Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 6656 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

556

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ. XT!

Для моментов подачи сигнала, когда о = О,

Х*(г)

YG* (г)

1 + Y* (г) '

В случае структурной схемы, приведенной на рис. 12.14.10, посту паем аналогичным образом. Сигнал на выходе Kj(s) (обратная связь разорвана) будет равен

	** (г, о) =		YYfi* (г, а) -		KKJ (г, а) Х \	(z),
где .iV* (д) — сигнал на входе				ключа.
Замкнув	обратную связь,			получим:
	X l(z) = X l(z) = X*3(z) =				YYXG* (z)
					1 + КК*(г)	‘
Сигнал на выходе следящей системы равен
X* (z,	а) =	YG* (г,	о) — Y (г . о) Х*а (г),
X*{z,	а ) =	YG* (z,	о)	YYi G(z) Y (z, о)

		1 + Y Y l H
	*() =	YG* (z) + YYl (z) YG* (z) - YYtG* (z) Y* (z)
	*() =	1 + YYl W
		1 + YYl W

В системе, схема которой показана на рис. 12.14.9, процесс слеже ния непрерывен. На следящую систему просто действует дискретный входной сигнал. В этом случае следящую систему можно заменить непрерывным четырехполюсником с передаточной функцией

Ф(5)

Y(s)

1 + Г(5) •

Тогда выходной сигнал будет равен

X е (z, о) = Ф*(2. о) О* (г),

где

В дальнейшем мы в основном будем рассматривать дискретные следящие системы, которые имеют передаточную функцию, равную отношению 2-преобразований выходного и входного сигналов для оди наковых периодов подачи сигнала и одинаковых о, т. е.

X* (2, а)

Г (2, 0) =	G* (2)

81	КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК		557
8.	Коэффициенты	ошибок
Аналогично тому,	как это делается	для непрерывных	систем,

в случае дискретных следящих систем можно ввести понятие коэффи циентов ошибок. Для импульсной следящей системы без запоминания выходной сигнал связан с входным соотношением

	СО
х(пТ) = Т 2		g ( n T — mT)k(mT).			(12.62)
	m = О
Разложим функцию g (пТ — тТ) в ряд Тейлора:
g (пТ - mT) = g 0iT) -	(niT) g' (пТ) -1- 1 (mT? g" (пТ) +				. . . + -
	+	1=0 T ) T - S ^ m	+	Rt,	(12.63)
где
R, = (~	’^ T) ■gW (nT — AmT), 0 <		A <	1.

При этом предполагается, что функция g(t) имеет I первых произ водных в интервале 0 < t < оо. Ряд (12.63) будет тем быстрее схо диться, чем медленнее изменяется воздействие по сравнению с изме нением импульсной переходной функции k(t).

Если g(() медленно изменяется, то последним членом можно пре небречь.

Введем в рассмотрение сигнал ошибки

е (пТ) = g (пТ) — х (пТ) .

Имеем:

ОО
е (пТ) = g (пТ) — Т 2 g (n T — mT)k(mT).	(12.64)
m-0

Представим ошибку в(пТ) в виде ряда

e{nT) =	C0g(nT) +	C1g { n T ) +		. . . +
где С0,	С[......... C,n-i — коэффициенты				ошибок.
Сравнивая этот		ряд	с выражением		(12.64), получим:
				ОО
		С0=	1 — Т	2 k(mT),
				/71 = 0

СО

С, = (— \)1+1Т 2 (штук{тт).

/71 = 0

(12.65)

( 12. 66)

Коэффициенты ошибок могут быть вычислены не только с по мощью формул (12.66), но и по заданной передаточной функции Ф*(г).

558

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

|гл. хи

Имеем:

ф* (г) = Ф* (е*т) = Т 2 к (пТ) е~*пТ.

я-о

Дифференцируя обе части этого равенства по s и полагая s = О, получим:

Ч1Ф(ет)		=	(— \утУ.11(пТ)(пТу.					(12.67)
ds‘		=	(— \утУ.11(пТ)(пТу.					(12.67)
ds‘					м-о
					м-о
Сравнение формул (12.66) и (12.67) дает:
dl {1 - Ф* (esT)\ \				_	(	d!K(*sT)		( 12. 68)
Ц =	ds‘		J3_0		1	ds‘		( 12. 68)
	ds‘		J3_0		1	ds‘
Формулой (12.68) не всегда удобно пользоваться при вычислении
коэффициентов ошибок. Поэтому				ниже выводится другое выражение,
предложенное В. П. Перовым.
По теореме о конечном значении (12.22) имеем:
Пт е ( п Т ) =			lim	г		Z {е (лГ)}.
л->-оо			z - y l	г		1 4	’
В силу (12.65) можем написать:
Ит { — - ®: w	о о } =
= i> i{ £^ i [C°G’ (2) + ClG1*('2 ) +							+ 7 Г ° М* Н } ’
где	G1(2), G2 (г)......... O'* (г)
	G1(2), G2 (г)......... O'* (г)
— 2-преобразования	для первой,			второй		и т. д.	производных вход
ного сигнала g(t):
			СО
	Gl*(z) =		2	g<l4 n T ) z - n.
			п=0
Очевидно, что выражения (12.66) для коэффициентов ошибок С0,
Ct......... СГ не зависят от вида входного сигнала							g(t).	В частности,
взяв в качестве входного сигнала g(t) = tn, в силу соотношений
	g{t) =	ntn~ 1,
	£ (/) =	я ( п — 1)*»-».
	(о = л(л — 1) . . . 3 • 2 • t,
	g W (0 =	»l.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК

559

получим следующую рекуррентную формулу для определения коэф фициентов ошибок:

	л-1
Пт ■	ф: ( 2) Z { f e} - 2 if /г (/t — 1)
Z > 1	i-1
Z > 1
	. .. {ti — i + \ ) Z [ t n- i}Cl — CbZ[tn)	(12.69)

Коэффициенты ошибок в ряде случаев позволяют при медленных воздействиях вычислить ошибку следящей системы, не прибегая к формуле (12.64). Обычно коэффициенты ошибок связывают со стан дартным воздействием вида

	go(t) =	A ^ ,
		1
	G0(s) =	A s"+i ’
		Тп+1г п , ч
		чЛИ ^ л (г)>
где		( г — 1)” и
где
D• M =	‘V ‘ ~l + ‘V ’ r i +	+ ‘,>.
		/ = 1
причем	Dn (z) \|г_j = 1.

(12.70)

(12.71)

(12.72)

1)к->Г<Л~Л (12.73)

Этот сигнал имеет п первых производных, не равных нулю. Со гласно формуле (12.65) ошибка будет равняться нулю, если все коэффициенты ошибок С0, Clt С2........... Сп будут равны нулю. Как и в теории непрерывных следящих систем, это соответствует

системе с астатизмом и-го порядка,	т. е. передаточная	функция		ра
зомкнутой следящей системы должна	иметь полюс s =	0	порядка	п.
Передаточная функция ошибки ФЕ(s)	должна иметь нуль		s = 0	по
рядка п.

Выясним, какими свойствами должна обладать передаточная функ ция дискретной следящей системы, имеющей коэффициенты ошибок С0, Cj......... С„, равные нулю.

Разложим передаточную функцию Ф*(г) в ряд Тейлора в окрест

ности точки 2 = 1:
® :( * ) = Ч + Л1( * - 1 ) +		-5ГЛ .С г - 1 ) 8+ . . . .	(12.74)
где
А1	dl<{z)
А1	*г	г- l '
	*г	г- l '

560

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ. XII

Для сигнала ошибки имеем выражение

Е* (г) = ф ; (z) G* (г) =

{ Л0 + A, (z -

1) +

-i- A2(z -

1 )2 +

... } G* (г).

В случае, если на входе действует «стандартный» сигнал (12.73), то

£ * (* )= А + А (*

1) + - ^

и 2( 2 - 1 ) 2 +

T"+tzDn (z)

J (z-l)n+1

Согласно

теореме

о конечном

значении установившаяся ошибка

будет равна

lim е(пТ) —

lim | Гло-|- А 1(2 — 1) -f- -ну А2(2— I)2 -)- ...

Т«+Ю„(г)\

л -> со

z •> 1 ^ ^

( г -1 )" Г

Очевидно, для

того

чтобы ошибка стремилась к нулю,

необходимо

и достаточно,

чтобы

первые п

коэффициентов

ряда

равнялись нулю,

т. е.

(г)

г =

0, 1,

п.

(12.75)

^1 =

dzl

Для выполнения этих условий достаточно, чтобы Ф* (г) содержала множитель (z — 1)', где 1 ^ п , т. е. чтобы передаточная функция ошибки была равна

Ф:(2) = (2— 1)У (2),

где i*(2) не равна нулю при 2 — 1. Для этого достаточно, чтобы передаточная функция разомкнутой импульсной системы имела полюс z — 1 порядка не ниже п:

	V4z) =	1— (2— 1)'ф*(2)		1	_
		----- ------	- -	= ---------; X* (2) (12.76)
		{ Z ~ \ ) l f { z )		( 2 - 1 ) '
где X* (2) не имеет полюсов 2 = 1 .				что К (s),	соответствую
- Из	свойства	2-преобразования следует,
щая формуле (12.76), должна иметь полюс				s — 0 порядка /.
На	основании	формул (12.68) условия (12.75) эквивалентны тому,

что первые п коэффициентов ошибок равны нулю. И наоборот, если первые п коэффициентов ошибок равны нулю, то выполняются усло вия (12.75) и в дискретной следящей системе используется четырех полюсник, передаточная функция которого имеет полюс s = 0 по рядка п.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

561

9.Примеры расчета дискретных систем управления

Внастоящем параграфе будут рассмотрены некоторые задачи ра счета дискретных систем управления.

Рассмотрим структурную схему простейшей дискретной следящей системы (см. рис. 12.1). Положим

" « = ' ■

<12-77>

Найдем реакцию системы на единичный ступенчатый сигнал на входе. Из таблиц находим:

К*(2):=	КТ(\ — d)z	d = е~аТ.
	z* — 2(1 + rf) + d '

Передаточная функция замкнутой системы будет равна

Ф* (г) :	z* — z( 1	КТ (1 — d)z	(12.78)
		— kT + kTd + d) + сГ

Дискретные значения реакции на выходе находятся с помощью

формулы обращения
, r , _ J _	________ КТ (1 — d) г2__________ z"-i	dz. (12.79)
Х {П1 ) — 2тсу ( _ jr ^	[г а — г ( 1 — kT + kTd + d ) + d] (z — 1)	dz. (12.79)

Интегрирование производится по контуру единичной окружности, так как предполагается, что система устойчива и все полюсы ее пере даточной функции лежат внутри единичного круга.

Разлагая подынтегральное выражение (12.79) на элементарные дроби с помощью формулы вычетов, найдем выражения для выход ного сигнала в дискретные моменты времени.

Для К — 1, а = 1, Т — 0,2 имеем:

	X*{z)	0,036.?3
		(z — 1) ( г 2 — 1,7842 + 0,82) '

Корни двучлена в знаменателе равны
р1 2=: 0,892 ± J0,158 = 0,905 ехр (± j 10°).
Реакция на выходе определяется формулой
х (пТ) =	1 — (0,905)" {0,445 sin (п 10°) + cos (п 10°)}.
Аналогичным	образом может быть найдена реакция для Т — 0,4,

0,6 и т. д.

В результате такого расчета получаются дискретные значения переходного процесса на выходе системы. На самом деле переход ный процесс непрерывен. С помощью 2-преобразования с запаздыва нием можно найти точные значения сигнала в промежутке между

36 Зак. 1083. В. В, Солодовников


562			АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ.			СИСТЕМ			[ г л .	XII
воздействиями сигнала на входе.				Однако,		как	показывают расчеты,			вся
кривая	переходного		процесса	с	достаточной			точностью	получается
в данном случае соединением дискретных точек плавной кривой.
На	рис.	12.15 приведены		переходные			процессы дискретной			си
стемы,	рассчитанные		по формуле		(12.79)		для	К = а = 1	и Т — 0;
0,2; 0,4; 0,6,		и соответствующей непрерывной системы для К = а =								1.

Рис. 12.15.

Из этих кривых видно, что время установления для дискретной системы меньше, чем для непрерывной, при одинаковых значениях коэффициентов усиления К и постоянной времени x — lfa.. С умень шением периода дискретности Г переходный процесс приближается к переходному процессу соответствующей непрерывной системы.

Рассмотрим ту же самую систему, но с запоминающим звеном на период Т. В этом случае

Y ^ ~ s (s + а) •

Согласно формуле (12.41) с помощью таблиц г-преобразования находим передаточную функцию разомкнутой дискретной следящей

системы	Tz	(1—d.) z
1 Э Д =
		- 1 )(-<) ’
Г ( г ) =	z	z(aT— \ + d ) — d(aT+ 1) + 1
		« [* * -* (! + d ) + d]

91	ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА		ДИСКРЕТНЫХ	СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЕ	563
	Передаточная функция		замкнутой системы будет равна
	Ф*Сг) =		УЧУ)	z -f- Да
	Ф*Сг) =	1+ УЧ*)		+ Ь3г -(- b3 ’
где	di аТ — 1 —\|—d,	— 1 — d ((хГ —{—1), Ъj — ос, b3— осТ —- 1 —\|—

-\-d — ос — aid, b3= 1 — d (1 — аТ — а).

С помощью уже применявшихся приемов находим значения реак ции на выходе системы в дискретные моменты времени.

При ос =		/ С=1 и Т — 0,				2 имеем:
	v ./ - x			0,02га +		о,017г
		(Z) ~	( г —		1) (га —	1,8г — 0,837) '
		р1>2 =	0.9	±	уО, 164 = 0,915 ехр {± у 10°},
	х ( п Т ) =		1 — (0,915)" {0,490 sin(лг10°) — cos(«100)}.
На	рис.	12.16	приведены			переходные процессы для а = К — \ и
Т = 0;	0,2;	0,4;	0,6.	этих графиков с кривыми рис. 12.15 следует,
Из	сопоставления

что при одних и тех же параметрах время переходного процесса дискретной следящей системы без запоминания меньше, чем у системы

®	r=0	X d l- l- e ^ /jsw 7 I'COS f t }
©	ЬВг	X{n7]=!-((/.S/5)"jUiUsin(nlOJ-ж(пЮ'))
©	M4	X(nT)-Ha.S53flaVsin(nZri-cos(n2l'))

с запоминанием. Это понятно, ибо, как упоминалось ранее, запоми нающее звено является просто низкочастотным фильтром. Последо вательное введение такого звена эквивалентно увеличению инерцион ности системы, «сглаживающих» постоянных времени. Чем меньше период повторения дискретной системы с запоминанием, тем ближе переходный процесс к переходному процессу соответствующей

36*

564	АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ	[ГЛ. XII
непрерывной	следящей системы. При значении периода	повторения

Т .^ 0,2 переходный процесс дискретной следящей системы с запомина нием практически совпадает с переходным процессом соответствующей непрерывной системы.

10. Дискретный случайный сигнал и его характеристики

Перейдем к рассмотрению характеристик дискретного случайного

процесса.
Очень часто на входе импульсной	следящей системы действует
тот же стационарный случайный сигнал,	что и в непрерывном случае,

скажем, сигнал радиолокатора, отраженный от цели. Пусть спек тральная плотность и функция корреляции этого непрерывного про цесса будут S ( со) и R (т).

Если стационарный случайный процесс — эргодический. то для такого процесса можно при нахождении функции корреляции заме нить усреднение по ансамблю усреднением по времени. Нетрудно показать, что для такого процесса, взятого дискретно, функция кор реляции будет представлять просто дискретные значения корреля

ционной функции	соответствующего непрерывного процесса:
	N
R (.пТ) =	^ ( ( Г ) х ( ( Г + ВГ ) = / ? ( т ) \|,=лГ (12.80)
°°	i = —N

Преобразование Фурье от этой дискретной корреляционной функ ции будет спектральной плотностью соответствующего дискретного процесса. Согласно предыдущему имеем следующее выражение для спектральной плотности:

5* (2) =	СО
5* (2) =	2 R ( iT )z ~ l, z =	е!шТ.	(12.81)
	I =» — СО
Очевидно, что при	периоде повторения,	стремящемся	к нулю,

эта спектральная плотность, умноженная на Т, стремится к спек тральной плотности соответствующего непрерывного процесса:

TS (е!шТ) —> S (со)		при Т -> 0.
Формула (12.81) может быть записана в виде
5* (2) = R* (2) +	ЙГ( г - 1) — R (0),		(12.82')
где R*(z)— 2-преобразование для	функции
R V ) ,		< > о ,
/(0 =	о,	* < о .

Таким образом, спектральную плотность дискретного стационар ного процесса можно найти с помощью таблиц 2-преобразований

10]	ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ	СИГНАЛ И	ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ	Вб5
по известной корреляционной		функции	соответствующего непрерыв
ного	процесса.

Например, корреляционная функция флуктуаций амплитуды отра женного от самолета сигнала имеет вид

(т) = R (0) е~аIтI cos 2-с.

Корреляционная функция соответствующего дискретного процесса будет равна

	R (пТ) =		R (0) е - “ I пТ\ cos QnT.
Спектральную	плотность дискретного			сигнала находим из таблиц:
	R*(z) =	R ( 0)	z—ze-T cos QT
			z 2 —2ze -aTcos У7 -\|-e -a=l7' ’
R*(z~') =		R(0)	1— ze		aTcos QT
			1 —2ze—*Tcos У T			g—2<*7>2
Подставляя	в формулу (12.82) это			выражение,			получим:
S'(z) = R{ 0)			C j Z 3 - f	C 0 z 2 +		C j Z

		boz^ -(- b\Z3 -[- b(jZ^ - j- b\Z - \|- bo
	cj =	e -^ c o s 2 7 (е_2аГ— 1),
	Cq=	1 — е_4аГ.
	b2= e ~ 2aT,
	bl =	— 2e~аГcos QT (1			e~2°T),
	b0=	1 -)- 4е-2аГ cos2 2 7 -}- e~iaT.
Иногда S*(2) удобнее		находить следующим образом. По извест
ной R ( т) находят 5(ш).		Делая замену и>= — j p ,					с помощью таблиц

находят 5* (z) — Z { S (— jp )}.

Корреляционная функция определяется по данной спектральной функции S*(z) разложением по степеням. Коэффициенты при соот ветствующих членах дают значение корреляционной функции для

дискретных значений т— пТ, т.	е. R(nT). При этом	можно пользо
ваться формулой обращения
R ( n T ) = -^ L -	(J) S*(д) z"-1 d z .	(12.83)

Интегрирование в этой формуле производится по граничному контуру области, внутри которой подынтегральная функция S*(z) регулярна, для чего достаточно, чтобы она не содержала полюсов внутри этой области. Если спектральная плотность не имеет полюсов на окружности единичного радиуса, то в качестве такой области можно взять кольцо, заключающее окружность единичного радиуса и не содержащее полюсов функции S*(z).

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 6656 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ