Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6654 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

536 АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII

интегрирования прямую (с — у со, c -\- jc o )			и полуокружность,				лежа
щую слева от этой прямой (рис.		12.10, б).
Полюсы подынтегральной функции внутри контура интегрирования
«будут совпадать с полюсами	0 ( 5	) . Если G ( s		) =	^	>	т о
N
0(в0 = У		------ i	z	i	r .		(12.14)
~	B ' ( s n) 1 - е			(

где Д '( 0 = -!г S=Sn, sn — полюсы G(s), N —число простых полюсов. Замена непрерывной функции g(t) дискретной g T(t) приводит

к образованию из G(s) периодической функции СО

		GT( s ) =		^	G^s — у		jn j
	. 2 л			п = —со
с периодом j - у -.
Для функции		Gr(s)	расположение			полюсов периодически повто-
ряется в каждой		полосе			2тс	и параллельной действитель
			шириной - у
ной оси.	из представления G t					виде	суммы бесконечно боль
Это ясно					( s ) в
шого числа	слагаемых вида
	G	— y j n ^ ,		п — 0,		± 1 ,	± 2 .........

где G(s) есть преобразование Лапласа для соответствующего непре рывного процесса g(t). В силу этого, если при некотором s — a функция G(s) обращается в бесконечность (точка s — a является по люсом), то очевидно, что в этой же точке будет обращаться в бес

конечность и GT(s).		последней	каждому полюсу G (s) будет
Вследствие	периодичности
соответствовать	бесчисленное	множество	полюсов Gr{s), которые от-
личаются друг		. 2 л
	от друга на величину j - у п.

4.^-преобразование

Для анализа линейных дискретных систем можно применять обыч ное преобразование Лапласа >)*2).

Однако, если поведение системы достаточно полно описывается значениями выходной функции в дискретные моменты времени и уточ

Э	Г а р д н е р	М. Ф., Б э р нс Д. Л., Переходные процессы в линейны
цепях, Гостехиздат, 1949.
2) Ц ы п кин Я.		3., Переходные и установившиеся процессы в импульс
ных цепях,	Госэнергоиздат, 1951.

4] 2 - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 537

нение поведения системы в промежутках, между импульсами не пред-' ставляет интереса, то удобным математическим аппаратом для анализа дискретных систем может служить так называемое 2-преобразование1). 2-преобразование используется в работах А. М. Яглома2), который, однако, не применяет этот термин.

2-преобразоваиие получило широкое применение для анализа ди скретных систем в зарубежной литературе.

Смысл 2-преобразования заключается в следующем3). В предыду щем параграфе было показано, что преобразование Лапласа для ве личины на выходе дискретного элемента может быть представлено одной из следующих двух формул:

	СО
GT(s) — T ^		g (пТ) e~nTs	(12.15)
	п - О
ИЛИ
	с о
GT( s ) =	2	С?(s —1—у7ш0).	(12.16)-
п= —СО
Эти выражения показывают,	что к дискретному		элементу непри-

менимо обычное понятие передаточной функции, но что в то же время, он представляет собой линейный элемент, к которому применим прин цип суперпозиции. 2-преобразование упрощает анализ систем, содер-- жащих дискретные элементы.

Для получения 2-преобразования необходимо выполнить три опе-- рации:

1) определить значения сигнала в дискретные моменты вре-- мени;

2)найти преобразование Лапласа для последовательности полу ченных таким образом импульсов;

3)произвести в полученном преобразовании Лапласа подста новку z = esT.

Следует еще раз подчеркнуть, что 2-преобразование позволяет получить сведения о сигнале лишь в дискретные моменты времени. Всякий непрерывный сигнал, имеющий преобразование Лапласа, имеет также и 2-преобразование. Но несколько различных сигналов, имею щих различные преобразования Лапласа, будут иметь одно и то же 2-преобразование, если значения этих сигналов совпадают в дискрет ные моменты времени t — iT. Наоборот, одному и тому же непре рывному сигналу можно привести в соответствие несколько 2-пре- образоваиий в зависимости от выбранного периода Т. Вид их будет

J)	Д ж е й м с	и	др„ Теория следящих систем, ИЛ, 1951.
2)	Я г л о м А.	М., Введение в теорию стационарных случайных функции,
Успехи матем. наук,			т. VII, вып. 5 (51),		1952, 3 —168.
3)	R a g a z г i n i		1.	R., Z a d e li L.	A.,	The Analysis of sampled-.lata
systems, Transac. of			the	I ЕЕ, ч. 11, 1952,	стр.	225

538		АНАЛИЗ	ДИСКРЕТНЫХ	СИСТЕМ	[ГЛ.	XII
один и тот же,		но значения	коэффициентов — разные		для разных	Т
{см. таблицы в приложении V).
Такая	неоднозначность не имеет места и 2-преобразование не при
водит к	потере	информации	о входном	сигнале лишь	в том случае,

если частота повторения импульсов 1/Т превышает удвоенную наи высшую частоту, содержащуюся во входном сигнале.

В тех же случаях, когда период Т задан и нас удовлетворяют сведения о выходном сигнале в моменты времени, разделенные интер валом Т, анализ дискретных систем при применении 2-преобразования оказывается более простым, чем при применении преобразования

Лапласа.

теперь

более

строгое

определение 2-преобразования, чем

Дадим

то, которое было приведено выше.

Предположим,

что функция

имеет

преобразование Лапласа

СО

0(s) =

g (t)e ~ st dt.

(12.17)

Пусть

в (12.17) функцией g(t)

является

дискретный

сигнал вида

СО

g Tv ) = T ' 2 l g

4 t — iT).

1 = 0

Подставляя это выражение

(12.17),

получим преобразование

Лапласа для

дискретного сигнала

в следующей

форме:

ОО

GT(s) =

TCr(esT) = T

’2 l g ( i T ) e - ‘sT.

(12.18)

im О

СО

Если

бесконечной

сумме

g (£^) e~isT

обозначить esT — г,

то

получим

следующее

определение

2-преобразования

для функ

ции

g{t):

СО

z-i=Z{g(t)}.

(12.19)

о*(2 ) = 2 gm

Это выражение с точностью до множителя Т является полной

аналогией

преобразования Лапласа для непрерывных функций

ОО

G(s) =

g (t)e ~ st dt.

В виде примера найдем ^-преобразование для функции

g(t) = e~*T,

t > 0 .

4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 539

Согласно	(12.19) имеем:
			ОО
		0*(г) =	2 г ^	г - ”.
			о
По формуле		геометрической	прогрессии при \| 2 \| >			е -а7' получим:;
		О*(2):	- е - ' Т г - 1'
			- е - ' Т г - 1'
		Z l e - ° Tl =			,-«г •
		1 ■e~aTz ~ 1			,-«г •
По этой формуле 2-преобразование				определено для 12 1>			“г ..
Однако, как	и	в случае преобразования Лапласа, это 2-преобразо--
ванне методами		аналитического	продолжения		функции	комплексного,

переменного может быть с сохранением вида функции распростра нена на всю плоскость переменного г, за исключением окрестности особых точек, так что можно считать, что это 2-преобразование справедливо для всей плоскости z, за исключением окрестности

особых	точек.
В качестве другого примера найдем 2-преобразование для функции
			g ( t ) =		t.	t > 0 .
Согласно (12.19)		имеем:
или
	G*(z)		. . .	1	, 2 ,	3
		z T	z 2	г	г * 1	- ?4
Интегрируя обе части этого равенства и используя формулу для1
суммы бесконечной геометрической прогрессии, получим:
/	<?() dz =	1	1		1		с.
/	z T	zi	2*		z:>
	z T
Дифференцируя		и умножая			обе	части полученного	равенства*
на zT,	окончательно	найдем:
				.		Tz
			°(* > = ( T - i ) i .
Аналогичным образом			можно		найти 2-преобразование		для любой;
функции.

540

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

[ГЛ. XII

настоящее

время

составлены

достаточно

полные

таблицы

^-преобразования,

по объему не уступающие таблицам обычных пре

образований Лапласа (см. приложение V).

Остановимся на некоторых свойствах ^-преобразования.

Обозначая

(12.14)

esT =

получим

общее

выражение

для

а) Пол/ось/ G(sj

2-лреобразования в виде

ч-плоскость

О* (г). = V

d ifa l.

В (S/l) г ~ ‘

(12.20)

*s,

Поэтому в общем случае

0 ’ Сг) =

б) Полюсы G,(s);Zn(s -fJ у5 и)

_ 0 о гл + а12,!- 1 +

... + а п

Зп

а -плоскость

Ь0гп + Ь ^ г " -1 +

.. + ь „ -

( 12. 2 0 ' )

(,'метснные

Имеем:

лолюсы

z ~ e s T _ е сТ . e j a T

Несмещенные

и при

с =

z =

eJa>T.

11з этих выражений оче

полюсы

видно,

что

прямая

s = с на

_ 5л

плоскости

переходит

в окружность

радиуса

г =

есТ на плоскости

мни

мая

ось

с =

переходит

окружность

единичного

радиуса и

прямая

s — с =

= — со — в начало коорди

нат,

так

как

е~соГ — 0

(рис. 12.11). При

измене-

нии

в пределах

л <

ш <

-^-(n-j-l), где п—лю

бое целое число,

радиус-вектор

z =

eJwT совершает один оборот по

окружности единичного радиуса в плоскости z.

Таким

образом,

левая

полуплоскость

s преобразуется в круг единичного радиуса на

плоскости z.

Выше

мы

видели,

что

полюсу

s = \

преобразования

Лапласа G(s) функции g(t) соответствует бесконечное число полю сов преобразования Лапласа Gr(s) дискретной функции g T(t)- Одно из удобств z-преобразования заключается в том, что каждому

4]	Z - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	541
полюсу	s — \ l функции G(s) соответствует только	один полюс
г == eltT	функции G* (z).

Ф о р м у л а о б р а щ е н и я д л я z-n р е о б р а з о в а н и я. Фор мула обращения, позволяющая решить задачу нахождения оригинала,

соответствующего данному ^-преобразованию,

может быть

получена

следующим образом.

Имеем согласно (12.15)

С'\- /ш

С +

/ о о

g(nT) = -^j

GT{s)esnT ds =

—

I' G*(esT) e Ml ds.

С — /с о

с — / с о

Отсюда, полагая

z =

esT,

получим:

Z ( nT) =

G * ( z ) z ^ d { ^ .

I z \ = ecT

Здесь

интегрирование

производится

по

окружности

радиуса

R =

ecT,

внутри которой расположены все полюсы выражения G*(z),

так

как прямая

(с — j

оо;

c-f-y'oo),

левее

которой расположены все

полюсы Gf(s),

переходит

в результате

замены z = esT в окружное гь

радиуса

R — ecT.

Окончательно имеем:

g(nT) =

- ~

G*{z)z«~'dz.

(12.21)

| z |- e c^

Приведем без доказательства некоторые теоремы, справедливые

для z -преобразования. Их

доказательство

аналогично доказательству

соответствующих теорем для преобразования Лапласа.

Теорема

о начальном значении

£ ( 0 ) =

Нш

(12.22)

2 -> СО

Теорема

о конечном значении

Нш g (пТ) = lim -— - G* (z).

(12.23)

п -+ СО

2 +

(12.24)

со

оо

Z { 4 ^ } =

••• /

G*(e*T)ds"

(12.25)

, , s T .

при g-(0) = 0.

542

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

1гл. ХН

5.^-преобразование с запаздыванием')

Вдальнейшем при расчете дискретных систем потребуется z-npe- образование с запаздыванием, которое для функции g + ) определяется соотношением

G*(z, °) = y i g(nT + 3 T ) z - n.	(12.26)
п = О

Фактически ^-преобразование с запаздыванием есть некоторое пре образование для непрерывной функции, в которой определенным образом выделяются дискретные значения в моменты времени t = nT. При о —>0 z -преобразование с запаздыванием переходит в обычное z -преобразование. Отметим ряд свойств ^-преобразования с запа здыванием.

Очевидно, что

О* (г. 1) = г (7 ,) + г ( 2 Г ) г - Ч - £ ( 3 7 ') г - * + . . . .

G*(z) = g ( 0 ) - \ - g ( T ) z - ' + g (2Т )z-°- +					. ..,
0*(г. - l ) = g ( - Т) +		g{Q)z~Ч - г ( Г ) д - 2		+	г (2 7 )2 - 3 + . . .
Поэтому
G* (z,	0) =	G* (z),
G*(z.	l) =	[0*(z) — ff(0)]z.
G*(z,	1) =	[0 г(2) —	G*(z)jz,
G*(z, - 1	)=.-z-iG* (*) +		£ ( — Г).

Эти свойства позволяют легко контролировать правильность вычи сления z -преобразования с запаздыванием.

В таблицах приложения приведены для каждой функции ее z-npe-

образования с запаздыванием.	значения могут	быть	получены по
Соответствующие дискретные	значения могут	быть	получены по
известной величине X*(z, о) с помощью формулы обращения
х (дГ + 37’) = 2 ^ 7	§ X * ( z ,° ) z "	dz	(12.28)
	\z\=ccT

или простым делением числителя на знаменатель, причем коэффи циенты при z°, z -1, z -2 и т. д. дают соответственно дискретные значения функции при t — cT, (1 —{—а) 7", (2 + 0)7 и т. д.

Первые две теоремы, приведенные в конце предыдущего пара графа, справедливы и для z -преобразования с запаздыванием.

') В а г k е г R. Н.,	The pulse transfer function and its application to sam
pling servosystem, Proc.	of the 1EE, 4. IV, t . 99, December, 1952, стр. 302—17.

51	2 - ПРЕОБРАЗОВАНИЕ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ	5 4 3
51

Докажем некоторые положения, важные для дальнейшего изло

жения.

Пусть G* (г, о) — ^-преобразование с запаздыванием, соответ ствующее преобразованию Лапласа G (s). Необходимо найти выраже ние для 2-преобразования с запаздыванием, соответствующее svG(s),

которое является преобразованием Лапласа для функции d ^

(при [ £ * ( < ) - в ] м . « « 0 . 1.........

Продифференцировав обе части равенства (12.26) v раз по о, получим:

П*0

Отсюда ясно, что дЮ* (г, а) является '2-преобразованием с запаз

дыванием для функции — g (t), так как нетрудно убедиться в спрэ ев

ведливости	равенства
	d		...	I	d	.	т , т\
	—	g(t) =		--------g h i r -\-аТ).
Таким	d P			Т ' д Р
Таким	образом,	1 дЮ* (г, с)
		1 дЮ* (г, с)				<— >svG (s)
или			дз-<
или
	Z	[	rfvg (0	1		1 УО*(г. о)
	3 \|		dP	I		Г	дР
Отсюда	для 2-преобразования				имеем:
	.	1	Г dvG (г, =) I				.
	--------- Д -				-	<— »■s'G (s)
		Г L				Ji=o

или, при нулевых начальных условиях,

(12.29)

(12 30)

(12.31)

Л	rfv.g V) \	_ 1 [ dvG*(z, О		(12.32)
1	J	7”' (	дР
				ст=0

Далее, пусть 0*(г, о) — 2-преобразование с запаздыванием для функции g(t). Необходимо найти 2-преобразование с запаздыванием,

соответствующее преобразованию Лапласа y G (s). Очевидно, что

последнее выражение является преобразованием Лапласа для функции

ST(0 = / ё У д Ы

(при нулевых начальных условиях g’i(O = 0)>

5 4 4

АНАЛИЗ

ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ

[ГЛ. XII

Учитывая,

что

t =

n.T-\-oT,

имеем:

П-\

g(iT +

3T)do +

T f

g ( n T + o T ) d o .

/= 0

(12.33)

Умножая обе

части

на

z~n

суммируя

от 0 до

со, получим:

g!(z, о) =

Т f

G*(z,

o ) d o - \ - z ~ 4 f

g{*T) da +

+ z - Ч f g (оT) do 4 - z - Ч f g (Т -I- оТ) do +

z~nT f

g(oT)do +

z~nT f g (T +

oT) do +

. .. +

+ z ~ 4

g \ { n — \)T +

oT\do,

то есть

G \(z , a) =

T ^

G* (z,

a)d o - j - T

G* (z,

a) do

(12.34)

или

(■

z j f

? W

^ i [ =

r /

0*(2, о)do + T

G’ {z,

o) do,

(12.35)

l 0

Отсюда,

полагая

o =

имеем:

\ f

g ( t 1)d ti } =

7 - ^ r f

G* (z,

o)do.

(12.35')

Приведем

без

доказательства еще две теоремы

G(s) — T J1G* (esT, o)e~aTsdo,

c + jc o

G(X)

• «

Г —yuo

6]	ПЕРЕДАТОЧНЫЕ	ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ	СИСТЕМ	545
	6. Передаточные функции дискретных систем
Предположим, что дискретный сигнал воздействует на				непре
рывную	систему с передаточной функцией К (s)		(рис. 12.12,	а),
	а/ Импульсная система без запоминания
	g tt)	g r ( t )
		У/s)	гft)
			гft)

ffillfml

g(t)	gT(t)	У*/г)
		х, (t)

б) Импульсная сист ема с запоминаниемнапериод диснретности

Рис. 12.12.

Подставив в известную формулу для выходного сигнала

Х (0 = f00k ( x ) g ( i — x)dx = Jt k(t — Ti) g (x,) dXy

о	0
выражение (12.2) для дискретного сигнала на входе,		получим:
	JV<y-
x(t) = T	2 g ( i T ) k ( t - i T ) .	(12.36)
	/=о

35 За к. 1083. В. В. Солодовников

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 6654 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ