книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

Г Л А В А XI

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1.Введение

Вэтой главе мы рассмотрим две задачи синтеза оптимальных линейных систем с переменными параметрами для случая, когда слу­ чайные составляющие входных воздействий заданы своими корреля­ ционными функциями, а неслучайные являются заданными или могут быть разложены в ряд по известным системам ортогональных функ­ ций на всем интервале их изменения.

Как будет показано, оптимальные системы с переменными пара­ метрами позволяют осуществить фильтрацию сигнала с значительно меньшими ошибками, чем линейные системы с постоянными параме­ трами при тех же условиях.

В§ 3 дается понятие о самонастраивающихся системах и изла­

функциям существенно отличается от подобной задачи для линейных систем с постоянными параметрами, в § 5 излагается один из мето­ дов ее решения.

2. Постановка задачи и интегральное уравнение, определяющее характеристики оптимальной системы

Предположим, как и в гл. VIII, что система находится под влия­ нием управляющего y(t ) и возмущающего n{t) воздействий. Упра­ вляющее воздействие, или полезный сигнал, состоит из двух соста­ вляющих, одна из которых может быть разложена в ряд по изве­ стным линейно независимым функциям на всем интервале наблюдения, а вторая является стационарным случайным процессом.

2] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 491

причем

г

где срА. (О — известные линейно независимые функции времени, a ck — неизвестные постоянные. Здесь m(t), а также и n(t ) являются ста­ ционарными случайными процессами с равными нулю средними зна­ чениями и известными корреляционными функциями Rm(t, т) и Rn{t, т).

Будем считать оптимальной системой такую, которая:

1) обеспечивает точное воспроизведение1) функции g(t) в каждый момент времени после поступления ее на вход системы;

2)обеспечивает минимум среднеквадратической ошибки в каждый момент времени и

3)удовлетворяет условию физической осуществимости, т. е.

Как показывают результаты, полученные в гл. VI и VIII, предста­ вление процесса на выходе системы при помощи формулы

чt

щие оптимальную линейную систему с переменными параметрами.

ходной функции системы, т. е. ее реакцией на единичную ступенча­ тую функцию.

Функция k(t, x) является импульсной переходной функцией искомой

ные условия, которым должна удовлетворять импульсная переходная функция k ( t , т) оптимальной системы.

3. Решение интегрального уравнения

Перейдем к решению интегрального уравнения (11.14). Рассмо­ трим решение этого уравнения для наиболее важного практически случая, когда спектральные плотности случайных составляющих входного сигнала m(t) и п (t) являются дробно-рациональными функ­ циями частоты *), т. е.

Изложим здесь несколько иной метод2) решения уравнений, чем метод, рассмотренный в гл. VIII.

Для этого установим одно необходимое для дальнейшего изло­ жения свойство корреляционной функции R(t, т), которой соответ-

J) Отметим, что такие процессы, согласно гл. X, можно также опреде­ лить как установившиеся процессы на выходе линейных систем с постоян­ ными параметрами при воздействии в виде «белого» шума. Это уравнение может быть также решено и для общего случая процессов на выходе ли­ нейных систем с переменными параметрами, рассмотренных в гл. X; однако мы ограничимся здесь случаем стационарных воздействий.

2) Излагаемый ниже метод целиком применим для нестационарных слу­ чайных процессов, которые получаются на выходе линейной системы с по­ стоянными параметрами при «белом» шуме на входе, приложенном в опре­ деленный конечный момент времени.

сгвует спектральная плотность S (ш). Из метода формирующих фильтров для стационарных случайных процессов (гл. X и § б гл. VII) следует, что процесс со спектральной плотностью (11.15) может рассматриваться как выходной сигнал линейной системы с постоян­ ными параметрами, описываемой линейным дифференциальным урав­ нением вида (10.1) при подаче на вход «белого» шума. Поэтому из равенств (10.51) и (10.52) следует, что

где k0(t, т) -импульсная переходная функция, соответствующая оператору D(p). Применяя к обеим частям этого равенства опера­ тор D* (р), сопряженный с D(p), получим на основании (10.7) и коммутативности линейных операторов с постоянными коэффициен­ тами