книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

Взаключение необходимо отметить, что изложенные здесь методы целиком применимы к линейным системам с постоянными парамет­ рами и, в частности, к исследованию динамической точности этих систем непосредственно после поступления на вход системы случай­ ного процесса.

7.Методы определения дисперсии и корреляционной функции случайных процессов на выходе линейных

систем с переменными параметрами

Внастоящее время распространены два метода решения задачи

выходе заданной системы при случайном входном сигнале с известной корреляционной функцией.

Первый метод — аналитический. Он заключается в определении моментов распределения вероятностей ошибок системы методом ре­ шения дифференциального уравнения, описывающего систему, или вычисления интегралов типа рассмотренных в § 10 гл. IV по извест­ ной спектральной плотности входного сигнала и передаточной функ­

исследуемой системы случайными воздействиями заданного типа, полу­ чаемыми при помощи различных генераторов шума и эксперименталь­ ной обработки случайного сигнала на выходе. В случае постоянных систем и стационарных воздействий эта задача решается при помощи коррелятора, вычисляющего корреляционную функцию стационарного процесса.

Если же воздействие нестационарно или система имеет перемен­ ные параметры, необходимо проводить запись достаточно большого числа реализаций выходного процесса и применять осреднение по совокупности. Недостатками этого метода являются необходимость большого количества данных для получения надежных результатов, сложность применяемой аппаратуры и громоздкость обработки.

Однако возможен и несколько иной подход к этой задаче. Он со­ стоит в том, чтобы, зная дифференциальное уравнение системы и характеристики случайного сигнала на входе, свести задачу к случаю «белого» шума на входе и получить соотношения, определяющие характеристики выходного случайного процесса через передаточную функцию системы. Мы применим этот метод к задаче определения корреляционной функции и дисперсии на выходе линейных систем с переменными параметрами при случайных воздействиях рассмотрен­ ного выше класса. Из предыдущего параграфа очевидно, что принци­ пиально достаточно рассмотреть только случай «белого» шума на входе системы, так как метод формирующих фильтров позволяет обобщить его на широкий класс стационарных и нестационарных случайных воздействий.

Итак, предполагая, что система описывается дифференциальным уравнением (10.1) и на вход ее подан «белый» шум, поставим задачу определения корреляционной функции Rx {t, т) нестационарного про­ цесса на выходе этой системы.

Выше было показано, что Rx (t, т) удовлетворяет дифференциаль­ ным уравнениям (10.51) — (10.54). Следовательно, фактически задача сводится к решению одной пары этих уравнений (вследствие сим­ метричности Rx (t, т) относительно плоскости t = x), порядок которых

равен порядку исследуемой системы и которые не включают в себя случайных функций. Эти уравнения могут быть решены приближен­ ными методами, рассмотренными в §§ 3 и 4 настоящей главы. Так как эти методы уже были рассмотрены выше, мы изложим здесь метод решения этих уравнений с применением моделирующих устройств. Целесообразно рассмотреть моделирование уравнений (10.51) и (10.52) или, что совершенно эквивалентно, (10.53) и (10.54), так как реше­

Как было показано в § 5, для рассматриваемого класса случайных

как уравнение (10.51) определяет корреляционную функцию в области t > х, то именно эти значения корреляционной функции и ее произ­

Для получения дисперсии и производных от корреляционной функции Rx (t, х) при t — x+ необходимо усреднить уравнение (10.75) по совокупности. При этом возникает задача определения средних

J) См., например, Du n c a n D., Response of Linear Time — Dependent Systems to Random Inputs, Journal of Applied Physics, t . 24, № 5, 1953 и книгу, цитированную на стр. 464.

480 ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. X

Преимущество этого метода заключается в том, что он позволяет

определить R lJ в виде непрерывных функций времени и приспособ­ лен для использования моделирующих устройств.

в виде дельта-функции, а однородное уравнение с начальными усло­

Повторяя процесс решения для различных фиксированных значений t, можно исследовать изменение дисперсии со временем.

9. Некоторые вопросы анализа линейных систем со случайными параметрами

Ранее мы рассматривали системы, параметры которых изменялись со временем вполне определенным образом, а входные сигналы явля­ лись случайными процессами. Однако существенный практический интерес представляет более общая постановка задачи. Дело в том, что большинство систем автоматического управления имеет параметры, которые меняются со временем в той или иной мере случайно. Дей­ ствительно, все элементы систем создаются с техническими допусками и поэтому должны рассматриваться как имеющие случайные пара­ метры в этих пределах. Кроме того, случайные параметры имеют системы, характеристики которых изменяются в зависимости от мгно­ венных значений входных сигналов. В радиотехнике, например, моду­ лирующие системы, а также систему автоматической регулировки

уравнений с коэффициентами, которые являются случайными процес­

так как они предполагают точное знание параметров как функций времени.

Рассмотрим некоторые вопросы анализа выходных процессов систем этого класса.

Итак, предположим, что параметры исследуемой линейной системы изменяются во времени случайным образом и к системе приложено случайное воздействие. Мы ограничимся в дальнейшем для простоты