Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 6634 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

330	СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII

Ошибку е(/) преобразования управляющего воздействия или полез ного сигнала y(t)

	е (/) =		h (0 -	х (0 =		Н ( р ) у (0 -			х (0		(8.9)
можно представить		в	виде	двух составляющих: неслучайной,							или,
как мы условимся		говорить, динамической,
						т
	е?(0 =				f	g (t — т) к (т) dx					(8.10)
и случайной					о
и случайной				т
				т
em +nW= ^(P) '»(0 — f					[til ( t — -t) -f- П (t — t)] k (x) rfx.						(8.11)
				0
Потребуем, чтобы неслучайная ошибка eff(0> определяемая (8.10),
равнялась нулю:				ег (0 =		0.				(8.12)
				ег (0 =		0.				(8.12)
Тогда, разлагая в (8.10)				функцию g{t — т)					в ряд
=			+	- ^ г ( 0		-				(8.13)
п учитывая	(8.12),	получим:
н (р) ё (О=	Нё (О -		(О +			-		■ ■ ■ + ( - 1 / тг		(0.
где											(8.14)
где			г
			г
	р , =	J x yk(x)d-с,			v =		1,	2..........г.			(8.15)
		о
Тождество (8.14)			определяет		значения			первых /- —)—1 моментов
р0, р ,......... р,	оптимальной импульсной переходной функции через пре
образующий оператор Н{р). Поэтому							в дальнейшем будем			считать
эти моменты, определяемые (8.15), заданными величинами.
Таким образом (8.14) накладывает г —(—1 ограничивающих										условий
на импульсную переходную функцию k ( t ) .
Так, например, если
	Н {Р ) = Р			и h(t)=zpy(t) = y(t).							( 8. 16)
то мы должны иметь:

ё (0 = Y-Оё(О - ы (0 + • • • + ( - 1 / 7 f ё {г] (0

2]	ПОСТАНОВКА			ЗАДАЧИ		33 1
или	К> = 0,
	К> = 0,
		т
	о					(8.17)
	P'2 — О-
	рг = 0.
Точно так же, если						(8.18)
то	h{t) = y { t - t Q),					(8.18)
то
g ( t - t0) г Ng (t) — Pnif (О +				• • •	+	( - 1 У тт S[r) (0.
но
g V — 10) =	g (t) о(0 +		2 Г ^ ( 0 -			+ ( - 1 ) г т г ^
и, следовательно,		т
		т
	Р о =	/	* ( т ) d x		= =	1 ,
		о .
		т
	Р1=	J	х/г (х) dx =		t0,	(8.19)
		О
		т
	pr =	f	irk (х) dx =		trv
		о
Резюмируя,	постановку задачи можно сформулировать следующим
образом.

По заданным корреляционным функциям Rm(х), Rn(y) стационар ной случайной составляющей m (t) полезного сигнала у(() и стацио нарной помехи n(t) найти импульсную переходную функцию &(/), удовлетворяющую условиям (8.3), (8.4), так, чтобы среднее значение квадрата случайной ошибки е? (/), определяемой (8.11), имело мини

мальное	значение, совместимое с условием (8.12)		или	вытекающим
из него	условием (8.14) равенства нулю динамической			ошибки eg (t)
преобразования		составляющей g(t ) полезного сигнала		у (1)	в соот
ветствии с законом преобразования (8.5).
Или,	короче,	найти импульсную переходную функцию k(t),			обеспе
чивающую условный минимум дисперсии ошибки			преобразования,
при условии равенства нулю математического ожидания				g(t)	полез
ного сигнала.

3 3 2

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII

3.Условия минимума среднеквадратической ошибки

Перейдем теперь к задаче минимизации среднеквадратической ошибки при условии удовлетворения тождеств (8.14).

Для	решения этой						задачи		необходимо выразить е2 через k (t)
и функции			корреляции				Rm(x)		и Rn (т) полезного сигнала и помех.
Предполагая, что условие (8.12) удовлетворено, мы можем напи
сать:								г
								г
	£(/“) = Н (р )			от (0 — J					{от (/ — т) -{- a (t — т)} /е (т) dx,
или								о
или		со							т
		со							т
в (t) =		J	от (t — х) ч (х) dx — J (от (t — х) -\|- п (t — x)j k (х) dx. (8.20)
	—с о							О
Поэтому			/			f m(t — x) •/. (x) dx —
ё2 =	lim		/	\
ё2 =	lim		f di <
Т •**		со	0	l —со
			0	l —со
			f				—x			]2
			— J				—x			— T)]^(x)rfx^=
		со	6		со					J
		со			со					T
=		j ' v.(x)dx		j		у. (9) d9			lim	j* m(t — x ) m ( t — b ) d t —
	— CO		— CO					T -> CO		0
	оо		T							T
2	f	* ( b ) d b f		A	( x		)dx	lim	J	[m{t —x)-j-/i (t—x)] in (t—0)rf(f+
- o o		т	О					Т->со	o
		т	т

- f J k ( x ) d x f k ( b ) d b X

	о		0		T
					T
	X	lim	-4-		/ [от(/ — x)4 -«(£ — x)][m(£— & )-)-«(/ — 9)] dt,
		T+ oo	1		J
или	окончательно
	СО	СО
е2 =	J	J Rm(х — 9) у. (х) х (9) dx db —
	— о о — с о					Т
					o o	Т
		— 2			f	J Rm(x — 9) A (x) •/. (9) dx db +
			T		— o o	0
			T		T
		f	/	/	[Л™(^ — ») 4 - « я (x — »)] л (x) Л (9) rfx rf9. (8.21)
			0	0

31	УСЛОВИЯ	МИНИМУМА	СРЕДИЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ					3 3 3
Теперь	задача состоит в том,			чтобы найти импульсную треходную
функцию k (7), обращающую в минимум величину г2 и						в то	же время
удовлетворяющую		условиям,	налагаемым на ее		первые	г —(—1 момен
тов (8.9).	Эти	условия,	как	мы видели,	вытекают		из	тож
дества (8.15).		задача вариационного исчисления. Согласно						изве
Это — типичная

стному правилу1) для решения этой задачи необходимо найти мини мум выражения


	/	{£}.=	S2 _ 2То[х0 —		. . . — 2yr(v		(8.22)
где То, Ti.........Тг — так			называемые множители			Лагранжа	(способ
определения	этих	множителей		будет	ясен из	дальнейшего изло
жения).	что	необходимые		и достаточные условия для			минимума
Покажем,

выражения (7.22) заключаются в том, чтобы функция k{t) удовлетво ряла интегральному уравнению

f 1Ят ( * - ■ о ч -/ ? ,( * - • ') ] * со ^ =

			оо
— Т о +	+ • • • “Г Тг^Ч-		ffirriV z)x(z)dz,		0 < f < 7 \ (8.23)
Прежде всего, заметим,		что	член	вида
	СО	СО
	/	/ Ят (т -		D)'/.(•:)•, (8) rfx
	—ОО —ОО			‘

в (8.21) не зависит от k(t). Поэтому при отыскании минимума выра жения (8.22) его можно не принимать во внимание.

Итак, пренебрегая в формуле (8.21) первым интегралом, подста вляя затем получившееся выражение в (8.22) и пользуясь (8.9), по лучим:

/{*} = / л СО / I

О{ о

со

— 2 J Ят (т — ») •/.(&) —00

]

2-То — 2Tlx — . . . — 2 j rt r |d t. (8.22а)

)

1) См., например, Л а в р е н т ь е в	М. А., Л ю с т е р и и к Л. А., Курс
вариационного исчисления, Гостехнздат,	195D.

334 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [гЛ. VIII

Для' отыскания минимума (8.22)

придадим /г (т) вариацию Д/г (г)

(Д —

произвольное число). В результате получим:

/|А +

АА} = /

[/е(т)-ЬДА(т)]Х

гГ

[ к (») +

Д/г (9)] R9 (- -

0 <

- <

(8.24)

X :

ft) d ft - 2P (X) l rfx.

где

я .с о = я т (т) + /?я (т).

со

(8.25)

p ^ = f

Pm ^ ~

*C9')

+ To + TiT 4 - •••+ 7r~r’

или

I{k

ДА} =

J k{x)d- \

k ( b ) R f (x — ft) г/ft — 2P(x) +

A f

A(x) dx

[ 2 J"ft(ft) /?,(t — ft) dft— 2P(x)

k (9) R9 (- — ft) db — 2P CO

(8.26)

Д2/ b CO rf-

или

IО

/ {A -h ДДг} =

/ { * }

+ 2 Д Е ,—

Д2£2,

(8.27)

где

£ , =

(8.28)

ft(o</t< J

/г9(х — «)*(&)</» — p ( o

1 0

E2 =

(t — ft)

(8.29)

* (x) dx |

J Л (ft)

— 2P (x) J .

Дифференцируя

(8.27)

по

полагая

затем

Д =

получим

необходимое

условие для

минимума

I {k)

в виде

или

Е, =

R7(x — b)k(b)db — P ( 0 =

0 < т < 7 \

(8.30)

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ( 8 .2 3 )

3 3 5

Выражение (8.30) представляет собой не что иное, как интеграль ное уравнение (8.23). Итак, мы доказали, что удовлетворение равен ства (8.30) или (8.23) является необходимым условием для минимума величины е2 . Рассуждая далее совершенно так же, как в § 3 гл. VI, можно показать, чго равенство (8.30) является также и достаточным условием для минимума е2.

4.Решение интегрального уравнения (8.23)

Вдальнейшем мы так же, как и ранее, будем предполагать, что

спектральная плотность						Аа (о>2)
S¥ H - 5	m( m ) 4 - S „ H - l vl; (y«)l2-
						?	(8.31)
						В,	К )
представляет собой дробно-рациональную				функцию			от со и функция
W ( S ) :	E(s) _	<?0 +	*iS+	...	+ e ksk		(8.32)
	C (s)	C0+	CS1 +	...	-p C[S^~

не содержит нулей и полюсов в правой полуплоскости.
Идея, положенная	в основу	решения !),		заключается в следующем.

Предположим, что рассматриваемая система с передаточной функ цией Ф (s) и с импульсной переходной функцией k(t), удовлетворяю

щей уравнению

(8.23),

может быть

представлена

в виде

последова

тельного

соединения

(рис. 8.1)

двух

динамических систем

N t

и Л/2

с передаточными функциями

<P(s};k(t)

W {(s)

W 2 (s),

т. е.

что

®(s) =

Wr1(s)Wr2(s).

(8.33)

x (t)

При

этом

система

должна

быть

подобрана

таким образом, чтобы она

Рнс. 8.:

производила некоторое удоб

ное для

нас преобразование

входного

сигнала o(t)

в сигнал

а система N 2— таким образом,

чтобы она выполняла требуемое преобразование сигнала °i(0-

таким

Позже мы увидим,

что

можно

будет

выбрать

систему N 1

образом,

чтобы

определение импульсной

переходной функции

w 2(f)

системы

N 2 представляло

собой

сравнительно

простую

задачу.

Если

же нам удастся

определить w 2{t) или

W2 (jm),

то

мы смо

жем найти и импульсную

переходную

функцию

k(t) всей

системы,

имея в

виду, что

Ф (уш)

/ W 1(уш) W2 (уш) еш dm,

(8.34)

0 < / < 7 \ !) См. работу, цитированную на стр. 327,

3 3 6	СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ	СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII
И	ft (/) =	0, 7’< / < с о .
	ft (/) =	0, 7’< / < с о .

Выберем передаточную функцию ^ ( s ) системы N lt равной зна менателю С (s) функции 4; (s), т. е. положим, что

Тогда					U/1(s) = C(s).		(8.35)
Тогда	ai (0 = С (р) о (0 = С (р) [g (0 + т (0 + п (0]•						(8.36)
	ai (0 = С (р) о (0 = С (р) [g (0 + т (0 + п (0]•						(8.36)
Из (8.36)		ясно, что сигнал о, (0 на				входе системы Л/2	состоит
из сигнала	C(p)g(t),			представляющего собой многочлен от t			той же
степени г,	как		и функция		g ((), и из стационарной случайной		соста
вляющей т ' (		t	) п ' (t)	со	спектральной	плотностью
					= 1^(710)12 5,(0)).		(8.37)
Принимая во внимание (8.31), (8.32), (8.35), вместо (8.37) можно
написать:
					5'(ш) = Л? (ш2),		(8.38)

где выражение И,(ш2), как мы видели, представляет собой числитель

функции 5 , (ш) и может	быть представлено в виде
И,(о)2) =	аоЧ- °тш2~Ь ••• -(-ОдШ2*.	(8.39)

Так как выражение /4, (со2) согласно (8.38) представляет собой спектральную плотность случайного сигнала т' (t) -f- п' (t) на входе

системы Л72, то корреляционная функция R4(t) этого сигнала со гласно (8.39) имеет вид

К (0 = я * (0 +	R'n(0 =	а0ь(/) -	a,ot3) (0 +	. . . + ( - 1 )4 s(3ft) (О-
						(8.40)
где 3 ^ (7 )— импульсная		функция	v-ro порядка,		т. е. v-я производная
от единичного импульса 8 (т).
Обозначим теперь через H2 (jm) идеальную					передаточную	функ
цию для Л/2, т.	е. передаточную		функцию,	обеспечивающую		равен

ство нулю ошибки е2 для всей системы. Так как передаточная функ ция U7,(.s) системы /V, выбрана нами равной C(s), а идеальная передаточная функция всей системы равна H(s), то мы должны иметь:

я 2(5) =	H ( S )	н м	(8.41)
	U7,(s)	C ( S ) ’

и, следовательно, идеальная импульсная переходная функция у.2(7) системы N 2

77(Ум)	ем dm.	(8.42)
С ( »

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (8.23)

337

Итак, на вход системы Л/2 действует случайный сигнал с корре ляционной функцией вида (8.40), причем идеальная импульсная пере ходная функция у.2(7) этой системы имеет вид (8.42).

Но, с другой стороны, согласно выводу предыдущего параграфа, для того чтобы система N 2 обеспечивала минимальную среднеква дратическую ошибку воспроизведения, ее импульсная переходная функция та2(7) должна согласно (8.23) удовлетворять интегральному уравнению

J [Л/п (*— t) + Rn (t — х)] w 2 (х) dx =

оо

- То +

+ • • • + f s '- h f К , ( * - т) М dx.

(8.43)

Заметим, что верхний предел первого интеграла (8.43) равен бесконечности в отличие от (8.23), где он равен Т. Причина этого заключается в том, что функция w2(t) может и не обращаться в нуль при t > Т, если даже к функции k (t) и предъявляется такое тре бование.

Пусть теперь

			®2 (9 =		«(*).		0 < 7 < 7 \				(8.44)
			W2 (t) — v(t),				T ^ t ^ c o .				(8.45)
Тогда согласно			(8.34)	и (8.35)
	4 9		= ^	/ С (	»	(	/ u(x)e~Jutd x \ e /al dш
								.	J		(8.46)
				WJ		\|	uu		1		(8.46)
				WJ		\|	uu		1
		0 = i		/ C(»			/		dШ.
Эти соотношения показывают, что функция k(t) полностью опре
деляется той		частью функции w 2 (7), которая заключена								в интервале
0 < / < 7 \	и	что поэтому			вид	функции w 2 (t)			вне пределов		этого
интервала не влияет на вид функции k(t ).
Вернемся		теперь к		интегральному				уравнению (8.43).		Пользуясь
(8.44), мы можем написать:
т
f [Rm (t -	х) +		R'„ (t -	Т)] и (т) dx =
о								ОО
								ОО
=	То+		Т ^ +	••• + Т г ^ +				f Rm(t — T)x2(x)dT.			(8.47)

2‘i Звк. Ш83. В. В. Солодовников

3 3 8	СИНТЕЗ	ОПТИМАЛЬНЫХ			СИСТЕМ С	КОНЕЧНОЙ			«ПАМЯТЬЮ»	[ГЛ. VIII
Согласно (8.40) интеграл в левой части уравнения (8.47) можно
переписать в виде
г
/ [ « « ( ^ —		( ' — =)]«			=
о
т
= /	[п08 ( / - т ) - а 1о(3)( г - т ) + . . .					-Н ( _		l)aS(1№ (/ — х)1« (т) rfx.
О
Но			т
			т
		f	и (х) 5(3v) (t — х) dx =				/>2v« (t).
		О
Поэтому
г
/ [Я * (/ — X) + Яя (* - х)] « (х) dx =
о
			= [ а 0 — a , p 2 +			. . . + ( — 1 ) Ч / > 2* 1 « ( 0 . (8 . 4 8 )
Рассмотрим теперь интеграл в правой части уравнения (8.47).
Имеем:
со					оо		со
f	RrnV — x)*2(T)dx =			- i r	y * 8(x)dx f		S™(“)eAe(/_t)rf«> =
— o o				- 0 0		- C O
	со			со				со
1 - f s'm(со)		dm f		v.2 (x) e"'*" dx =			JL	У	W2 (ym) S * (m)		dm.
Но согласно (8.35)			и (8.37)								(8.49)
Но согласно (8.35)			и (8.37)
	S'm («*>) =		I ^	О	) I2 S m (ш) =		\| C (ym) \|2 S„, (m).
Подставляя		найденное выражение для					S m(ш)		в (8.49)	и	учиты
вая	(8.41), найдем:
со					00
/	* U - x ) v . 2(x)dT =			^	/ ^ I \| C ( y m ) \| 25m(m)e^ dm =
					СО
			=	^							(8'49а)

Итак, принимая во внимание (8.48) и (8.49а), интегральное уравне-

5]	ФОРМУЛА		ДЛЯ		ОПТИМАЛЬНОЙ				ИМПУЛЬСНОЙ	ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ	339
н и е (8.47)		можно		представить					в следующем	виде;
К	— aiР2+		• ■• +		(— 1)* а„р**] и (0 =
									СО
	= т ; - и ; * +			••• +		Т ^		+	й- / H i M C t - M S n M e / r t d u .
Но									— СО
Но
	к	—	1Р« 2 +		•	•	•	+	( ) ka—kp 2k\! и ( t ) = А * ( — р2) и ( О -
Поэтому окончательно						получим:
									со
						+	ЙГ /		Я(у<0)С(— 7u.)Sm(a))e/*rfda).		(8.50)
								— СО
	Таким	образом,			нам удалось свести интегральное уравнение (8.47)

к дифференциальному уравнению (8.50). Общее решение этого урав

нения		имеет	вид
й ( 0 —		- ^ о Ч " A \ t - j ~ ■ • •		A r i r - \| — В ^ 1*				. . .	- ) —	- f -
						СО
				+	з!г	/				du, (8.51)
					—оо
где	.40, Д],		. . . , Аг\	Вь	В%		В%ь— пока		неизвестные постоян
ные	(число		которых	равно		г	2А —(—1)	и	)n,	X,.......... \ 2к — корни
уравнения					Д? (— Х2) = 0.					(8.52)
					Д? (— Х2) = 0.					(8.52)

5.Формула для оптимальной импульсной переходной функции

Имея в виду, что k(t) — C(p)u(t), из (8.51) найдем:

k (t) — А0-\- A vt

. . . -)- Art -f-

1 —|—. -. H—BZke ^ -f-

*CO

	/ 4 j { 3 ) w (	» c ( - »	e/u" du)+
	— CO
+	8 (Q + . . . +	(0 -+- D,8 (t — Г) + . . .
	. . . + D ,_ S (i- - 1)(^ — T),		0 < f < 7 \	(8.53)
и * (7) = 0,	T < t.

Дельта-функции в (8.53) возникают благодаря действию опера* тора С (р) на разрывы непрерывности функции u(t) при ^ = 0 и при t = Т .

22*

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 6634 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ