Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1323 вуза, 5414 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
30.10.2023
Размер:
19.04 Mб
Скачать
☆

3 7 4

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ

«ПАМЯТЬЮ»

[ГЛ. VIII

где Хг— корни

характеристического

уравнения

 

 

 

 

 

 

Ж (X) Ж* (X) = 0.

 

 

 

Применяя к выражению (8.137) оператор L(p)L*(p), на осно­

вании (8.135) и (8.120) получим:

 

 

 

 

 

 

а*

 

 

 

 

 

 

 

 

W (0 =

2 B 'lL (Хг) L* (Хг) «V +

L (р ) L* (р ) М ~ х (р) Ж*"1 (р)

х

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

2

Тг^' + Вт (0 +

^иа(0 +

••• +

^«(л-1)(0 +

 

 

 

( = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < t < T .

(8.138)

Учитывая

выражение (8.120) и вводя обозначения

 

 

 

 

 

A t = L ( р ) L* (р ) Ж " 1 ( р )

Ж*"100 Тг,

 

 

получим:

 

В 1 = B\l (Х;) L* (Хг) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2fc

 

+ 2 л / +2 c 'j*U) (0 +

<7

 

 

 

мо=2в / ?

2 0,sW) (* ■- r ) 4-

 

 

 

 

j - 0

 

>=о

 

 

 

 

+ !(/>)£*О?) Ж " 1 (/О Ж*"х(р)

/

Кт(( —

+

 

+

^ u i(ОЧ~^«3(О “Ь •••

Ч ~^и (л-1)(0

0 < / < 7 \

(8.139)

где 9 =

/ — k — 1 , что следует из свойств корреляционной функции.

Остальные

рассуждения остаются такими же,

как и в § 8 гл. VIII.

13.Некоторые частные случаи интегрального уравнения (8.131)

Рассмотрим некоторые частные случаи, которые вытекают из

общей постановки

задачи.

С л у ч а й I 1).

Полагая W2(p) = W3( p ) — . . . — W n_l ( p ) = \ и

иг(0 = из ( 0 = ••• — ип - 1(0 = 0> интегральное уравнение (8.131), можно записать в виде

т

j [Л1в ( 'с - в ) 4 -/гя ( т - 0) + /г<|1 ( т - 0)]А(0)й1О=

о

00

г

 

= f Rm(x — 0)x(0)rf0-h/?e l(x) +

2 lT ,x i,

0 < f < 7 \ (8.140)

—oo

i =0

 

!) См. ссылку на стр. 370.

13]

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

(8.131)

375

 

С л у ч а й

2 *).

Полагая W2(p) — W3(p) =

. . .

— Wn_ l ( p ) = 1

и

ui (t) — u2{ t)=

. . . = u rl_l (t) =

0,

получим

интегральное

уравне­

ние

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

l/?m С-с — 0) -Ь-

(-С— 0)] /г (0) ^0 =

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

=

f

Ят ( ^ - 0 ) * ( 0 ) ^

+

2 т ^ .

0 < т < 7 \

(8.141)

 

 

 

—со

 

 

 

/ = О

 

 

 

 

С л у ч а й

3 2).

Здесь, кроме предположений, которые были сде­

ланы

во втором

случае,

необходимо дополнительное ограничение

в виде равенства нулю коэффициентов ошибки С(. Интегральное уравнение по виду не отличается от интегрального уравнения (8.141).

 

Как

общий,

так и частные

случаи имеют решение в виде импульс­

ной переходной функции, представленной

формулой

(8.139) для

класса

процессов,

имеющих

спектральную

плотность

вида (8.132).

 

С л у ч а й

4 3).

Полагая

W2(p) =

W3(p) = . . .

=

Wn_ l {p)— \

и

u2(t) =

u3( t ) = . . .

— un_ 1(t) =

g(t) — 0,

получим

интегральное

уравнение

вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

[«m (х — 0) +

R„ (^ -

б) +

R h (* -

0)] k (0)

=

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

/

Ят (т — 0)*(0)d0 +

^ i(T ).

(8.142)

 

Устремляя

в

выражении

(8.142)

Т —> оэ, получим:

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

J

[Ят (х — 0)4- Rn(т — ®)

^«1 (х

®)1 ^ (®)

=

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

/

/?m( ' c - 0 ) * ( 0 ) d 0 +

/?„i(T).

( 8 . 1 4 3 )

 

Для получения решения интегрального уравнения (8.143) из реше­

ния (8.139)

необходимо устремить

Т -+ оо

и наложить условие8*

 

!) С о л о д о в н и к о в

В. В.,

М а т в е е в

П. С., Синтез корректирую­

щих устройств

следящих систем по заданным

требованиям к динамической

точности. Автоматика и телемеханика, т. XVI, № 3, 1955.

 

 

 

а) См. ссылку на стр. 327. 8) См. ссылку на стр. 367.

3 7 6 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII

lim

k(t) — Q. В

результате

получим:

 

 

 

Г> Uо

k

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л (0 = S

B

/ t

- f v

c'jbU) if) + Lip) L*(p ) M ~ l ip) Ж *-1(/?) x

 

i “t

 

7«0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

/

Я,п (* — т) к M

4- Яа1 CO

(8,144)

где X, имеют отрицательные действительные значения.

 

 

С л у ч а й

5 1). Здесь в дополнение к только что рассмотренным

ограничениям,

необходимо

добавить условие

u1(t) =

0‘, тогда инте­

гральное уравнение (8.143) будет иметь вид

 

 

 

со

 

 

 

 

 

со

 

 

 

f

 

(X — 6) -Ь

(х — 0)1 * (0) ^0 = / / г м (т-0 )х (0 )й О .

(8.145)

О

 

 

 

 

 

 

—со

 

 

 

Решение уравнения (8.145), очевидно, можно записать

следую­

щим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

k с о = 2

B‘eh‘ + 2

c '^ j)i(*>+

 

 

 

 

1-1

 

 

/-о

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

L ip) L* (р) М - 1(р ) Ж*"1 {р)

f Rm {t — x) у. (x) rfx,

0 <

t < oo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.146)

14.Обобщение на случай, когда функция git) является

гармонической функцией 2)

Для получения обобщения изложенной выше методики предполо­ жим, что в выражении (8.122) Ct = 0 и в выражении (8.119)

 

 

 

 

г

(0 =

2

0

a,p,(t).

 

 

(.8.147)

 

 

 

 

 

 

v =

 

 

 

 

 

Далее

рассмотрим

класс

гармонических

функций, которые обла­

дают тем

свойством, что позволяют представить p y{t— т) следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ps V--

Т) =

S

 

bl (т )

 

it),

 

(8.148)

где ф’ (0

и

(х) (р. =

1 , 2, ....

г; п = 0,

1.........п) являются линейно

независимыми функциями. Функции р ч (t)

могут

иметь вид

 

 

cos tot,

sin u>t,

e~at,

e-a*cosu)t, e-a*sin<o/.

(8.149)

1) Wi e n e r

N.,

Extrapolation,

interpolation

and

smoothing of stationary

time series,

John Wiley, № 4, 1949.

 

 

 

 

 

 

 

2) См.

ссылку на стр. 369.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4 ]

ОБОБЩЕНИЕ Д л я ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

3 7 .7

С учетом выражения (8.148) ограничивающие условия для !г{1) могут быть записаны в виде

т

q ; = ^ (х )А (х )rfx. v = 0, 1. 2......... п; ц = 1 . 2............ г. (8.150)

о

Далее, пользуясь теми же рассуждениями, что и выше, приходим к интегральному уравнению вида

т

/ 1« ш ( ^ - б) + /?п( ^ - е) + ^ 1 ( 1: - 0) + ^ ( г - 0 ) 4 - . . .

О

со

. . . + /? « („-!)(* — 0)]ft(0)d 0= f Ят ( т - 0)*( 0М 0+ /& (т)-{-

—оо

пт

—

(-с) —(—. . . +

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

(8.151)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v ~ 0 ц .о 1

 

 

 

 

 

где i ’ — множители Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

решение

 

интегрального

уравнения (8.151)

можно

записать в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

 

n

r

 

 

 

 

q

 

 

q

 

 

* ( o = 2

в / t

+

2

2

m

с о +

5

 

с о +

S

D>bU)

 

 

i - 1

 

v -0 [1= 1

 

 

 

/« .0

 

 

/ - 0

 

 

 

+ L { p ) L ^ p ) M ~ \ p ) M * - 1 (p)

f # m(f — 'c)x(x)dT +

 

+

^ul (0 +

^?u2(0 -j- . . .

“t- Ru{n-l)(t)

»

0 < f < 7 \

(8.152)

Очевидно, что здесь могут быть получены некоторые из частных

случаев, рассмотренных в § 13.

 

 

 

 

 

m(t) — О,

П р и м е р

1. Пусть

g (t) г= cos со0t,

Н (р) — Н0,

 

 

 

 

 

 

$

 

»

=

2а

 

 

 

 

(8.153)

 

 

 

 

 

 

 

а3—[—со3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае 2& =

0,

21 =

2, q =

О, Ж (/?) М* (р) =

2а, L (р ) L* (р) =

==а2 — р2,

и —|—1 =

1,

г =

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ( f — т) =

cos w0t cos <в0х -f- sin св0£ sin св0т.

(8.154)

В этом

случае

на

основании (8.152) можно записать, что

 

k (0 =

Al c o s сво*+

Ло sin w0t +

С'0Ь(t)

- D 0b ( t ~ T ) ,

0 <

t < Т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.155)

378 СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII

Учитывая

(8.150), (8.154) и (8.155),

найдем,

что

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

Cq8(х) + Db (х—Г)] и : —

Qo = Но— j

cos ш0х [/4о cos со0х

Ло sin со0х +

 

 

 

'

1 г 1

-

1

2сопх

Г

Аа

2содх

 

 

 

 

 

 

 

— sin

—]—«— sin

+

 

 

 

— л»[-2

х + ;4о)0

0

,

о

- “о

 

 

+

Cocos(o0x |.=0 - j - D0cos coqx |т = r =

Ло

 

 

sin 2co07'j +

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2o)oT -)- Co + D0cos щТ

(8.156)

Qo = 0 =

J

sin co0x [Л^СОБ co0x - | - Ло sin co0x - j - C 0o ( x ) - ) - D 08 (x —T)\ dx =

 

41

.

 

T

 

f 1

1

 

 

\

T

/

 

 

 

4o

 

Л

 

 

 

 

= 2^

Sin Ш°г

+

о T — 4^

sin2u)°Tj

+

Cosino)0x |T=0+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-f- Do sin co0x |__r =

Л1

 

о/ T

1

 

 

\

 

2^- sin2u)o7'

Ло]^----- 517 s*n 2u)°^J H~ A) s'n “o^"-

 

 

 

 

 

 

“°

 

 

 

 

 

°

 

 

(8.157)

Подставляя значения

k(t)

из

(8.155) в интегральное уравнение

(8.151),

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J е~а1

'[л^соэ шот-}- Ло sin со0х +

Со8(x)-f- D0o (х — Г)] dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

-^ cos ш ^-1-72sin (U07.

(8.158)

Произведя замену

переменной t

— х = 0 ,

перепишем интегральное

уравнение

(8.158)

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

j еаГ>[л£ cos со0(t — 0)-|-Лоэш со0(£—0)] rf8—[- J e_a!i|^ c o s со0(7—0) г

1 - Т

 

 

 

 

 

- Ло sin ш0(^ — 0)] rf0 —|—Сое

al-\-D0e

а(Г ^ =

— [Л'оШ — ЛдК

Со {о.

 

зм е—at

2 а

( л

—|—Шц)]

 

—(Ло cos u>ot —|—

 

-«(г-0

+ “о ' “а+

“о

■Ло sin cd0^) ■

[Л^со0sin шоГ — Л^а cos щ Т

2 I

2

 

“ +

“о

 

 

 

■Л2 a sin со0Т — Л2со0 cos щ Т +

D0( а 3

со2)] = f J cos coQ7-f- 4 2 sin а>0£.

(8.159)

14]

ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

 

Отсюда получаем следующие уравнения:

 

■^о“о — К а+

С0(а3+ “о)

■ = 0.

 

a I

a

 

“ + “о

 

j4j<o0sin ш0Г — А^а cos (00Т — Л3а sin (О0Т — Л3Ш0COS а>0т+ DQ(а3 -f ша)

2

I

2

а

+

“о

3 7 9

0.

(8.160)

Совместное решение уравнений (8.156) — (8.160) определяет все неизвестные, входящие в выражение для импульсной переходной

функции. Кроме того, из уравнения (8.159)

следует, что

 

 

2аА1

2^ о

(8.161)

 

 

T j:

То = :2

I

2

 

 

«а+

;

+

“о

 

П р и м е р

2.

Пусть g(t) = cos wQt,

 

m(t) = 0,

S n (w) = N 3,

H { p ) = \ , q < 0.

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

 

 

 

 

 

k(t) =

Ao cos uV +

Aqsin u)0C

 

0 < f < 7 \

(8.162)

Тогда

 

 

 

 

 

 

H =

\ ■=

I ' cos ш0х [i4j cos o)0t+ Al sin ш0т:] dx =

 

 

 

0

 

 

 

 

A lT

A l

 

A l

 

=

—

 

+ 4 ^ Sin 2c0°7 +

sin2 ^ ■

 

 

т

 

 

 

 

o -

f

sin io0t [/lo cos-шот-f- Л3sin ш0т] dx =

 

о

 

 

 

 

 

 

A l

 

 

A l

A l

 

=

2^

sin2 “ о7 +

"Г 7 ~

4^0Sin Ш°7 -

 

Решая совместно систему

уравнений (8.163),

получим:

 

 

 

1 __2ш0 (Тм0 — sin ю07~ cos to0Т)

1

 

 

 

0

Т3ш3— sina(o0r

 

 

 

 

 

2м0sin2ш0Т

 

Ло=*-

Т 3и>3— sln^a^T

(8.163)

(8.164)

3 8 0

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ «ПАМЯТЬЮ» [ГЛ. VIII

XШ

I

I

I

I

I

14]

 

ОБОБЩЕНИЕ

ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИИ

 

 

381

 

Переходный

процесс

можно записать в виде

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х (/) =

J

cos ш0(/ — т) k (т) dz =

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О < / < 7 .

(8.165)

 

Учитывая формулы (8.162), (8.164) и

(8.165),

рассмотрим два

случая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-й с л у ч а й .

Пусть

7 = 1 ,

шо= 0 ,2 5 .

Тогда. + =

3,98,

Ло =

=

— 23,68

и

 

k(t) =

3,98 cos0,25/ — 23,66 sin ш0/,

 

 

(8.166)

 

 

 

 

 

 

а

* ( / ) =

1,99/cos 0 ,2 5 /+ (7,96 — 11,83/) sin 0,25/.

(8.167)

 

 

Результаты

расчета

по

формулам

(8.166) и (8.167)

и

значения

cos 0,25/ приведены на

рис.

8.5.

ш0=

 

 

 

 

 

 

 

2-й с л у ч а й .

Пусть

7 = 1 ,

5.

Тогда

^J =

2,19,

Aq=

=

— 0,38

и

 

k {t) =

2,19 cos 5/ — 0,38 sin 5/,

 

 

(8.168)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x(t) =

1,095/c o s 5 /+

(0,22 — 0,19/) sin5/.

 

(8.169)

 

 

 

 

 

Результаты расчета по формулам (8.168) и (8.169) и значения cos 5/

приведены

на

рис.

8.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА IX

СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1.Введение

Вдвух предыдущих главах были рассмотрены методы определе­ ния оптимальных динамических характеристик (импульсных переход­ ных или передаточных функций) линейных систем с постоянными параметрами при стационарных случайных воздействиях.

Однако, как это уже указывалось в гл. VI, определение оптималь­ ных в том или ином смысле характеристик системы автоматического управления является лишь первым шагом в решении задачи синтеза.

Следующим шагом является вопрос о реализации характеристик. Рассмотрим вопрос о реализации оптимальных характеристик

применительно к следящим системам.

Итак, предположим, что следящая система находится под влиянием случайных воздействий и что при помощи одного из изложенных

 

выше способов найдена ее им­

К.

пульсная переходная или переда­

точная

функция,

обеспечивающая

"«К

 

удовлетворение

заданных требо­

 

ваний

к динамической точности

Рис. у.1.

системы.

 

Предположим, что система со­

 

стоит

(рис. 9.1.)

из неизменяемой

части или объекта Кя Wg (s) *) и корректирующего устройства с пере­ даточной функцией Kd Wd(s).

Задача состоит в том, чтобы определить схему корректирующего устройства и вид передаточной функции Kd Wd, включая численные значения входящих в эту функцию параметров, так, чтобы вся си­ стема в целом обладала требуемыми динамическими показателями.

Ниже рассматривается лишь случай последовательного корректи­ рующего устройства, поскольку обобщение излагаемой методики на

1) С о л о д о в н и к о в

В. В.,

Синтез корректирующих устройств следя­

щих систем при помощи

оптимальных и типовых логарифмических частот­

ных характеристик, Автоматика

и телемеханика, т. XIV, № 5, 1953.

2]

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

333

случай

параллельного корректирующего устройства не представляет

затруднений *).

 

 

Решение задачи

состоит из следующих этапов:

 

1)

определение

оптимальной передаточной функции

замкнутой

системы Ф (s);

2) определение логарифмических частотных характеристик разом­ кнутой системы, соответствующих найденной передаточной функ­ ции Ф (s);

3)выбор желаемых логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы и корректирующего устройства;

4)синтез передаточной функции KdWd(s) корректирующего устрой­ ства, т. е. определение ее аналитического выражения и численного значения входящих в нее параметров;

5)реализация передаточи-ой функции;

6) проверка полученных результатов.

Остановимся вкратце на перечисленных выше этапах.

Способ выполнения первого этапа представляет собой предмет изложения двух предыдущих глав и поэтому может быть опущен.

Перейдем к рассмотрению второго и третьего

этапов.

2. Определение

логарифмических частотных

характеристик

разомкнутой

системы и корректирующего

устройства

Зная передаточную функцию Ф(я) замкнутой системы, определяем передаточную функцию KW{s) разомкнутой системы при помощи

соотношения

^ . .

 

 

 

< 9 1 >

Полагая s=ju> и Ф (уш) =

Р (ш) —{— (ш), запишем KW(ju>) в виде

KW (ju ) =

1 -Я (» )-У О (® )

(9.2)

Для определения логарифмических частотных характеристик разом­

кнутой системы получим следующие соотношения:

 

L (<•>) = 20 lg| K W (у'ш) | =

10 lg

■Р («)1 — Q3(<■>))* + Q3(«)

(9.3)

и

 

{[1 P(®)P + Q3(“)}S

 

 

Q (“)________

 

0 (ш) =

arctg

(9.4)

Формулы (9.3) и (9.4) являются исходными для определения лога­ рифмических частотных характеристик разомкнутой оптимальной сле­ дящей системы.

г) С о л о д о в н и к о в

В. В., Синтез корректирующих устройств

следя­

щих систем при типовых

воздействиях, Автоматика и телемеханика,

т. XII,

№ 5, 1951. См. также первую ссылку на стр. 375.

 
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности