точности может быть представлена дробно-рацио нальной функцией высокого порядка. В указанных случаях может быть применен графоаналитический метод, изложенный в § 17 настоя щей главы. Однако использование графоаналитического метода сопря жено с трудоемкими вычислениями и графическими построениями. Отсюда вытекает целесообразность создания специального вычисли тельного устройства для автоматического определения динамической характеристики оптимальной системы. При этом следует иметь в виду, что статистическая обработка записи случайного процесса (т. е. полу чение корреляционной функции) может быть выполнена при помощи коррелятора. Полученные коррелограммы представляют собой кривые, аналитическое выражение которых неизвестно. Поэтому желательно, чтобы вычислительное устройство определяло оптимальную импульс ную переходную функцию системы именно на основе этих экспери ментальных кривых.

Вычислительное устройство должно автоматически решать инте гральное уравнение (7.14):

(7.14)

1) Описываемая вычислительная машина разработана Ю. С. Вальден бергом под руководством автора. См. В а л ь д е н б е р г Ю. С., О прин ципах построения специализированной математической машины непрерыв ного действия для решения интегральных уравнений. Труды совещания по автоматическому управлению и вычислительной технике, Москва, Машгиз,

1958.

18] ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХ. ФУНКЦИИ 319

Уравнение (7.14) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода с ядром типа свертки. Ядром типа свертки называется' такое ядро, которое зависит лишь от разности аргу ментов:

/?(х. Х) = Я(х — X).

(7.242)

Ниже кратко излагаются основные принципы построения вычи слительного устройства, решающего уравнение (7.14) по экспери ментальным данным. Устройство является специализированной быстро действующей электронной математической машиной непрерывного действия с импульсным представлением величин.


Методом решения интегральных		уравнений, положенным в основу
описываемой машины, является так		называемый метод последователь
ных приближений — метод	итераций. Метод итераций очень удобен
для приборной реализации	в силу единообразия математического

алгоритма. Суть метода итераций заключается в том, что в качестве искомой функции k (I) используется последовательность функций, каждая из которых является улучшенным видоизменением предыдущей. Процесс вычислений закончится тогда, когда получающаяся после дующая функция k(t) уже не будет практически отличаться от пре дыдущей. Это говорит о сходимости итеративного процесса. Ниже будет показано, что в описываемом случае итеративный процесс сходится к решению интегрального уравнения.

Ядро уравнения (7.14) представляет собой корреляционную функ цию. Известно, что корреляционная функция случайного процесса является симметричной положительно определенной функцией. Отсюда следует, что

ооСО

		/ /	R (х. X) со (х) ш (X) dx dX > 0,			(7.243)
		0 0
где	ш(т) — произвольная			функция,	не равная тождественно нулю.
Легко показать,		что интегральное уравнение первого рода с ядром,
удовлетворяющим		условию (7.243),			имеет единственное	решение
(если решение существует).				Единственность решения делает возможной
замену интегрального			уравнения системой алгебраических уравнений,
т. е.	замену интеграла суммой. Для случая приближенного вычисления

интеграла по формуле прямоугольников мы можем заменить уравне ние (7.14) следующей системой:

	П	х
ЯЛ9 (х,) — ДX 2		л в (*\|. х.) k (Х;.) =		0,	г =	1 ,2 .........и,		(7.244)
	/=1	'
где ДХ =	— — **■. \		1.	Здесь	Хшах,		ттах — конечные, но
достаточно большие значения аргументов,						при	которых	функции
7??(т, X) и Rh9(т)		практически мало отличаются от нуля. Такое зна
чение всегда	существует, так		как R(oo)—>0.

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 6632 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ