книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления
.pdf6 0 6 |
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ |
УПРАВЛЕНИЯ |
[ГЛ. |
XIII |
|
П р и |
э т о м у р а в н е н и я (1 3 .4 9 ), |
о п р е д е л я ю щ и е к о э ф ф и ц и е н т ы |
rfm, |
з а |
|
п и ш у т с я с л е д у ю щ и м о б р а зо м : |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
dm (а) = Т 2 |
{ П Т у. (И |
-Ь оГ). |
(13 .490 |
|
|
7 = |
0 |
|
|
|
О д н а к о п р а к т и ч е с к и э т о й ф о р м у л о й п о л ь з о в а т ь с я д л я о п р е д е л е н и я к о э ф ф и ц и е н т о в d m н е у д о б н о . Ц е л е с о о б р а з н е е п о с т у п а т ь с л е д у ю щ и м о б р а зо м . С п о м о щ ь ю ф у н к ц и и х ( г Т - \ - о Т ) ж е л а е м ы й с и гн а л 1г(пТ + з Г )
за п и ш е т с я в ви д е
СО
h ( п Т - f - зТ) = Т ^ % { a ' - \ - z T ) g [ i i T |
— |
lT) = |
|
i-- —со |
|
|
|
= , d 0 { G ) g ( n T ) - d i ( a ) i ( n T ) + |
. . . + |
i = | Z - r f r (0) g M («.r). |
|
Д л я с л у ч а я у п р е ж д е н и я на в р е м я t y = А Т п о л у ч и м : |
|||
h (яГ + аТ) = g ( п Т + А Т 4 - оГ) = |
|
|
|
= ЙГ(и7’Н - И 7 Ч - а Г ) ^ ( я 7 |
’Н - . . . |
+ (/1Г.+ з7Т _„И (,,.Г ), |
|
О т с ю д а из ср а в н е н и я р яд о в п о л у ч а е м с л е д у ю щ и е зн а ч е н и я к о э ф ф и ц и е н то в д л я с л у ч а я у п р е ж д е н и я :
|
d m ip) — ( |
A T |
o7')m. |
|
|
Д л я с л у ч а я ч и с т о й ф и л ь тр а ц и и |
|
|
|
|
|
п р и о = 0 |
d0= 1, |
|
|
|
|
|
^ = 0 , |
/ > 1 . |
|
||
А н а л о г и ч н ы м о б р а зо м |
д л я с л у ч а я |
д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я |
им еем : |
||
h ( пТ -)- оТ ) — g ( пТ 4 - о Г ) = ^ ( я Г ) + Д ( л Г ) о 4 ~ . . . |
^ |
||||
О т с ю д а |
|
|
|
|
|
d0(*) = 0, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
« > 1 . |
|
У р а в н е н и я (1 3 . 5 3 ') и |
(1 3 . 5 4 ') |
р е ш а ю т с я |
т а к и м и ж е |
м ето д ам и , к а к |
|
и у р а в н е н и я (1 3 .5 3 ) и (1 3 .5 4 ). В ы р а ж е н и е д л я о п т и м а л ь н о й и м п у л ь с
но й ф у н к ц и и |
б у д е т |
и м е ть вид |
|
|
|
|
|
к ( И + аТ) = |
А1, + |
А 1{1Т) + . . . |
+ A |
r {lTy + |
B , d [ + |
. . . + |
|
+ B 2k < 4 + |
± C ( A v) | |
fS ^ |
H* (z, |
o )C (z - l) z ,~1 dz-\- |
|||
|
|
U l= i |
9 |
|
|
|
|
4 * Co0(lT ) -f- . . . |
~\~Cm_ ll^m~l!~ loQ(lT ) 4 - D fi0(lT — |
NT)-\- |
. . . 4 - |
||||
|
- y D m_ k^m~k~1b0(lT — |
N T ), |
0 < / < / V . |
(1 3 .7 7 ') |
|||
1 2 ] |
РЕЧЛМЗЛЦИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ |
611 |
|||
12. |
Вопросы реализации |
оптимальной передаточной |
функции |
||
В с о о т в е т с т в и и с у р а в н е н и е м (1 3 .9 5 ) п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я о п т |
|||||
м а л ь н о й с и с т е м ы р а вн а |
|
|
|
||
|
Ф*(г, О ) : |
N |
|
|
|
|
Л0 ^ 2 - ! + 4 S ( f f ) r ' + C I + D 12- ■N |
||||
|
|
/=О |
|
1 = 0 |
|
П о с л е н е с л о ж н ы х п р е о б р а з о в а н и й п о л у ч и м : |
|
||||
|
|
|
|
,-Л г - а |
|
Ф * (z, |
о) — «О + V |
1 + а *Г+1* |
1 + аЛ'+2г |
|
|
|
|
1 — 2г-1 + |
г - з |
|
|
|
|
°0 == Ад, |
|
(1 3 .9 9 ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
а 1: |
А уТ |
Ад, |
|
|
|
aN+x — — Ад — A yN T — А { Г , |
|
||
|
|
a N + а = |
Ад + |
AyNT. |
|
Е с л и т р е б у е т с я в о с п р о и з в о д и т ь на в ы х о д е ф и л ь т р а с и г н а л о п т и м а л ь ны м о б р а зо м т о л ь к о в д и с к р е т н ы е м о м е н ты в р е м е н и t — iT, т о д а н
н у ю п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю м о ж н о р е а л и з о в а т ь с п о м о щ ь ю ц и ф р о в о г о ф и л ь т р а , о б щ а я б л о к - с х е м а к о т о р о г о и з о б р а ж е н а на р и с . 13 .6 .
В д а н н о м с л у ч а е д л я о с у щ е с т в л е н и я т а к о г о ф и л ь т р а п о т р е б у е т с я п а м я т ь в N -\-2 ц и ф р ы или з а д е р ж к а на N -\-2 д и с к р е т н ы х и н т е р в а л а .
Д р у г о й в а р и а н т р е а л и за ц и и о п т и м а л ь н о й п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и
в о з м о ж е н с п о м о щ ь ю и м п у л ь с н о г о ф и л ь т р а б ез о б р а т н о й с в я з и . В ы р а ж е н и е (1 3 .9 9 ) п о с л е н е с л о ж н ы х п р е о б р а з о в а н и й м о ж е т б ы т ь п р и в е
д е н о к |
ви д у |
|
|
|
|
Ф* (z, |
о ) = 2 cig ^ |
j p |
a0z 1 |
fli ^z |
“ t- |
+ W " + (flo + c i) + D * - " .
С п о м о щ ь ю т а б л и ц ^ - п р е о б р а з о в а н и я н е т р у д н о |
у б е д и т ь с я , ч т о т а к а я |
п е р е д а то ч н а я ф у н к ц и я м о ж е т б ы т ь р е а л и зо в а н а с п о м о щ ь ю и м п у л ь с |
|
н о г о ф и л ь т р а б е з з а п о м и н а н и я с п е р е д а т о ч н о й |
ф у н к ц и е й н е п р е р ы в |
ной ч а с т и |
(р и с . 1 3 .7 ). |
Ф (s ) = |
(2 й 0 + а у — a0e - sT-\- aN+1e-sNT + aN+ie~* < "+1) г } + |
|
+ ( в 0 + с 1) + |
^ - |
,ЛГГ- |
П е р е д з в е н ь я м и с п е р е д а т о ч н ы м и ф у н к ц и я м и |
Y (s) = а0-\-Су и |
Y { s ) ~ |
|
= Dye~sNT д о б а в л е н а ф и к с и р у ю щ а я ц е п о ч к а |
д л я т о г о , ч т о б ы |
на |
с у м |
м а т о р не п о д а в а л и с ь д и с к р е т н ы е зн а ч е н и я . |
Н е т р у д н о у б е д и т ь с я , |
ч т о |
|
612 СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ [ГЛ. XIII
д о б а в л е н и е э т о г о зв е н а не и зм е н яе т о б щ у ю п е р е д а т о ч н у ю ф у н к ц и ю с и с т е м ы . Н а с х е м е (р и с . 1 3 .7 ) з а д е р ж к е п о д в е р г а ю т с я н е п р е р ы в н ы е в е л и ч и н ы . П р и п о с т у п л е н и и на в х о д д и с к р е т н ы х в е л и ч и н в ви д е ц и ф р о в ы х д а н н ы х ц е л е с о о б р а з н о о с у щ е с т в л я т ь н е о б х о д и м у ю з а д е р ж к у
Рис. 13.6.
н е п о с р е д с т в е н н о с ц и ф р о в ы м и д а н н ы м и . Н а в ы х о д е с и с т е м ы , и з о б р а ж е н н о й на р и с . 1 3 .7 , п о л у ч а е т с я д и с к р е т н ы й с и гн а л . С п о м о щ ь ю п р е о б р а з о в а т е л я э т о т с и г н а л м о ж н о п р е о б р а з о в а т ь в н е п р е р ы в н ы й .
О п т и м а л ь н а я п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я (1 3 .9 9 ) и и м п у л ь с н а я п е р е х о д н а я ф у н к ц и я (1 3 .9 5 ) з а в и с я т , в о о б щ е г о в о р я , о т о. П о э т о м у д л я к а ж д о г о а к о э ф ф и ц и е н т ы я г, C t, D 1 на с х е м а х р и с . 13 .6 , 13 .7 б у д у т р а зн ы е , п р и ч е м о б е сх е м ы б у д у т д а в а т ь о п т и м а л ь н ы й в ы х о д н о й с и г н а л в м о м е н ты в р е м е н и t — nT-\-aT. В д р у г и е м о м е н ты в р е м е н и сх е м а б е з п р е о б р а з о в а т е л я д и с к р е т н ы х д а н н ы х в н е п р е р ы в н ы е (р и с . 1 3 .5 )
н и ч е г о н е д а е т на в ы х о д е . П р и н а л и ч и и п р е о б р а з о в а т е л я на в ы х о д е б у д у т з н а ч е н и я , б л и з о с т ь к о т о р ы х к о п т и м а л ь н ы м за в и с и т о т р а б о т ы
- п р е о б р а з о в а т е л я и х а р а к т е р а и зм е н е н и я о п т и м а л ь н ы х зн а че н и й в р а с с м а т р и в а е м ы х в р е м е н н ы х и н т е р в а л а х . П р и и д е а л ьн о м п р е о б р а з о в а т е л е д л я а б с о л ю т н о т о ч н о й р е а л и за ц и и о п т и м а л ь н о й с и с т е м ы д л я
13] |
|
|
СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СУММЫ КВАДРАТОВ |
|
6 1 3 |
|||||
любого о необходимо |
периодически (с периодом |
Т) менять |
параметры |
|||||||
системы (й,-, |
С,, |
D,).. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичная |
картина получается |
в случае |
реализации |
по схеме |
|||||
рис. |
13.6. |
Сигнал |
на |
выходе |
совпадает с |
оптимальным |
только |
|||
в дискретные моменты |
времени |
t — |
n T - \ - o T . |
Поэтому |
необходимо |
|||||
|
|
Рис. 13.7. |
|
тоже |
периодически |
менять параметры схемы. Однако в большинстве |
|
случаев достаточное |
приближение к оптимальной системе |
получается |
|
и в системе с постоянными параметрами, выбранными, |
к примеру, |
||
при |
о — 0. |
|
|
13. Синтез дискретных систем на основе условия минимума
суммы квадратов |
случайной и динамической ошибок1) |
|||
1. П о с т а н о в к а з а д а ч и . |
Рассмотрим задачу синтеза дискрет |
|||
ных систем на основе условия |
минимума суммы квадратов случайной |
|||
и динамической |
ошибок: |
|
|
|
') См. ссылку |
на стр. |
495, |
а |
также П е р о в В. П.. Статистический |
синтез импульсных систем, |
изд. |
Сов. радио, 1958. |
||
614 СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ [ гл . XIII
где
|
|
А' |
|
|
(13.100) |
|
г М Т ) = Hg (IT) - T ^ g |
i l T - |
IT) k (IT). |
||
|
s |
/= о |
|
|
|
Используя |
равенство (13.48), |
это |
соотношение можно переписать |
||
в виде |
|
|
|
|
|
еg (lT) = (d0— р0) g (IT) — (d{— p ) g (1Т)-{- |
. . . + |
|
|||
|
+ |
[ ^ - ^ ] i = |
r : 5rlr>(^ ). |
(13.101) |
|
Величина |
случайной ошибки |
определяется равенством |
|
||
|
|
А' |
|
|
-iT))k(iT). |
е(1Т)=Т 2 m(lT— iT)x(iT) — 7 Ц [т(1Т — 1Т)-\-а(ТГ- |
|||||
i*= —оо |
|
i = О |
|
|
(13.102) |
|
|
|
|
|
|
С помощью выражений (13.100) и (13.102) после несложных пре образований получим следующее выражение для квадрата полной ошибки:
£2 = |
f |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
[Hg (1Т)\2 + |
т |
2 |
X(i,T) Т |
Ц |
|
v. (LJ) Rm (tiT - l2T) |
. + |
|
|||||||||||
|
[ |
|
Л' |
/ j = — OO |
|
|
|
/ j = — CO |
|
|
|
|
J |
|
|
||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ т У, |
k(itT)T |
2 |
b(tiT)lg{lT — llT)g(l T — liT) + |
Rm(llT — t J ) - t - |
|||||||||||||||
|
/, = о |
|
/,=o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4- Яя (i,7 - |
/47')] — 27 |
2 |
g (IT - |
iT) Hg (IT)k (IT) |
— |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 27 |
^ |
v . (iJ)T |
V |
k(l2T ) R m( l { T - l 2T). |
(13.103) |
||||||||||||
|
|
|
|
i |
x = — CO |
|
|
/3 e 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
этом |
предполагалось, |
что |
сигналы |
g(iT), |
rn(iT), n(iT) |
не |
||||||||||||
коррелированы |
между |
собой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. У с л о в и е |
м и н и м у м а |
п о л н о й |
о ши б к и . |
Определим |
|||||||||||||||
условия |
минимума |
квадрата |
полной |
.ошибки, |
заданной |
соотноше |
|||||||||||||
нием (13.103). |
|
|
|
|
решения |
вариационных задач придадим |
|||||||||||||
Согласно |
общему методу |
||||||||||||||||||
k(lT) вариацию |
Д^(/7), |
где |
Д — параметр, |
не |
зависящий |
от |
/, |
||||||||||||
а ^ (/7 ) — произвольная функция |
от IT. |
Е2 |
станет |
равным £ 24 -о £ 2. |
|||||||||||||||
При |
этом |
квадрат |
полной |
|
ошибки |
||||||||||||||
Необходимое |
условие |
для |
экстремума |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
[ ^ - ( £ 2+ о £ 2)]д о = 0 |
|
|
(13.104) |
||||||||||
при |
любых у (/7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||