Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 6652 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 > Следующая >>>

■516 СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. XI

)

Раскрывая

определитель,

соответствующий

(11.84), получаем,

отбрасывая множитель, левую

часть

искомого

уравнения:

- ( t + — s i l l m j )

D{p,

“о

t) =

— (1 +

р cos <V) е

откуда

jc'

(/)-+-(1 -f- р cos ш00

jc(t).

D (р , t) д: (/) =

Для определения

правой

части

получаем Д (0) =

At (0) =

0, и

уравнение (11.85)

принимает

вид

[М(р, х ) / ( т ) — (1 + p c o s m 0t) / ( t)1 d i ~ 0.

Отсюда

М (р,

t) =

1 -)- р cos ш0£.

Следовательно,

получаем

уравнение системы

+ ( l + p c o s c o 00 . * = ( l + P C° S О>0О / ( О -

Из

него видно,

что система

имеет

первый

порядок

и может

быть

реализована с помощью

/?С-фильтра

с переменным

сопротивлением

жо = 1 -f- p cos ш0 t

ипостоянной емкостью С. В то же время по приближенному зна

чению передаточной функции ') при р						1
Н (_/u), t) =	]	- ]и>' -f- р COS Ш(/		(1 + ju>)- +		“о	1
				—[—ptllQ 51П			./<■>
				—[—ptllQ 51П			[(1+У«)5 + “о ](1 + > )
							[(1+У«)5 + “о ](1 + > )
почти невозможно сделать вывод о структуре-системы.
П р и м е р		2. В § 3	было	показано,		что оптимальная линейная
система с	переменными		параметрами		для случая «белого» шума
имеет импульсную переходную функцию вида
		k{t,	т) =	g (0	g fr)
				t
				N'2+ f	g* (О dx

где g(f) — известная функция.

!) См. работу, цитированную на стр. 515. •

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФ. УРАВНЕНИЯ ПО ИМПУЛЬСНОЙ ФУНКЦИИ

517

Определим по изложенному методу структуру и параметры си стемы, соответствующей k (t , т).

Очевидно, что

п = 1 ,

9 ,(0 =

-------- --р ---------

№ +

g 2 N

( t )

№ + J

g* w dz

D(p, t) x (t) =

JVM

g 3 ( x )

£ 3 (0

rfx

1 2

JV9 +

(x) d i

Отсюда

определяется левая

часть

искомого

уравнения

- |

JV 9 + f g n- ( X )

r f x

- g 4 t )

D (р ,

t) х (t ) = х' (/) •

x(t).

JVM- J

g(,t)

Для

определения уИ (/у,

/) используем (11.85)

и получим уравнение

№ +

f g * (0) d О

L—

ты—

M T)/(t) -

* w / w J dz= °-

	Отсюда	g4t)
	’M(p. t) .	g4t)
	’M(p. t) .

№+ JV (x )d x

Следовательно, рассматриваемая система имеет дифференциальное уравнение

*' (0 ■	г « ' (J)	£9 (О	* (О	£9(0
	г (0	'		■/(О
			■ J V M	J g*(x)rfx
	N ‘	J > ( x )
	9+

518 СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. XI

и система может быть реализована, например, с помощью фильтра первого порядка, в котором R и С меняются со временем по закону

N2+

J g2(т) dz

С {t)

Со

R(f) =

g(t) '

П р и м е р

3. В случае

«белого»

шума

и g(t) = a0-\-ait задача

§ 2 гл. X приводит

к оптимальной системе

с импульсной

переход

ной функцией

■6т

> т .

k ( t . х)

- р

------ j ,

Из (11.87)

и (11.88)

следует,

что

этой

импульсной

переходной

функции

соответствует

система,

образуемая

параллельным

соедине

R,(t)=jr

нием

двух

звеньев

уравне

ниями

Н |>

чЛП Ш П Р

dx^

x \ =

3/(0 .

~2~dT

0-4

®----0

dxо

+-*2 == — 2 /(0 .

x(t)

-тПГШПЛР-

x (/) =

4 > -

* l(0 +

*2 (0-

На рис. 11.3 приведена

Рис.

11.3.

возможная

схема

реализации

этих уравнений.

П р и м е р

4. В качестве

последнего

примера

рассмотрим при

менение метода к определению дифференциального уравнения системы с постоянными параметрами. Пусть импульсная переходная функция

системы равна
k{t, z) = е—а(/—-) cos ш0(£ — т).	(11.89)

Разлагая cosco0(£ — т) по известным формулам тригонометрии,

получаем п — 2, (t) — e~at cos u)0(£), yz (t) = e~ats\n w0t. Составляя определитель D(p, t) по формуле (11.84), находим, что

D (p, t) = (p-\- a)2+ u)2, p = A - ,

Так как Д (t) — ш0е~'1а1.

din A(Q _ dx\ (t)

a In A (t) _

ox. (/)

— eat sin соJ,

“0

1■eat cos oj0C “o

7]		РЕАЛИЗАЦИЯ	СИСТЕМ		КАК	САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ				519
то для	определения правой			части		получаем			систему уравнений
		/
		j ’ еа' J^cos ш0т/(т) +			-^- sin ш0тМ (р,				z)/(z)J dz =	О,
		о
		t
		j* eaT£sin ш0т/(т) —			cos ш0тМ (p,				t) /( t)J dz =	0.
		6			0
Интегрируя по частям			и складывая, находим:
		t
	J	sin cd0(t — т) [M (p , z ) f ( t) — f						(t) — a/(t)] dz =		0.
	о
Отсюда		M ( p , t ) = p - \ - a и		искомое			дифференциальное			уравнение
имеет	вид
		[(4 t +	а) 2+	1< ] х W =			[-ж + a\ f <'>•
Легко	проверить, что		непосредственное					применение преобразований
Лапласа		к импульсной	переходной			функции			(11.89) приводит к ана

логичному результату.

7. Предварительные замечания о реализации систем рассматриваемого класса как самонастраивающихся

В § 4 мы указывали, что рассматриваемые оптимальные системы могут быть реализованы с применением вычислительных устройств, как самонастраивающиеся в зависимости от мгновенных значений входных неслучайных сигналов.

Так как в настоящее время теория таких систем только начинает разрабатываться, то мы, имея лишь в виду связать результаты § 3 более или менее наглядными физическими представлениями, приведем


здесь	одну из простейших схем (при m(t) = 0),							обладающую	свой
ством изменять свои параметры в зависимости								от характеристики
входного		сигнала.
Предположим, что воздействие g ( f						) п (t)	подается как на вход
системы,		так	и на	вход	специального	вычислительного устройства
(рис.	11.4).		При	этом	допустим, что	хотя	характеристики		обеих

составляющих воздействия и неизвестны заранее, но все же некото рая предварительная информация о них имеется.

Так, например, реальный практический интерес					имеет случай,
когда полезный		сигнал g	(/) зависит	от параметров	а,. а2......... ап,
о которых	нет	априорных	сведений,	а помеха имеет	известные ста
тистические	характеристики.

520 СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. XI

На основании известных результатов *) можно представить себе вычислительное устройство 3 (рис. 11.4), которое будет оценивать значения этих параметров. При этом система может работать сле дующим образом. По истечении некоторого промежутка времени уст ройство 3 (рис. 11.4) оценит параметры полезного входного сигнала, на основе которых устройство 5 определит значение оптимальной им пульсной переходной функции /еопт (t, т), которая сравнивается с «те кущей» импульсной переходной функцией системы I, равной

и значения которой в каждый момент времени выдаются блоком 6. На

Рис. 11.4.

основе результатов сравнения этих функций в устройстве 7 управ ляющее устройство 8 изменяет параметры корректирующего устрой ства 2 с тем, чтобы приблизить импульсную переходную функцию всей системы к оптимальной.

С течением времени точность оценок параметров будет возрастать, а вместе с этим будет возрастать динамическая точность всей системы, приближаясь к расчетному оптимальному режиму работы. Если по истечении некоторого промежутка времени значения параметров изменяются, то описанный процесс настройки повторяется.

Другим частным случаем, имеющим интерес для систем программ ного регулирования, является случай, когда полезный сигнал пред ставляет собой заданную функцию с известными значениями пара метров, а помеха имеет неизвестные статистические характеристики. Тогда требуемым вычислительным устройством для определения ха рактеристик помехи может служить, например, коррелятор 4 (рис. 11.4).. Настройка системы на оптимальные условия, если предположить, что характеристики помехи остаются приблизительно постоянными в те чение определенных промежутков времени, будет происходить так же, как и в предыдущем случае.

1) S l e p i a n	D„ Estimation of	signal parameters in the presence of noise,
IRE Transactions,	POIT—3. March	1954.

РЕАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ КАК САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ

521

В общем случае, однако, могут быть неизвестны заранее ни па раметры полезного сигнала, ни характеристики помехи. В этом слу чае в состав самонастраивающейся системы должны входить как вычислительное устройство для определения параметров 3, так и коррелятор 4. При определенных условиях эти два прибора будут корректировать друг друга и давать требуемую информацию о вход ном сигнале. Рассмотрение вопроса о точности такой параллельной работы этих устройств представляет собой самостоятельную задачу.

Другим интересным вопросом работы рассматриваемой системы является вопрос о влиянии точности вычислителя иа точность всей системы.

Рассмотрим случай, когда вычислитель определяет параметры сиг нала g (t) с ошибками, так что соответствующий сигнал g l (t) — ag (/), где а — постоянная величина. Спектральная плотность шума N 2 (мы предполагаем его для простоты «белым») определяется также с ошиб-' кой и равна на выходе вычислителя N* — [)2/V2.

Таким образом, построенная по этим данным согласно формулам § 4 (Х2(£ )= 1 ) оптимальная импульсная переходная функция будет равна

					(11.90)
	* ! +	/	s i т	я
		о
Если на вход такой	системы поступают			сигнал g	(t) и «белый» шум
с спектральной плотностью (V2,		то суммарная ошибка воспроизведения
Ч = С.+	' ' , = « '« )		[S »■(<) + .}'		(11.91)
			[S »■(<) + .}'		■
где			№
	Р3 (О		№
	Р3 (О
		f	ff2 (0) d0		(11.92)

Так как в случае, когда система точно настроена на характеристики

входного сигнала,	ошибка
	Е2	Р3 (О		(11.93)
	Е2	= g 2 (О 1+	р2 (О ’	(11.93)
то относительная	ошибка, возникающая		вследствие	неточного упра-
вления системой,
	£1 [ 1 + р2( 0 ] [ ( ^ ) 2р2С0+ 1]
	Е2	[§р*ю + \Г		( 1 1 . 9 4 )
		[§р*ю + \Г

5 2 2

СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [ГЛ. XI

Зависимость относительной ошибки £ 2/£ 2 от параметров р2 (I) и р /а 2 представлена на рис. 11.5.

Легко видеть, что отношение Е2/Е2 всегда (при (32/а2 Ф 1) больше

единицы, что и должно быть, так как за счет неточного управления системой ошибка возрастает. Интересно отметить, что согласно фор муле (11.91) при а2 = р2 ошибка совпадает с оптимальной. Кроме

того, максимум	отношения	(11.94)	достигается	при	а2/(32 = р2	и
имеются области	в плоскости	(Р2/а2,	р2), в которых	при	больших	а2

ир2 величина Е2 близка к Е2.

Опринципиальной возможности применения подобного метода управления говорит то, что прирост суммарной ошибки Е2 — Е2

вследствие неточного управления системой всегда меньше ошибки, допускаемой вычислителем в определении сигнала.

	Действительно,	если	г2 = [gt (t) — g (t)\2 = g 2{t)(\			— а)2, то	при
P2=	1
			' -	w	( 2 ,- 3 ,' - 3 ) < 0
при	всех a, т. e.	[E2— £ 2]max <		e2-	Например, если	a = 0,5,	то
[£2 — £ 2]max = 0,11 g-2 (/),			тогда как		e2 (t) — 0,25g2(/).

Г Л А В А XII

АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

1.Введение

Внастоящей главе рассматриваются некоторые вопросы теорииимпульсных или дискретных систем автоматического управления. Эта глава может рассматриваться как подготовительная к следующей гла ве, в которой излагаются методы определения оптимальных характе

ристик дискретных систем при случайных воздействиях.

i2. Основные понятия и определения

Всистемах автоматического управления дискретного действия величина на выходе какого-либо из элементов представляет собой последовательность импульсов, амплитуда, длительность или частота

повторения	которых	зависит от величины на входе этого	элемента
в отдельные (дискретные) моменты времени1).
Таким	образом,	в дискретных системах для передачи	сигналов

используются различные способы импульсной модуляции, как, напри мер, амплитудно-импульсная модуляция или импульсно-кодовая моду ляция. Последний способ модуляции используется в системах авто матического управления, содержащих цифровые вычислительные машины.

Схематически дискретная система может быть условно предста влена в виде соединения дискретного элемента и непрерывной части.

На выходе дискретного элемента получается последовательность импульсов, которая после прохождения через непрерывную часть вследствие сглаживающих свойств последней преобразуется в непре рывные изменения величины на выходе.

Если система имеет обратную связь (рис. 12.1), то в элементе сравнения получается сигнал ошибки, воздействующий на дискретный элемент.

Дискретный элемент системы на рис. 12.1 условно изображен в виде ключа, который периодически замыкается через каждые Т секунд.)*

*) Цыпк ин Я. 3., Теория импульсных систем, Физматгиз, 1958.

5 2 4		АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ	СИСТЕМ			[ГЛ. XII
	Предполагается, что время замыкания, т. е. время,					в течение
которого ключ		остается замкнутым, мало по		сравнению	с	периодом
его включения Т. Если, кроме того,			время	замыкания	ключа мало
по	сравнению с	постоянными времени	непрерывной части			системы
и	за это время	сигнал па входе дискретного		элемента	практически

Рис. 12.1.

постоянен, то конечные по продолжительности импульсы можно за менить импульсами, величина которых равна значениям входного сигнала дискретного элемента в моменты замыкания (рис. 12.2).

Рис. 12.2.

Таким образом, сигнал на выходе дискретного элемента может рассматриваться как последовательность дельта-функций с часто той 1/7\ модулированных по амплитуде входным сигналом.

ОСНОВНЫЕ

ПОНЯТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

‘5 2 5

В зависимости от характера дискретного сигнала дискретные

системы могут быть отнесены к одной из трех групп.

Первую группу составляют следящие системы, в которых дискрет

ный сигнал относится, как мы усло

вимся говорить, к амплитудной

импульсной модуляции I типа с запо

минанием. Это — сигнал,

состоящий

из

последовательности

эталонных

импульсов

п (0.

причем

параметры

импульсов (амплитуда) зависят от

значений непрерывной функции g (t)

в дискретные, равноотстоящие мо

менты времени

t =

lT .

Практически

чаще

всего

эталонный

импульс

бывает прямоугольной формы ши

рины аТ ^

(рис.

12.3,

в, г).

Ко второй группе относятся си

стемы с импульсной модуляцией II

типа. В случае такого рода модуля

ции сигнал на выходе дискретного

элемента в течение промежутка вре

мени аТ совпадает с сигналом

(t)

на

входе,

остальное

время

ра

вен нулю (рис.

12.3,

г).

третьей

группе

относятся

системы,

которых

дискретный

сигнал представлен в виде после

довательности кодированных импуль

сов, которые, в частности, могут

представлять

цифровые

данные

двоичной системе счисления.

Строго

говоря, дискретный сигнал, фигури

рующий в этой системе,

относится

импульсной

модуляции

типа

без

запоминания (рис.

12.3, а).

В дальнейшем будут рассматриваться в основном системы I и III

типов.

•

Наиболее

простой

и распространенной

схемой дискретной следя-

и*сей системы

является

система,

в которой

дискретный сигнал дей

ствует

после

измерительного звена

(рис. 12.1).

Для таких систем с точки

зрения

общей теории дискретных си

стем I и III типа безразлично, будет ли дискретный входной сигнал

следящей

системы

представлять

собой

последовательность

импульсов

с разной фазой, последовательность импульсов разной длительности, последовательность импз'льсов разной амплитуды или последователь ность кодированных импульсов, представляющих двоичное число. Входной сигнал может быть даже непрерывным. Важно, чтобы

<<< < Предыдущая 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 5152 / 6652 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ