Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 6655 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

546 АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ [гл. XII

Если мы интересуемся только дискретными значениями						выход
ной величины	в	моменты времени		t = tiT,	то соотношение	(12.36)
можно переписать		в виде
		Л
		х (пТ) = Т 2	g (IT) k (пТ — IT).			(12.37)
		i~o
Умножая	обе	части (12.37)	на	г~п и	суммируя от 0	до оо,
получим;		X* (г) — К(г) О (г),				(12.38)
где		X* (г) — К(г) О (г),				(12.38)
где

СО

Х*{г) = ^ х { п Т ) г ~ \

л™О

со

Оф( г ) = 2 х ( п Т ) г ~п,

Л - О

СО

Y * ( z ) = T ' 2 l k ( i T ) z - 1.

/-0

Функция

К* (z) =	со		(12.39)
К* (z) =	Т ^ к { 1Г ) г - 1		(12.39)
	I-о
является передаточной функцией дискретной системы.
В пределе при 7 - > 0 эту	сумму	можно заменить	интегралом и
мы придем к передаточной функции непрерывной системы.
Таким образом,
lim Y* (esT) = Y ( s ) =		f k(t)e~stdt.
T+- о		у

Как и в случае непрерывных систем передаточная функция дис кретных или импульсных систем равна отношению д-преобразования выходного сигнала к 2-преобразованию входного сигнала

	(12-40)
Значения выходного	сигнала в дискретные моменты времени
t = nT можно найти по	формуле обращения (12.21) или простым

делением числителя на знаменатель в выражении Y* (z)G* (z).

Пусть теперь перед фильтром стоит запоминающая цепочка, которая фиксирует каждое значение входного сигнала в виде по стоянной величины до прихода следующего дискретного значения (рис. 12.12, б). Передаточную функцию такого звена можно написать в виде

61	ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ	547
61

В этом случае на непрерывный четырехполюсник воздействует ступенчатый сигнал. В результате каждое дискретное значение вход

ного	сигнала	g (l T)		вызывает на выходе реакцию вида
		g (lT)\h(t — iT) — h\t — (l + 1)71}.
где	h (t) — реакция			четырехполюсника	на единичную	ступеньку на
входе:				/
				/
				h{t) = J k(x)dx.
				о
Суммарный сигнал на выходе будет равен
	ЛГ<у			N<-j-
	x ( t ) =	2	g ( (T)h(t — IT) — 2		g ( i T ) h ( t - i T	— T).
		i - о		/=о
Для дискретных				значений выходного сигнала, учитывая, что
h(tT) — g(iT) = 0			при / < 0, получим:
		оо		со
	х (пТ) =	2 g (ПГ) А («Г — /7) — 2			£ (/7*) h (пТ — i T — Т).
		i - 0		i -	о

Взяв 2-преобразование от обеих частей этого равенства, получим:

X(z) = - ^ Y * 1( z) G ' ( z \

СО

где Y*(z) — 2 h{lT)z~l — 2-преобразование для функции h(t). Оче-

/■О

видно, Y\(z) будет соответствовать

	СО
М * ) = ^	= / h ( f ) e - « d t .
	о

При отыскании К*(г) по известной функции Y(s) можно пользо ваться теми же таблицами 2-преобразований.

Передаточная функция импульсного фильтра с запоминанием

определяется следующим образом:

Y*(г) =

к; (2) =

2 h(гТ) Z - K

(12.41)

<-о

При таком определении передаточной функции она также равна отношению 2-преобразования выходного сигнала к 2-преобразованию входного сигнала

Y*(z)

Х*(г) G* (г) ■

35*

5 4 8		АНАЛИЗ		ДИСКРЕТНЫХ	СИСТЕМ	[ г л . XII
В пределе	при малом периоде повторения К*(г) переходит в пере
даточную функцию непрерывной системы Y (s):
		lim		K*(e-sr) =	K(s).
		Г>0
Дискретные		значения	выходного сигнала находятся			разложением
в ряд Лорана	по степеням		г ~ 1 функции Y(z)G(z).
Предыдущие		формулы		позволяют	вычислять выходной сигнал

только в дискретные моменты времени воздействия входного сигнала. Однако очень часто важно знать значения выходного сигнала в промежутках между воздействиями входного сигнала. Такое поло

жение встречается при большом периоде дискретности Т.

Аппарат 2-преобразования с запаздыванием позволяет вычислять выходной сигнал и в промежутке между импульсами.

Обратимся к соотношению (12.36). Конечно, выходной сигнал

можно сразу же

вычислять

по

этой формуле,

однако

имеется

более

простой

способ.

где а не

обязательно целое число.

Тогда

Пусть t= o .T ,

N <

оо

х(аТ) = Т

g (l T ) k ( a T — lT) =

g (аТ — mT)k(mT),

l —

—

со

*»о

где а — а — N ,

^ o ^ l .

Или,

иначе,

* [(N +

о) Т] =

Т {g (NT) k (аГ) + g \(N —

1} T] k [(о +

1 )\T) +

. . .).

Умножая обе

части этого

равенства

на

z~N и

суммируя

от О

до оо, получим:

х ( о 7 ’) + * [ ( а + 1 ) 7 ’] . г - 1+

. . . =

= 7 '{/ г ( о Г ) +

А [ ( а + 1 ) Г ] 2 - 1+

. . . }

. . .

или

Х*(г,

о) =

К*(2,

о)О*(2),

(12.42)

где

’

со

**(2, °) =

х Ш Ч - ° ) Т ] г - 1‘

(12.43)

i-0

— ^-преобразование с запаздыванием для

выходного сигнала и

Г ( 2 , o) =

7’ 2

(12. 44)

— обобщенная передаточная функция дискретной системы.

Из соотношений (12.42) и (12.44) следует, что дискретную систему следует рассматривать как систему с переменными параметрами, ибо

передаточная	функция такой системы зависит от времени и разная
для разных	о.

6] ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 549

Поясним это с несколько иной точки зрения.

Спектр выходного сигнала дискретного фильтра определяется формулой

ОО

Х ( М =		У (/<*>) GTC/m) = Y (уш)				2	О (усо -	у ^ п) .
						/ I	—ОО
Сам сигнал будет			равен
	со	«
х(() = ^	2	/			— У '	-	^ - =
Л = —СО		—со
	00	?					2л
	S			+ У	■ y-«)G (yaJOe-'“'Ve/ г			nt dm'=
п = —со		—со
	w /	со				2ic	\
■i Л s о					Цг п) е	~	J
			К (yV 4 -у		Цг п) е	~	П‘ \ G (yV) e h '1dm'. (12.45)
Отсюда,	обозначая			СО			^
				СО			^
	К (усо,		0 =	2	к(уш + у - у л)			(12.46)
				Л = — СО
получим следующее выражение для спектра сигнала на выходе:
			X{jm. t ) = Y (усо,			t)G{jm).		(12.47)
Из этих	соотношений			видно, что передаточная				функция дискрет

ной системы зависит от времени. Согласно (12.46) передаточная функ ция является периодической функцией времени с периодом, равным Т

(рис. 12.13).

Если брать выходной сигнал только в моменты времени t = nT, то спектр такого дискретного выходного сигнала не зависит от вре

мени. Передаточная функция тоже	не	зависит от времени	и равна
	ОО
Ут(Уш) = Y (уш, 0) —	2	у - я ) .	(12.48)
	/ з — СО

Рассмотрим теперь импульсную следящую систему, например сле дящую систему по дальности радиолокационной станции, структурная схема которой изображена на рис. 12.1. Переключатель обозначает, что сигнал ошибки после дискриминатора выдается в дискретные моменты времени. Если мы будем рассматривать сигналы только в дискретные моменты времени, то, очевидно, можем написать:

er ( 0 = g T V ) — x T (t). г { п Т ) = Ц п Т ) — х { п Т ) .

(12.49)

550		АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ						[ГЛ. XII
Беря	2-преобразование от обеих частей этого равенства, получим:
Учитывая, что		E(z) = 0(z) — X* (z).						(12.50)
Учитывая, что		X{z)=Y(z)E*{z),
		X{z)=Y(z)E*{z),
получим	формулы,	аналогичные	формулам теории непрерывных						сле
я)				дящих систем:
я)						У (*)
		m*Y(s)G'(el		Х \ г у .		У (*)		О* (2),
	щ	m*Y(s)G'(el		Х \ г у .		1 +	Y* (z)	О* (2),
зЮ 3,(0	щ	ч						(12.51)
		ч
		■ZUHI g(i№(HT)
		(-0		E*{z) =				О* (г).
						1+ ^ ‘ W		О* (г).
б)								(12.52)
б)				Если		в обратную			связь
				Если		в обратную			связь
				включен			непрерывный
				фильтр с передаточной функ
				цией	H(s),		то приведенные
				выше		формулы		перепи
				шутся	в виде
				X*{z)--		1 +	У* (*)
				X*{z)--		1 +	HY* (г)1О* (г).
							1	(12.53)
				£ ’ (*) =			1	О* (г).
	Рис. 12.13.			£ ’ (*) =		1 +	HY* (г)	О* (г).
								(12.54)
Для передаточных функций замкнутой импульсной системы будем
иметь:				Y* (*)
		Ф*С0	1 +	Y* (*)				(12.55)
		Ф*С0	1 +	HY' (г) ’				(12.55)
		ФК*) =		1				(12.56)
		ФК*) =	1 +	HY* (г) •				(12.56)

В этих формулах под HY*(z) понимается 2-преобразование, соот ветствующее преобразованию Лапласа //(s)K (s). Это 2-преобразова ние не совпадает с произведением 2-преобразований H*(z)Y*(z) (где H*(z) — 2-преобразование, соответствующее H(s), a Y*(z)— K(s)).

Вэтом нетрудно убедиться с помощью таблиц 2-преобразования.

Впределе при Т -* 0 оба выражения совпадают и равны про изведению преобразований Лапласа, т. е.

lim [THY* (eiF)l =	Hm [T2H*(esT) Y(esT)] = H(s) Y (s).
г -j-o	t+ о

Кроме того, 2-преобразование 1/(1 -f- Y*(z)) не соответствует функции

К м = /		1	ejait dt.
	1 +	П »

— 00

6]		ПЕРЕДАТОЧНЫЕ	ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ		5 5 1
Это обусловлено тем, что			процесс отслеживания в дискретной сле
дящей	системе существенно		отличен от	процесса в соответствующей
непрерывной		системе.
На	этих	примерах мы	убедились,	что разные функции относи
тельно	z в пределе могут		переходить	в одно и то же	преобразова

ние Лапласа. Это означает, что несколько разных дискретных функ

ций могут переходить при		малом	Т	в одну	и ту же непрерывную
функцию.		на выходе следящей системы в проме
Для	нахождения сигнала	на выходе следящей системы в проме
жутке	между воздействием	сигнала	на	входе	необходимо поступить

следующим образом. Можно считать, что непрерывный выходной

сигнал

получается в результате

воздействия

на непрерывный

фильтр

с передаточной

функцией

К (s) дискретного

сигнала

ошибки,

г-пре-

образование для

которого

равно

E*(z)

G' (z)

1 +

HY* (z) *

силу вышеизложенного

сигнал

на

выходе

такого

фильтра

в любой

момент времени определяется

по формуле

X*(z,

о)

У* (Z, о) G* (г)

И2.53')

1 + HY* (z) ’

где X*(z,

о)— д-преобразование с запаздыванием для выходного сиг

нала,

Y* (z , о) — обобщенная

передаточная

функция

разомкнутой ди

скретной

следящей системы.

В случае дискретной следящей системы с запоминанием формулы

остаются

без изменения,

но

под

У* (г)

следует

понимать

выраже

ние (12.41).

(12.51)—(12.56) дают

неверный

резуль

Общепринятые формулы

тат в двух очень редко встречающихся случаях, на что, по-видимому,

впервые обратил внимание В. П.			Перов *).
В случае,		когда k (0) = lim	[sHY (s)] отлично от нуля,	следует
пользоваться		S ->со
пользоваться		формулами
л .,_ч		Y*(z)	V ( z )		’
U W —		1 + г - Ш У ( г , 1) “ \ + H Y * ( z ) — k ( 0 ) H Y * ( z ) ’ K			’
Ф*	==	1 + 2- itf К* (г, 1) =	1 + HY* (2) — k (0) HY* (z) -	( 12-56')

Начальное значение импульсной переходной функции отлично от нуля в случае, когда степень знаменателя передаточной функции непрерыв ной части равна или на единицу больше степени числителя. В этом случае непрерывный фильтр обладает мгновенной реакцией. Сравне ние входного сигнала с сигналом обратной связи происходит только

') П е р о в В. П„ Синтез импульсных цепей и систем с импульсной обратной связью, Автоматика и телемеханика, т. XV111, № 12, 1957.

5 5 2				АНАЛИЗ	ДИСКРЕТНЫХ	СИСТЕМ	[ГЛ. XII
в дискретные			моменты времени t = lT.			К этому времени в	системе
успеет	накопиться			ошибка	е (iT). В момент замыкания она		воздей
ствует	на	непрерывную часть, и если последняя обладает мгновенной
реакцией,		то	данная	ошибка	сразу появляется на выходе и в этот же

момент времени подается на измерительное звено. Таким образом,


сигнал	обратной связи x 1(t)		и сигнал ошибки e(t) претерпевают раз
рывы в моменты времени t			= IT. Сигнал обратной		связи х х(t )			ока
зывается неопределенным в нужных точках t =				IT.	Существует			пре
дел слева у сигнала х х(г!), равный x x{iT — 0),				и предел справа, рав
ный Ху{ТГ 4 -0 ). При выводе формул (12.55) и (12.56)						мы фактически
брали	за значение	сигнала обратной связи в момент				времени	t = lT
предел	справа. С	математической точки зрения		можно брать			предел

слева или справа. Однако с физической точки зрения реально ни один

	фильтр не обладает мгновенной	реакцией. Если дифференцирующая
	цепочка	RCs
	K(s) =	RCs
	K(s) =	RCs 4-1

обладает мгновенной реакцией, то при учете реактивной составляю щей нагрузки и прочих факторов мгновенной реакции уже не полу чится. Кроме того, рассмотрение конкретных примеров показывает, что результаты, полученные с помощью формулы (12.55), хорошо согласуются с физической стороной процесса, а результаты вычисле ний с помощью формулы (12.56) противоречат физике процесса.

Формулы (12.55) и (12.56) без труда получаются из соотношений

е (пТ) = g (пТ) — jq (пТ — 0),
X\(z) = HY{z)E(z),
если учесть, что	1)2-4
Z { X l(nT — Q )} = X l(z ,	1)2-4
Однако следует заметить, что случай	k (0)4=0 является	очень
редким в практике и его стараются, как	правило, избегать,	ибо он

приводит к разрывному выходному сигналу, что является нежела тельным.

Поэтому в дальнейшем, если не делается специальных оговорок, случай k (0) Ф 0 из рассмотрения исключается и в основном исполь зуются формулы (12.52) и (12.53).

7. Структурные схемы дискретных следящих систем

На практике могут встретиться дискретные следящие системы различных типов. Их структурные схемы отличаются друг от друга расположением ключа, т. е. местом действия дискретного сигнала. Основные виды следящих систем показаны на рис. 12.14. Напомним, что ключ символически обозначает преобразующее устройство из

g(t) ^	з,(0	6b)
		6b)
2) Щ Y(s) y s ' M V		6Y ’(z)

4)Hr

	Y,(s) ->
	x h - - & 'IzL
	w m w
— \ Щ —
6)-	хЮ* j r & - № ‘( k 0 - z $ g b >
№	y%i. re’lz)
	ьуу?Щ

Рис. 12.14.

СИСТЕМ СЛЕДЯЩИХ ДИСКРЕТНЫХ СХЕМЫ СТРУКТУРНЫЕ

553

5 5 4 АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII

непрерывных сигналов в дискретные (дискретный элемент). Суще- ' ствующие типы преобразователей достаточно гибки и могут ставиться, вообще говоря, в любом месте системы управления.

Остановимся на наиболее сложных случаях.

Рассмотрим импульсную систему, структурная схема которой при

ведена на рис.		12.14,6. Выходной сигнал следящей системы непреры
вен. В цепь обратной связи подается							дискретный сигнал, который
воздействует на четырехполюсник K^s).
В измерительном звене сравниваются два непрерывных сигнала:
входной g ( t )		и выход фильтра K,(s).				Непрерывный			сигнал ошибки
воздействует на четырехполюсник					Y (s).		Чтобы вывести формулу для
входного сигнала,			разорвем цепь		обратной связи перед ключом и
будем считать,		что	на вход	четырехполюсника				Kj(s)	подается свой,
независимый сигнал			g 2{t).	Тогда	сигнал на выходе				четырехполюс
ника	K(s) будет равен
		Х[{г,	o) = KG*(2, о) -			КК(2, o)G(2).			(12.57)
Для	замкнутой	системы
			Х\ (О = ёг (О =				X {t).		(12.58)
Поэтому, учитывая			свойство 2-преобразования Х*(г,						0) — Х*(г), из
формулы (12.57) получим:						ге*(дг)
			GUz) =	X \z)- .
					1 +		YY* (Z)

Подставляя это выражение в формулу							(12.57)	и учитывая (12.58),
окончательно получим, что						YY\(z, а) КО*(г)
	Х '( г ,		о) = Y G ' ( z , о) —						(12.59)
							1 + YYUz)

Для дискретных			моментов t =		nT,	о = 0 и формула (12.59) запи
шется в виде					YG* (г)
			X*(z)						(12.60)

1 + КК* (2)

Отметим, что в этом случае обычное понятие о передаточной функции как об отношении изображения выходного сигнала к вход ному не существует. Выражение (12.60), будучи разложено тем или иным способом в ряд по степеням 2, дает выходной сигнал во все моменты времени.

Структурные схемы рис. 12.14,5 и 12.14,76 соответствуют случаям, когда в непрерывной следящей системе переключатель подает на измерительное звено сигнал обратной связи периодически, на корот кий промежуток времени. Длительность этого промежутка должна быть такой, чтобы за время приложения сигнала обратной связи входной сигнал и импульсные переходные функции всех четырех полюсников можно было считать постоянными.

7]	СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ		555

	Продолжительность замыкания ключа может быть постоянной или
переменной. В первом случае		на выходе ключа выдаются	короткие
импульсы разной амплитуды		и одинаковой длительности,	во вто
р о м — короткие импульсы одинаковой амплитуды и разной			длитель

ности, которая зависит от дискретного значения сигнала на входе

ключа. Практически		оба эти	случая	одинаковы, если только дли
тельность	импульсов	остается	намного	меньше постоянных			времени
системы, так как в		большинстве случаев			играет	роль	площадь
каждого	импульса.	сигнала	могут	быть	записаны	в виде фор
Аналитически оба

мулы (12.2), причем коэффициенты при дельта-функциях равны пло щади соответствующих импульсов. Помимо этого случая структурные схемы 12.14,5 и 12.14,75 могут представлять следящие системы с преобразователями из непрерывных величин в дискретные.

Разница между следящими системами, структурные схемы кото рых представлены на рис. 12.14,75 и 12.14,4, состоит в некоторой особенности работы измерительного звена. Если сигнал ошибки не выдается (нулевой сигнал ошибки) при нулевом сигнале обратной связи (в промежутках между подачами сигнала), то такому измери тельному звену соответствуют структурные схемы с ключом после измерительного звена (рис. 12.14,4).

В случае, если равенство
			е(0 =	* ( 0 - * г (0		02.61)
сохраняется	даже	при	x(t) — 0 (в промежутке		между подачей сиг
нала обратной связи),			необходимо пользоваться структурной			схемой,
в которой	ключ	расположен в цепи обратной			связи перед	измери
тельным звеном (рис.			12.14,75).
К примеру, в определенных				схемах дискриминатора автодально

мера радиолокационной станции сигнал ошибки не будет выдаваться, если не будут подаваться импульсы обратной связи (полустробы сопровождения).

Для вывода выражения выходного сигнала в случае структурной схемы, приведенной на рис. 12.14,5, снова разорвем петлю обратной связи перед ключом. Аналогично предыдущим выкладкам имеем:

ХЦ г, a)=K G *(2, о) — Y* (г, о ) ^ ( г ) ,

где X*(z) — сигнал на входе ключа. Для замкнутой следящей системы

x i ( z ) = x ; ( z ) = x * ( z ) .

Поэтому

ХЦг) = Х*(г)------

1 + К * (г ) '

В результате

X* (z, о) = УО*(г, о)

Y* (г, о) YG* (г)

1 + У (*)

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 6655 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ