книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

2 0 0

ПРОХОЖДЕНИЕ

СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ.

СИСТЕМУ [ГЛ. V

где

x ( t ) — угол

поворота

антенны;

ks — постоянный

коэффициент;

Та — постоянная

времени

якоря

двигателя

и продольной

оси

ЭМУ;

Т — постоянная

времени

поперечной

оси

ЭМУ; N — передаточное

число редуктора.

Связь между

напряжением ev (f)

на

выходе мостика

8 и угол x(t)

имеет

вид

^ \еУ(0]

---£ s TvS 4~ 1

(5 ос\

L [х (01

“ '

v

Txs + Г

где

kv — постоянный коэффициент

Rm

( £

) *

Т

v ~

Ra + Rm + Rc

1 п>

а '

причем (рис.

5.10)

Rc —

— ^ 3 +

R a —

Rz-

Передаточная функция фильтра

9 цепи обратной связи (рис.

5.11):

L \ef

CQ] _

______

RoC^RiCjS2

s +

1^

__________________

t v (') ]

/ ? jC ] S ^ 2 ^ 2 ^ +

1

s -f- 1j

-)- R iC o S

+ 1

или

L\ef {t)]

7 7 Ш ( Г^

+ 1 )

’

(5.37)

L\ev(t)]

{т* + 1) Ш + * к + 1]

где

а величины

7\,

шп> С могут быть

найдены

в результате

разложения

знаменателя

на

множители.

Из (5.35)

**

L[x(t)]

N

(5.38)

s ( r os + l ) ( V + l )

Из (5.33)

■=

(7 > + 1 )(7 > + 1)*

(5.39)

3]

ОБЩЕЕ

ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОШИБКИ

201:

Из (5.36)

и (5.37)

k v ^ L s ( ± . ) \ T vs + 1 ) ^ + 1)

L\ef m =

-------

г/-ттз--------s~------Г - М * ( 0 1.

(5.40)

<г‘5

+|»[Ш+2С4 +']

Подставляя (5.38),

(5.39),

(5.40) в (5.34), найдем:

s ( Та$ - } - 1 ){Т qS - } - 1 )

L-[*{£)]=

(7<cS +

и ъ .

i[e(01 —

^

1)(7^ _ |_ 1) (7-^_|_1)

С.У

N

к , к ,

! T , s + 1) ( T L3 + 1)

(7-с 5 + 1)(7-15 +

1 )[( £ ) г + 2сА +

L \x (t) ],

(5.41)

1]

ИЛИ

7 - I х ( 0 1

TS 1V / / с \

( s )

(5.42)

т т г т г - * 0* {

1 + г 22ы •

где

Kv

1) {Trs +

ip

(5.43)

Yu(s) =

- s (Tas + 1) (Tqs + 1) {Tcs + 1) (Tds +

причем

(5.44)

К* =

Щ

3-.

(5.45)

Ki2 =

kjkvks.

(5.46)

В

дальнейшем мы предположим,

что Kv — 200 сек~1;

K2i — 20;

7 \ =

0,558 сек;

шп =

3,8 рад/сек;

T i =

„

=

0,253 сек; Та— 0,11 ceK;Tv =

0,022 сек;

2

Тq — 0,02

сек\

7^ =

0,013

сек;

Тг =

•----- 1|—^ ----- -----

=

0,01

сек;

Тс — 0,002

сек;

Тх =

§

=

0,0017

сек; С„ = 0,608.

1

Л

Подставляя (5.42) в (5.32), найдем:

С

Ф (уш) :

1 +

Yii( > )

-

—

*-

i*»

и

I'll (У") + > '!!(» '

<5'4?)

Итак,

передаточная функция

Ф (Jш)

нами

Ри с . 5.11.

найдена.

Для того

чтобы

найти

квадрат ее модуля |Ф(у'ш)|2,

входящий

Э

(5.31),

воспользуемся

амплитудно-фазовой

характеристикой

4]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

203

В результате мы получим:

с = У & = 0,099°.

.

(5.48)

трично

относительно мнимой оси, так как это выражение представляет

собой четную функцию от со. ПерейДем теперь к спектральной плот­

ности

S m( с о ) .

ставляет собой дробно-рациональную функцию, то

она

может быть

всегда представлена в виде

произведения двух множителей 5 и ( с о )

и Оц(ш). один из которых,

скажем Su (co), имеет

нули

и полюсы,

полуплоскости, а другой множитель,

Оп (ш),

имеет нули и

полюсы,

совпадающие с нулями и полюсами S m( с о ) ,

расположенными

в •ниж­

ней полуплоскости:

s m( ш ) =

( с о ) G u ( с о ) .

2 0 8

ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО

СИГНАЛА ЧЕРЕЗ

ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V

Заметим, что

так

как

знаменатель

в (5.58)

есть

четная

функция

от со, то в числителе

необходимо

учитывать

лишь

четные

степени

от

ев, поскольку

/

ojSft+l dm

0,

k = 0,

1, 2, 3, . . .

Я(со)Н{— со)

Из сказанного ясно, что

вычисление среднего значения квадрата

ошибки всегда может

быть

сведено

к вычислению

интегралов вида

/ П

I

Gn («О

rf(B ,

(5.59)

Ип (“) На (— <о)

где

Ял(св) =

а0свп +

а 1св'1- 1+

. .. +

а„,

(5.60)

о„(ш) = V 2"-2 + V 2n_4-1-

Ч~bn-u

и все корни Нп {св) расположены

в верхней

полуплоскости.

Интеграл (5.59) может быть вычислен

для любого а

в явном

виде без необходимости вычисления корней

\ t.

Мы не будем

здесь

подробно

останавливаться

на общем методе

многочлена Н { св)1). Приведем лишь

окончательный

результат в виде

таблицы,

содержащей значения / л, выраженные

в

явном

виде через

коэффициенты

а0, аи . . .

и b0, blt . . .

для всех

значений

п

от п = 1

до п = 7

(см.

приложение IV). Кроме того, мы поясним

изложенный

способ вычисления е2 на примере.

П р и м е р .

Рассмотрим следящую систему, передаточные

функции

которой имеют вид [см. формулы (1.188),

(1.189)):

Ф ,(» =

J ‘ (Td» + 1)

T iU »)11+ V + KTj) ju +

к

(5.61)

Ф (>)) =

K ( T J co + 1)

'/'eO“)a+ (1 + K T 1)j« + K

Предположим, что на вход следящей системы поступают полезный

сигнал т (/) и помеха п (I).

сигнала возьмем сигнал,

производная

которого

В качестве

полезного

некоторого

промежутка

времени, после чего скорость его изменения вне­

запно испытывает скачок

и сохраняет другое

постоянное значение в тече­

ние следующего интервала и т. д.

!) Читатель, интересующийся этим методом, может подробно ознако­

миться с ним по работам:

Б у л г а к о в Б. В.,

Колебания, Гостехиздат, 1949;

Д ж е й м с

X., Н и к о л ьс

Н., Ф и л л и п с

Р., Теория следящих систем,

ИЛ, 1951.